《高等代数》课程教学资源（习题解答，北大版）第四章 矩阵

北大版《高等代数》 第四部分矩阵习题精解 1.设 (311月 11-1 1)A=212,B=2-10 123 101 a b c 1 a c 2)A=c b a,B=1 bb 1111ca 计算AB,AB-BA 解1) 62-2\ 400 AB=610 BA=410 8-12 434 22-2 AB-BA=2 00 4-4-2 2) a+b+c a2+b2+c2 2ac+b2） AB=a+b+c 2ac+b2 a2+b2+c2 (3 a+b+c a+b+c a+ac+c b+ab+c 2c+a BA=a+ac+c 2b+b2 c+ab+b 2a+c b+bc+cc+ac+a AB-BA=(a )3x 其中 au=b-ac, ap=a+b+c2-b-ab-c

北大版《高等代数》 1 第四部分 矩阵习题精解 1.设 1） 3 1 1 2 1 2 1 2 3 A     =       ， 1 1 1 2 1 0 1 0 1 B   −   = −       2） 111 a b c A c b a     =       ， 1 1 1 a c B b b c a     =       计算 AB ， AB BA − . 解 1） 6 2 2 6 1 0 8 1 2 AB   −   =       − 4 0 0 4 1 0 434 BA     =       2 2 2 2 0 0 442 AB BA   −   − =       − − 2） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c ac b AB a b c ac b a b c a b c a b c   + + + + +   = + + + + +     + + + +   2 2 2 2 2 2 a ac c b ab c c a BA a ac c b b c ab b a c b bc c c ac a   + + + + +   = + + + + +     + + + + +   3 3 ( ) AB BA a − = ij  其中 11 a b ac = − ， 2 2 2 12 a a b c b ab c = + + − − −

北大版《高等代数》 a43=b2+2ac-d2-2c 421=c-bc, a2=2ac-2b, az=a'+b+c2-ab-b-c 41=3-c2-2a,a2=c-bc, as=b-ab 2.计算 (211 1310 0 (012 0沙 52,3- -1 6)(x.y.1)az az 42ag八1 1-1-1- 1-1-1-1 7) -11-1 -1-11 -11-1 -1-1-1 1 -1-1-1 元10 8)01 00 211744 解)310 943 012334

北大版《高等代数》 2 2 2 13 a b ac a c = + − − 2 2 21 a c bc = − ， 22 a ac b = − 2 2 ， 3 2 2 23 a a b c ab b c = + + − − − 2 31 a c a = − − 3 2 ， 32 a c bc = − ， 33 a b ab = − 2.计算 2 2 1 1 1) 3 1 0 0 1 2           5 3 2 2) 4 2       − − 1 1 3) 0 1 n       cos sin 4) sin cos n       −     ( ) 1 5) 2, 3, 1 1 1     − −      − ， ( ) 1 1 2, 3, 1 1     − −       − ( ) 11 12 13 21 22 31 31 32 33 6) , , 1 1 a a a x x y a a a y a a a                2 1 1 1 1 1 1 1 1 7) 1 1 1 1 1 1 1 1   −−−   − − −     − − −     −−− ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n   −−−   − − −     − − −     −−− 1 0 8) 0 1 0 0 n              解 2 2 1 1 7 4 4 1) 3 1 0 9 4 3 0 1 2 3 3 4         =            

北大版《高等代数》 心-到 3)采用数学归纳法，可证 6y6 事实上，当n=2时，有 6旷-6别 结论成立. 当n=k-1时，归纳假设结论成立，即 009 于是当n=k时，有 6旷-60-6g-0 0ヅ-6粒 4)采用数学归纳法，可证 (coso -sino"cosno -sinno sinno cosn 事实上，当n=2时，有 (coso -sin (cos2o-sin2 -cos osino cos2o-sin2 (cos2p -sin 2o 结论成立 当n=k-1时，归纳假设结论成立，即

