山东理工大学理学院备课纸 年月日 第四章矩阵 §1矩阵概念的一些背景 一、矩阵的定义 1.定义： a1a2a3. a21a22 023 . a3s 0y 称为一个sxn矩阵.记作：(a,)n或A . . a1a2a. 2.特殊矩阵：零矩阵0，行阵，列阵， 方阵（单位矩阵，对角矩阵，数量矩阵） 二、矩阵的相等 A=(a)m B=(ba)k 定义：A=B台m=1,n=k4=b1=l,2,5，j=1,2,.,n 三、应用背景 1.线性方程组 2.解析几何 3.其它方面 第1页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 第四章 矩阵 §1 矩阵概念的一些背景 一、矩阵的定义 1.定义： 11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 1 2 3 n n n s s s sn a a a a a a a a a a a a a a a a 称为一个 s n 矩阵．记作： ( ij)sn a 或 A sn 2.特殊矩阵：零矩阵 O，行阵，列阵， 方阵（单位矩阵，对角矩阵，数量矩阵） 二、矩阵的相等 ( ) , ( ) A a B b = = ij mn ij lk， 定义: A B m l n k = = = , ij ij a b = i s =1, 2 , ， j n =1, 2, , 三、应用背景 1. 线性方程组 2．解析几何 3．其它方面 第 1 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 §2矩阵的运算 一、加法 1.定义：设A=(a,B=凸，)，则矩阵C=心，n=a,+h,) 称为矩阵A与B的和，记作C=A+B. 2.性质 1)交换律A+B=B+A 2)结合律A+(B+C)=(A+B)+C 3)A+0=A 4)A+(-A0=0 3.减法：定义A-B=A+(B) 4 r(4+B)sr(A)+r(B) 二、乘法 1.定义：设A=(am,B=(,)nm,则s×n矩阵C=(C)n, 其中G,=a,4,++a=2a4y,1=1,2.,sj=l2.,m. A=1 称为A与B的积，记为C=AB. 注意： ①A的列数=B的行数. ②积AB中第行j列的元素由A的第i行乘B的第j列相应元素相加得到. 第2页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 §2 矩阵的运算 一、加法 1．定义：设 ( ) , ( ) A a B b = = ij sn ij sn ，则矩阵 ( ) ( ) C c a b = = + ij sn ij ij sn 称为矩阵 A 与 B 的和，记作 C A B = + ． 2．性质 1）交换律 A B B A + = + 2）结合律 A B C A B C + + = + + ( ) ( ) 3) A A + = 0 4) A A + − = ( ) 0 3．减法：定义 A B A B − = + −( ) ． 4 r A B r A r B ( ) ( ) ( ) + + 二、乘法 1．定义：设 ( ) , ( ) A a B b = = ij s n ij n m ，则 s n 矩阵 ( ) C c = ij s m ， 其中 1 1 1 n ij i j in nj ik kj k c a b a b a b = = + + = ，i s = 1, 2, , j m = 1,2, , ． 称为 A 与 B 的积，记为 C AB = ． 注意： ① A 的列数＝ B 的行数． ② 积 AB 中第 i 行 j 列的元素由 A 的第 i 行乘 B 的第 j 列相应元素相加得到． 第 2 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 a++anx=b 例1线性方程组 ) ax+.+anxn=b 6 中，令A=(a)m X= x 则(1)可看成4X=B 矩阵方程 410 例2. 468 -113 B= 201 134 -8子》面无意义 例3. =3 4-8-68 注： (1)一般地，矩阵乘法不满足交换律AB≠BA 若AB=BA,称B与A可交换.（此时AB为同级矩阵） (2)存在零因子 AB=0未必有A=0或B=0. 即A≠0且B≠0.有可能AB=0. (3)消去律不成立 AX=AY未必X=y, 第3页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 例 1 线性方程组 11 1 1 1 1 1 n n s sn n s a x a x b a x a x b + + = + + = (1) 中，令 ( ) A a = ij s n 1 2 n x x X x = b b B b 1 2 s = 则(1) 可看成 AX B = ————矩阵方程 例 2． 4 1 0 1 0 3 1 1 1 3 , 2 1 0 2 2 0 1 1 3 4 A B − − = = 921 9 9 11 AB − − = ，而 BA 无意义． 