概率论与散理统外「 第一节大数定律
第一节 大数定律
概率论与敖理统外 一、问题的引入 实例频率的稳定性 随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳 定于某个常数
一、问题的引入 实例 频率的稳定性 随着试验次数的增加, 事件发生的频率逐渐稳 定于某个常数
概率论与散理统外 抛一枚硬币 100次 48次正面， 1000次 512次正面， 100000000次 49982132次正面 于是得频率0.48,0.512,0.49982132 这个数列收敛到0.5 (这种认识是不准确的) 理论上，完全允许10000次试验，0次正面 只不过其“概率"非常小 我们绝对不能排除偏差很大的实验结果出现，只不 过这样的偏差巨大的实验结果出现的”概率“很小 而己
抛一枚硬币 100次 48次正面， 1000次 512次正面， 100000000次 49982132次正面. 于是得频率0.48，0.512，0.49982132. 这个数列收敛到0.5 （这种认识是不准确的） 理论上，完全允许10000次试验，0次正面 只不过其“概率"非常小 我们绝对不能排除偏差很大的实验结果出现，只不 过这样的偏差巨大的实验结果出现的”概率“很小 而已
概率论与敖理统外 二、基本定理 定理1（辛钦大数定理） 设随机变量X1,X2,.,Xm,.相互独立， 服从同一分布，且具有数学期望E(X)=4 (k=1,2,. 则对于任意正数有恤P2X-4<-1
( 1,2, ), , ( ) , , , , , 1 2 k E X X X X k n 服从同一分布 且具有数学期望 设随机变量 相互独立 1. 1 , lim 1 n k k n X n 则对于任意正数 有 P 定理1（辛钦大数定理） 二、基本定理
概率论与散理统外「 定理一的另一种叙述： 设随机变量X,X2,.,Xm,.相互独立， 服从同一分布，且具有数学期望：E(X)=4, 则序列下=1之x,依概率收敛于4，即灭P→4 n k=1 依概率收敛 设Y,Y,·,Y,是一个随机变量序列，a是一个常数， 若对于任意正数&，有lim P(Y,-ak}=1, 则称序列Y,Y2,.,Yn依概率收敛于a,记为YynP→a
1 2 1 , , , , , ( ) , 1 , . n k n P k k X X X E X X X X n 设随机变量 相互独立 服从同一分布，且具有数学期望： 则序列 依概率收敛于 即 定理一的另一种叙述: 1 2 1 2 , , , , , , lim {| | } 1, , , , , n n n P n n Y Y Y a P Y a Y Y Y a Y a 设 是一个随机变量序列 是一个常 数 若对于任意正数 有 则称序列 依概率收敛于 记为 依概率收敛
概率论与故理统外 依概率收敛序列的性质： 设XnP→，YnP→b, 又设函数g(x,y)在点(a,b)连续， 则g(Xn,Yn)P→g(a,b)
依概率收敛序列的性质: ( , ) ( , ) , , , 又设函数 在点 连续 设 g x y a b X a Y b P n P n g(X ,Y ) g(a, b). P 则 n n
概率论与散理统针」 定理二（伯努利大数定理) 设n4是n次独立重复试验中事件A发生 的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率， 则对于任意正数ε>0，有 ▣Ph-1或吧P-小-a
lim 1 lim 0. 0, , , p n n p P n n P p A n n A A n A n A 或 则对于任意正数 有 的次数 是事件 在每次试验中发生的概率 设 是 次独立重复试验中事件 发生 定理二（伯努利大数定理）