北大版《高等代数》 3 5 3 2 3 2 2) 4 2 4 8     −     =     − − 3) 采用数学归纳法，可证 1 1 1 0 1 0 1 n     n     =     事实上，当 n = 2 时，有 2 1 1 1 2 0 1 0 1         =     结论成立. 当 n k = −1 时，归纳假设结论成立，即 1 1 1 1 1 0 1 0 1 k k −     −     =     于是当 n k = 时，有 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 k k k k −            −            = = =            即证 1 1 1 0 1 0 1 n     n     =     成立. 4）采用数学归纳法，可证 cos sin cos sin sin cos sin cos n n n n n             − −     =     事实上，当 n = 2 时，有 2 2 2 2 2 cos sin cos sin cos sin sin cos 2cos sin cos sin               −   − −   =       − cos 2 sin 2 sin 2 cos 2       − =     结论成立. 当 n k = −1 时，归纳假设结论成立，即

北大版《高等代数) coso -sin (cos(k-1)o -sin(k-1)o sino coso sin(k-1)o cos(k-1)o 于是当n=k时，有 cosp -sin coso -sin coso -sin sin cosp (cos(k-1)o -sin(k-1)o coso -sino sin(k-1)o cos(k-1)osino coso 心刻 其中 x=cos(k-l)ocoso-sin(k-1)osino=cosko 同理可得 x2=-sinko, =sin ko, 因而有 cos -sin (cosno -sin no sino coso sinno cosno (1) 5)(2,3.-1)-1=0 -1 （23-1 -123,-)=-2-31 -1 -2-31 6)(x,y.1)azaz b bb c

北大版《高等代数》 4 1 cos sin cos( 1) sin( 1) sin cos sin( 1) cos( 1) k k k k k         −     − − − −     =     − − 于是当 n k = 时，有 1 cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos k k             −       − − −       =       cos( 1) sin( 1) cos sin sin( 1) cos( 1) sin cos k k k k             − − − − =         − − 1 2 3 4 x x x x   =     其中 1 x k k k = − − − = cos( 1) cos sin( 1) sin cos      同理可得 2 x k = −sin  ， 3 x k = sin  ， 4 x k = cos  因而有 cos sin cos sin sin cos sin cos n n n n n             − −     =     5） ( ) 1 2, 3, 1 1 0 1     − − =       − ( ) 1 2 3 1 1 2, 3, 1 2 3 1 1 2 3 1     −     − − = − −             − − − 6） ( ) 11 12 1 12 22 2 1 2 , , 1 a a b x y a a b b b c          

北大版《高等代数》 =(ax+azy+b,ax+azy+b,bx+by+c) aux+2axy+azzy+2bx+2by+c 7)注意到 (1-1-1-12(4000 1000 -11-1-1 0400 =22 0100 -1-11-1 0040 0010 -1-1-11 0004 (0001 这意味着，若令 1-1-1-1 -11-1-1 A= -1-11-1 (-1-1-11 则A=2E.下面对 (1-1-1-1 -11-1 A”= -1 -1-11-1 -1-1-11 分两种情形讨论 ①n为偶数，即n=2k,于是 A=A2=(A)=22E=2"E ②n为奇数，即n=2k+1,于是 A"=A2kH=(4)A=22EA=2”A 2-A,n=2k+1 8)采用数学归纳法，可证

北大版《高等代数》 5 11 12 1 12 22 2 1 2 ( , , ) 1 x a x a y b a x a y b b x b y c y     = + + + + + +       2 2 11 12 22 1 2 = + + + + + a x a xy a y b x b y c 2 2 2 7）注意到 2 2 1 1 1 1 4 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 4 0 0 0 1 0 0 2 1 1 1 1 0 0 4 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 4 0 0 0 1       −−−       − − −       = =       − − −             −−− 这意味着，若令 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A   −−−   − − −   =   − − −     −−− 则 2 2 A E = 2 .下面对 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n A   −−−   − − −   =   − − −     −−− 分两种情形讨论 ① n 为偶数，即 n k = 2 ，于是 2 2 2 ( ) 2 2 n k k k n A A A E E = = = = ② n 为奇数，即 n k = + 2 1 ，于是 2 1 2 2 ( ) 2 2 n k k k n A A A A EA A + = = = = 故 1 2 , 2 2 , 2 1 n n n E n k A A n k −  = =   = + 8）采用数学归纳法，可证