例 3． 2 4 2 4 , 1 2 3 6 A B − = = − − − 16 32 0 0 8 16 0 0 AB BA − − = = 注： （1）一般地，矩阵乘法不满足交换律 AB BA ． 若 AB BA = ，称 B 与 A 可交换．（此时 A B, 为同级矩阵） （2）存在零因子 AB = 0 未必有 A = 0 或 B = 0． 即 A 0 且 B 0 ．有可能 AB = 0． （3）消去律不成立 AX AY = 未必 X Y = ． 第 3 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 2.性质 AB)C-ABC)(结合律) 2) E,A=A,40=0A=0 3)AB+C)=AB+AC(分配律) (B+C)A=BA+CA a ）a 4) a.八 b) a b 证：1）A=(a,)mB=)m C=(Cu) 令V=AB=()m W=BC=(Wx)w 其中 4=ab, W-baCu 心的第：行第)列元素为2.6，=.-2a6,6u, AW的第i行第j列元素为2a”==立a,bu· 即，C的第i行第j列元素等于AW的第i行第j列元素 所以4B)C=ABC). 3.矩阵的方幂 定义：设A为n级方阵.A的k次幂A定义为： 4A=AA=4A. 即，A=AA.A, 第4页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 如， 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 A X Y = ， ＝ ， ＝ ， AX AY = 但 X Y = 2．性质 1) ( ) = ( ) A B C A B C （结合律） 2) E A A s sn sn = , A A 0 0 0 = = 3） A B C AB AC ( ) + = + （分配律） ( ) B C A BA CA + = + 4） 1 1 1 1 n n n n a b a b a b a b = 证：1） ( ) A a = ij sn ( ) B b = jk nm ( ) C c = kl mr 令 ( ) V AB v = = ik sm， ( ) W BC w = = jl nr 其中 1 n ik ij jk j v a b = = ， 1 m jl jk kl k w b c = = VC 的第 i 行第 j 列元素为 1 1 1 m m n ik kl ij jk kl k k j v c a b c = = = = = ， AW 的第 i 行第 j 列元素为 1 1 1 m m n ij jl ij jk kl j k j a w a b c = = = = = ． 即， VC 的第 i 行第 j 列元素等于 AW 的第 i 行第 j 列元素． 所以 ( ) = ( ) AB C A BC ． 3．矩阵的方幂 定义：设 A 为 n 级方阵． A 的 k 次幂 k A 定义为： 1 , k k k A A A A A A + = = ． 即， k A A A A = ． 第 4 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 注： (1)A=A k,leZ' (2)(Ay=A地 klEZ' (但是一般地(AB≠AB) a a (3) 三、数量乘法（数乘） 1.定义：设A=(a,keP矩阵(a,)称为A与数k的乘积.记作：M. 2.性质： ①(k+DA=k4+A ②k(A+B)=k4+kB ③kLA=(0A ④1A=A ⑤k(AB)=(M)B=AkB ⑥若A为n级方阵，k4=A: ⑦kA=(kE)A=AKE) ⑧kE+1E=(k+1)E ⑨(kEIE)=(ME 第5页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 注： （1） k l k l A A A + = k l Z , + （2） ( ) k l kl A A = k l Z , + （但是一般地 ( )k k k AB A B ） (3) 1 1 k k k n n a a a a = 三、数量乘法（数乘） 1．定义：设 ( ) , A a k P = ij sn 矩阵 ( ) ij sn ka 称为 A 与数 k 的乘积．记作： kA． 2．性质： ① ( ) k l A kA lA + = + ② k A B kA kB ( ) +=+ ③ k lA kl A ( ) ( ) = ④ 1 = A A ⑤ k AB kA B A kB ( ) ( ) ( ) = = ⑥ 若 A 为 n 级方阵， n kA k A = ． ⑦ kA kE A A kE = = ( ) ( ) ⑧ kE lE k l E + = + ( ) ⑨ ( )( ) ( ) kE lE kl E = 第 5 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 四、转置 1.