《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿，48学时）第七章 参数估计 第三节 估计量的评选标准

概率论与散理统计 第三节 估计量的评选标准 一、无偏性 二、有效性 三、相合性

第三节 估计量的评选标准 一、无偏性 二、有效性 三、相合性

概率论与散理统针」 一、无偏性 若X1,X2,.,Xn为总体X的一个样本， O∈®是包含在总体X的分布中的待估参数， (®是0的取值范围) 若估计量0=(X1,X2,Xn)的数学期望 E()存在，且对于任意0∈®有E(0)=O,则称 0是0的无偏估计量

一、无偏性 若 X1 , X2 ,  , Xn为总体 X的一个样本，   是包含在总体 X的分布中的待估参数, ( 是 的取值范围) . ˆ ) , ˆ ) , ( ˆ ( ( , , , ) ˆ 1 2 是 的无偏估计量 存 在 且对于任意 有 则 称 若估计量 的数学期望             E E X X  Xn

概率论与敖理统计 例1设总体X的k阶矩4，=E(X)(k≥1)存在， 又设X1,X2,Xn是X的一个样本，试证明不论 总体服从什么分布，k阶样本矩4，='之X是： ni= 阶总体矩4的无偏估计. 注：不论总体X服从什么分布，只要存在期望， X总是总体X的数学期望山=E(X)的无偏 估计量

. 1 , , , , ( ) ( 1) , 1 1 2 阶总体矩 的无偏估计 总体服从什么分布 阶样本矩 是 又设 是 的一个样本，试证明不论 设总体 的 阶矩 存在 k n i k k i n k k X k n k A X X X X X k E X k        例1 . ( ) 1 估计量 X 总是总体 X 的数学期望   E X 的无偏 注：不论总体 X 服从什么分布,只要存在期望

概率轮与数理统计 例2对于均值山，方差o2>0都存在的总体，若 4,o2均为未知，则。2的估计量62=1之(X,-X)2 n =l 是有偏的（即不是无偏估计）， 注：Sn1立X,是o的无偏估计

( ). ( ) 1 , , ˆ , 0 , 1 2 2 2 2 2 是有偏的 即不是无偏估计 均为未知 则 的估计量 对于均值 方差 都存在的总体 若     n i Xi X n     例2   注： , ( ) , 是 2 的无偏估计 1 1 1 2     n i Xi X n 2 S

概率论与敖理统外 例3设总体X的均值4未知，取容量为3的 组样本X,X2,X,问下列估计量中哪些是 4的无偏估计？ 4 x+xx+x+名x +写x+号x402x+04X+01比

例3 设总体 X 的均值 的无偏估计?  未知,取容量为3的 一组样本 , , , X1 X2 X3 问下列估计量中哪些是  1 1 2 3 1 1 1 : 3 3 3  X X X   2 1 2 3 1 1 1 : 2 3 6  X X X   3 1 2 3 1 1 1 : 2 3 4  X X X   4 1 2 3  : 0.2 0.4 0.1 X X X   5 1 2 1 1 : 2 2  X X 

概率论与数理统外「 二、有效性 比较参数0的两个无偏估计量0和0，如果 在样本容量n相同的情况下，0的观察值在真值 0的附近较0,2更密集，则认为0较⊙，有效、 设0=0(X1,X,Xn)与0，=2(X1,X2,Xn） 都是0的无偏估计量，若有D(⊙)sD(⊙)。 则称较，有效

二、有效性 . ˆ ˆ , ˆ ˆ , , ˆ ˆ 2 1 2 1 1 2 的附近较 更密集 则认为 较 有 效 在样本容量 相同的情况下 的观察值在真值 比较参数 的两个无偏估计量 和 如 果         n . ˆ ˆ ), ˆ ) ( ˆ , ( ( , , , ) ˆ ˆ ( , , , ) ˆ ˆ 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 则 称 较 有 效 都 是 的无偏估计量 若 有 设 与          D D X X Xn X X Xn     

概率论与故理统外 例4设总体X的均值4未知，取容量为3的 一组样本X1,X2,X3, 指出下列估计量中 的最有效的无偏估计 +x+xx+x+x +写x+号x402x+04X+01比

例4 设总体 X 的均值 的最有效的无偏估计.  未知,取容量为3的 一组样本 , , , X1 X2 X3 指出下列估计量中  1 1 2 3 1 1 1 : 3 3 3  X X X   2 1 2 3 1 1 1 : 2 3 6  X X X   3 1 2 3 1 1 1 : 2 3 4  X X X   4 1 2 3  : 0.2 0.4 0.1 X X X   5 1 2 1 1 : 2 2  X X 

概率论与数理统外「 三、相合性 若0=0(X1,X2,Xn)为参数的估计量， 若对于任意0∈®，当n→o时，(X1,X2,Xm) 依概率收敛于0，则称0为0的相合估计量

三、相合性 . ˆ , ( , , , ) ˆ , , ( , , , ) , ˆ ˆ 1 2 1 2 依概率收敛于 则 称 为 的相合估计量 若对于任意 当 时 若 为参数 的估计量          n n n X X X X X X      

概率论与故理统外 小结 无偏性 估计量的评选的三个标准{ 有效性 相合性 相合性是对估计量的一个基本要求，不具备 相合性的估计量是不予以考虑的

小结 估计量的评选的三个标准      无偏性 有效性 相合性 相合性是对估计量的一个基本要求, 不具备 相合性的估计量是不予以考虑的