北大版《高等代数) 210 a”nn-:】 2 01=02" 00 0 0 事实上，当=1时，结论显然成立，现在归纳假设 10 2a-l2r2n-1-2 2 021= 0 -1 (n-）2-2 00 0 0 入- 于是 210 2a-am:a-ln-2】 210 01= 0 (n-l)-2 0 1 00 0 入- 0 0 2 =0 0 0 即证结论成立 3.设f(2)=a2"+a2m-+.+am-12+am,A是一个n×n矩阵，定 f(A)=aoA"+aA"++aA+a E 211) 1)f2)=22-1-1,A=312 1-10

北大版《高等代数》 6 1 2 1 ( 1) 1 0 2 0 1 0 0 0 0 0 n n n n n n n n n n n          − − −   −         =               事实上，当 n =1 时，结论显然成立，现在归纳假设 1 2 3 1 1 2 1 ( 1)( 2) ( 1) 1 0 2 0 1 0 ( 1) 0 0 0 0 n n n n n n n n n n n          − − − − − − −   − − −         = −               于是 1 2 3 1 2 1 ( 1)( 2) ( 1) 1 0 1 0 2 0 1 0 ( 1) 0 1 0 0 0 0 0 0 n n n n n n n n n n n             − − − − − −   − − −             = −                 1 2 1 ( 1) 2 0 0 0 n n n n n n n n n n       − − −   −     =         即证结论成立. 3.设 1 0 1 1 ( ) m m m m f a a a a     − = + + + + − ，A 是一个 n n 矩阵，定 义 1 0 1 1 ( ) m m m m f A a A a A a A a E − = + + + + − 1） 2 f ( ) 1    = − − ， 2 1 1 3 1 2 1 1 0 A     =       −

北大版《高等代数》 2九-+4-6》 试求f(A): 解1) f:用 513 =803 -21-2 2) -3}-309 -69 08 4.如果AB=BA,矩阵B就称为A与可交换，设 100 4-6 2)A=012 312 (010 3)A=001 (000 求所有与A可交换的矩阵 >

北大版《高等代数》 7 2） 2 f ( ) 5 3    = − + ， 2 1 3 3 A   − =     − 试求 f A( ) . 解 1） 2 2 1 1 2 1 1 1 0 0 ( ) 3 1 2 3 1 2 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 f A             = − −                   − − 8 2 4 2 1 1 1 0 0 11 2 5 3 1 2 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1             = − −                   − − − 5 1 3 803 2 1 2     =       − − 2） 2 1 2 1 1 0 ( ) 5 3 3 3 3 3 0 1 f A       − − = − +             − − 7 5 10 5 3 0 15 12 15 15 0 3       − − = − +             − − 0 0 0 0   =     4.如果 AB BA = ，矩阵 B 就称为 A 与可交换，设 1） 1 1 0 1 A   =     2） 100 0 1 2 3 1 2 A     =       3） 0 1 0 0 0 1 000 A     =       求所有与 A 可交换的矩阵

北大版《高等代数) 然》程4-E合)#校B-仁小为4可装田 s68e-ee·8 于是 80e-e88 所以 60-88 故c=0,a=d,b任意，从而所有与A可交换的矩阵为 a-68剑 其中a,b为任意常数. 2)同理，记 000 A=E+002 321 并设 a b c B=a b c 与A可交换，即 E 00 2 a G- 311八a9(ab八