定义：设A=(a,)m,A的转置矩阵是指矩阵 a1a1.a1】 aa2.a2 . （ama.an 记作A或4. 2.性质 ①(A'=A ②(A±By=A±B ③(AB)'=B'A ④(k4)'-kA ⑤若A为方阵，4=4. 五、矩阵的多项式 设fx)=a,x+anx-++ax+a,矩阵A是一个n阶方阵，则 f(A)=a,"+a+.+aA+aoE 例a=r+2446,矩阵4-孔求山 第6页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 四、转置 1．定义：设 ( ) , A a A = ij s n 的转置矩阵是指矩阵 11 21 1 12 22 2 1 2 s s n n sn a a a a a a a a a 记作 A 或 T A ． 2．性质 ① ( ) A A = ② ( ) A B A B = ③ ( ) AB B A = ④ ( ) kA kA = ⑤ 若 A 为方阵， A A = ． 五、矩阵的多项式 设 1 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x a x a − = + + + + − ，矩阵 A 是一个 n 阶方阵，则 1 1 1 0 ( ) n n n n f A a A a A a A a E − = + + + + − 例 3 2 f x x x x ( ) 3 2 5 6 = + + + ，矩阵 1 2 1 1 A = ，求 f A( ) 第 6 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 S3矩阵乘积的行列式与秩 一、非退化矩阵 1.定义：A为数域P上的n级矩阵，若4+0，则A称为非退化的： 若A=0,称A为退化的. 注：n级矩阵A非退化台(4)=n台A≠0： n级矩阵A退化台R4)<n台A=0. 二、矩阵乘积的行列式 1.定理1设A,B为数域P上的n级矩阵，则A=4 对于n级方阵A,B,一般情况下，AB≠BA 但是AB=BA=ABE 例. 46 68 2。推广：A,4.,4为数域P上的n级方阵，则 144.A日4川4.A,1. 3.推论：设AB为数域P上的n级矩阵，则 AB非退化一AB都非退化： AB退化一A或B退化. 第7页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 §3 矩阵乘积的行列式与秩 一、非退化矩阵 1．定义： A 为数域 P 上的 n 级矩阵，若 A 0 ，则 A 称为非退化的； 若 A = 0 ，称 A 为退化的． 注： n 级矩阵 A 非退化 R A n ( ) = A 0 ； n 级矩阵 A 退化 R A n ( ) A = 0． 二、矩阵乘积的行列式 1．定理 1 设 A B, 为数域 P 上的 n 级矩阵，则 AB A B = ． 对于 n 级方阵 A B, ，一般情况下， AB BA ， 但是 AB BA A B = = 例． 2 4 2 4 , 1 2 3 6 A B − = = − − − 16 32 0 0 8 16 0 0 AB BA − − = = 2．推广： 1 2 , , , A A A s 为数域 P 上的 n 级方阵，则 1 2 1 2 | | | || | | | A A A A A A s s = ． 3．推论：设 A B, 为数域 P 上的 n 级矩阵，则 AB 非退化 A B, 都非退化； AB 退化 A 或 B 退化． 第 7 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 三、矩阵乘积的秩 1.定理2设An,B为矩阵，则RAB)≤min{RA),R(B 证明：设A=(a,)m,B=(b)m,AB=(c)m· 设B的行向量为B,B,.,B,C的行向量为C,C,.,Cn, 由AB=C, C=(cu:Cn2.c)=auB+aB+.+amB =a(6,ha,.,h.)+aa(6,ba,.,h.)+.+a(hl,ba,b), 易知C,C.,Cn可由B,B,.,Bn线性表示，所以R(C)≤R(B) 同理，R(C)sR(A),故R(C)smin(RA),RB}. 2.推广：若A=A4,.A,则RA)≤min{R(4),R(4),R(A,)》 四、处理习题 P199习题4,5,7,8,9,10,11,12 第8页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 三、矩阵乘积的秩 1．定理 2 设 , A B n m m s 为矩阵，则 R AB R A R B ( ) min{ ( ), ( )} ． 证明：设 ( ) , ( ) A a B b = = ij nm ij ms， ( ) AB c = ij ns． 设 B 的行向量为 1 2 , , , B B B m ，C 的行向量为 1 2 , , , C C Cn， 由 AB C= ， 1 11 12 1 11 1 12 2 1 ( , , , ) C c c c a B a B a B = = + + + s m m 11 11 12 1 12 21 22 2 1 1 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) s s m m m ms = + + + a b b b a b b b a b b b ， 易知 1 2 , , , C C Cn 可由 1 2 , , , B B B m 线性表示，所以 R C R B ( ) ( ) ． 同理， R C R A ( ) ( ) ，故 R C R A R B ( ) min{ ( ), ( )} ． 2．推广：若 A A A A = 1 2 s ，则 1 2 ( ) min{ ( ), ( ), , ( )} R A R A R A R A s 四、处理习题 P 199 习题 4， 5，7，8，9，10，11，12 第 8 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 §4矩阵的逆 一、可逆矩阵的定义： 1定义：设A为n级方阵，若有n级方阵B,使AB=BA=E 则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵. 2.注 (1)若A可逆，则4的逆唯一，记为. (2)E1=E. 二、可逆矩阵的判定、求法 1伴随矩阵 定义：设A=(a,)m,4,是元素a,的代数余子式，矩阵 「4A. f=4. 称为A的伴随矩阵 . 性质A为n级方阵，Af=AA=AE 2.可逆判定定理 定理3矩阵A可逆一4≠0： 且4可逆时，4· 第9页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 §4 矩阵的逆 一、可逆矩阵的定义： 1 定义：设 A 为 n 级方阵，若有 n 级方阵 B ，使 AB BA E = = 则称 A 为可逆矩阵，B 为 A 的逆矩阵． 2．注： （1） 若 A 可逆，则 A 的逆唯一，记为 1 A − ． （2） 1 E E − = ． 二、可逆矩阵的判定、求法 １伴随矩阵 定义： 设 ( ) A a = ij n n ， Aij 是元素 ij a 的代数余子式，矩阵 11 21 1 * 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A = 称为 A 的伴随矩阵． 性质 A 为 n 级方阵， * * AA A A A E = = 2．可逆判定定理 定理 3 矩阵 A 可逆 A 0 ； 且 A 可逆时， 1 * 1 A A A − = ． 第 9 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 例1.46到r-(6月 假地，4一《》可说od-州0 r=1d-b) -ad-be-e a) 123 例2.A=221, (343 (ar 例3.D= ，a≠0，i=1,.,n,D-= 例4A,B为n级方阵，若AB=E,则A、B皆可逆，且A=B,B=A 证：AB=E→AB=1→A≠0，|B≠0→A,B可逆. A'(AB)=AE→B=A,(AB)B=EB→A=B 三、逆矩阵的运算规律 (1)A可逆→A可逆，且(4=A (2)A可逆，≠0→4可逆，且(a= (3)A、B为n级可逆方阵→AB可逆，且(AB)=B4 (4)A可逆→A可逆，且(A)=(Ay 同4可逆可逆，且少司 第10页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 例 1． 2 1 5 3 A = ， 1 3 1 5 2 A − − = − ． 一般地， a b A c d = ，可逆 − ad bc 0 1 1 d b A ad bc c a − − = − − 例 2． 1 2 3 2 2 1 3 4 3 A = ， 1 2 6 4 1 3 6 5 2 2 2 2 A − − = − − − 例 3． 1 2 n a a D a = ， 0 i a ，i n =1, , ， 1 1 1 1 2 1 n a a D a − − − − = 例 4 A B , 为 n 级方阵，若 AB E = ，则 A、B 皆可逆，且 1 A B − = ， 1 B A − = ． 证： AB E A B A = = 1 0， B 0 A B, 可逆． 1 1 1 A AB A E B A ( ) − − − = = ， 1 1 1 ( ) AB B EB A B − − − = = ． 三、逆矩阵的运算规律 (1) A 可逆 1 A − 可逆，且 1 1 ( ) A A − − = (2) A 可逆， 0 A 可逆，且 1 1 1 ( ) A A − − = (3) A、 B 为 n 级可逆方阵 AB 可逆，且 1 1 1 ( ) AB B A − − − = (4) A 可逆 ' A 可逆，且 ' 1 1 ' ( ) ( ) A A − − = (5) A 可逆 * A 可逆，且 * 1 ( ) A A A − = 第 10 页