北大版《高等代数》 8 解 1）若记 0 1 0 0 A E   = +     ，并设 a b B c d   =     与 A 可交换，即 0 1 0 1 0 0 0 0 a b a b E E c d c d                 + = +                     于是 0 1 0 1 0 0 0 0 a b a b c d c d             =       所以 0 0 0 0 0     c d a     =     故 c a d b = = 0, , 任意，从而所有与 A 可交换的矩阵为 0 a b B a   =     其中 a b, 为任意常数. 2）同理，记 0 0 0 0 0 2 3 2 1 A E     = +       并设 111 222 abc B a b c a b c     =       与 A 可交换，即 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 3 1 1 3 1 1 a b c a b c E a b c a b c E a b c a b c                         + = +                                     于是

北大版《高等代数》 000abc）abc000 002a46a69002 311八a92ab9八311 所以 0 0 0）(3cc2b+c 2a2 2b, 2c2 =3c c 2b+c 3a+a+a 3b+b+b2 3c+c+c2 3c2 C2 2b2 +cz 比较对应的（位，）元，可得 a=4-34,b=0,c=0 4-号9,4=596=4+59 于是所有与A可交换的矩阵为 1 6-34 0 0 B= a 其中a,b,C为任意常数 a b c 3)设B=4bG与A可交换，即 o 1 o a b ca b co 10 001a6G=a4G001 000八abc(a6c八000 于是 a b ca b c az b:C2=az ba C2 000000 故得

北大版《高等代数》 9 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 3 1 1 3 1 1 a b c a b c a b c a b c a b c a b c             =                   所以 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 0 0 0 3 2 2 2 2 3 2 3 3 3 3 2 c c b c a b c c c b c a a a b b b c c c c c b c     +     = +             + + + + + + + 比较对应的 ( , ) i j 元，可得 1 1 1 3 a b a = − ， b = 0， c = 0 2 1 2 3 a c = ， 2 1 1 2 b c = ， 2 1 1 1 2 c b c = + 于是所有与 A 可交换的矩阵为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 3 3 1 1 2 2 2 b a B a b c c c b c   −     =       +   其中 111 a b c , , 为任意常数. 3）设 111 222 abc B a b c a b c     =       与 A 可交换，即 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 a b c a b c a b c a b c a b c a b c             =                   于是 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 a b c a b c a b c a b c         =             故得

北大版《高等代数) a=a2=b2=0,a=b=c2,b=C 所以所有与A可交换的矩阵为 a b c B=0 a b 00a 其中a,b,c为任意常数. 5.设 a0.0 4= 10a2 0 00.an 其中a,≠a,(当i≠j时)(i,j=l,2,n),证明：与A可交换的矩阵只 能是对角矩阵. x1x2. 证设B= x21 X2m 与A可交换，于是由 (Xal xa2. ax1ax2. aax2.axn AB= a21 =BA= . 2.anxm ax,=ax(ij=l.,n) 即(a,-a,)x,=0(当a,≠a,时).有因为a,≠a,所以x,=00≠).于 是，与A可交换的矩阵B只能是对角矩阵

北大版《高等代数》 10 1 2 2 a a b = = = 0 , 1 2 a b c = = , 1 b c = 所以所有与 A 可交换的矩阵为 0 0 0 a b c B a b a     =       其中 abc , , 为任意常数. 5.设 1 2 0 0 0 0 0 0 n a a A a       =       其中 i j a a  （当 i j  时）（ i j n , 1,2, , = ），证明：与 A 可交换的矩阵只 能是对角矩阵. 证 设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn x x x x x x B x x x       =       与 A 可交换，于是由 1 11 1 12 1 1 1 11 1 12 1 1 2 21 2 22 2 2 2 21 2 22 2 2 1 2 1 2 n n n n n n n n n nn n n n n n nn a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x AB BA a x a x a x a x a x a x             = = =             有 ( , 1, , ) i j j ij a x a x i j n = = 即 ( ) 0 i j ij a a x − = （当 i j a a  时）.有因为 i j a a  ，所以 0( ) ij x i j =  .于 是，与 A 可交换的矩阵 B 只能是对角矩阵