山东理工大学理学院备课纸 年月日 第三章线性方程组 S1消元法 一、线性方程组的有关定义： a1x1+a2x2+.+anxn=b 1.线性方程组 a1x+a2x3+.+Azn=b a1x+a2x+.+amxn=b 2.n 未知量的个数 方程的个数 3.系数，常数项。 4.方程的解，所有的解的全体称为解集合 5.同解方程组 例： ∫x+2x+3x=5 x+2x2+3x3=5 与 2x+3x2+6x=9 2x+3x+6x,=9是同解方程组 3x+5x2+9x=14 6.线性方程组的初等变换： (1)某一个方程乘以一个不为零的常数 (2)交换两个方程的位置 (3)一个方程加上另一个方程的倍数 把线性方程组化为同解方程组 第
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 第三章 线性方程组 §1 消元法 一、线性方程组的有关定义： 1．线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 2. n—— 未知量的个数 s —— 方程的个数 3. 系数， 常数项. 4. 方程的解，所有的解的全体称为解集合. 5. 同解方程组 例： 1 2 3 1 2 3 2 3 5 2 3 6 9 x x x x x x + + = + + = 与 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 5 2 3 6 9 3 5 9 14 x x x x x x x x x + + = + + = + + = 是同解方程组 6.线性方程组的初等变换： （1） 某一个方程乘以一个不为零的常数 （2） 交换两个方程的位置 （3） 一个方程加上另一个方程的倍数 把线性方程组化为同解方程组 第 1 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 二、高斯消元法： 目的是把方程组化为下面的同解的阶梯形方程组： G1x+G2x2+.+Gx,+.+Gnxn=d c2x2+.+Cx,+.+C2nxn=d2 cnx,+.+cmxn=d, 4=0 其中c,i=12.,r全不为零 0=0 0=0 1.如果d≠0，则方程组无解. [2x1-x2+3x=1 例1 4x-2x2+5x3=4 2x-为2+4x3=0 2.如果d,=0,在上面我们看到，只能出现r≤n,不会有r>m的情况 (1)r=n时方程组同解与下面的方程组： C1x+C2x3+.+Cnxn=d c如名++6。=4方程组有唯一解 Can=d 2x-x2+3x=1 例2 {4x+2x2+5x3=4 2x+x2+4x=5 第2页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 二、高斯消元法： 目的是把方程组化为下面的同解的阶梯形方程组： 11 1 12 2 1 1 1 22 2 1 2 2 1 0 0 0 0 0 r r n n r r n n rr r rn n r r c x c x c x c x d c x c x c x d c x c x d d + + + + + + = + + + + = + + = = = = 其中 , 1,2, , ii c i r = 全不为零 1. 如果 1 0 r d + ， 则方程组无解. 例 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 4 2 5 4 2 4 0 x x x x x x x x x − + = − + = − + = 2．如果 1 0 r d + = ，在上面我们看到， 只能出现 r n ，不会有 r n 的情况 （1） r n = 时 方程组同解与下面的方程组： 11 1 12 2 1 1 22 2 2 2 n n n n nn n n c x c x c x d c x c x d c x d + + + = + + = = 方程组有唯一解 例 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 4 2 5 4 2 4 5 x x x x x x x x x − + = + + = + + = 第 2 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 (2)r<n时，方程组同解与下面的方程组： G1x+C2X3+.+C,X,=d-Cx1-.-Cnxn Cx2++=d2 -carr-Ca Cn x,=d,-Crr-CmXs 右边任意给定x.,x一组数，我们就能得到，x的对应值，从而找到 方程组的一组解，所以方程组有无数个解. 2x-x2+3x=1 例3. 4x-2x2+5x=4 2x-x2+4x3=-1 三、齐次线性方程组 对于齐次线性方程组，我们有 a1x+a2x+.+anxn=0 定理：对于齐次线性方程组 a1x+aa++a.=0来讲，如果s<n, a1x+a22+.+anxn=0 那么它一定有非零解， 第
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 （2） r n 时，方程组同解与下面的方程组： 11 1 12 2 1 1 1 1 1 1 22 2 2 2 2 1 1 2 1 1 r r r r n n r r r r n n rr r r r r r rn n c x c x c x d c x c x c x c x d c x c x c x d c x c x + + + + + + + + + = − − − + + = − − − = − − − ， 右边任意给定 1 , , r n x x + 一组数，我们就能得到 1 , , r x x 的对应值，从而找到 方程组的一组解，所以方程组有无数个解. 例 3. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 4 2 5 4 2 4 1 x x x x x x x x x − + = − + = − + = − 三、齐次线性方程组 对于齐次线性方程组，我们有 定理：对于齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = 来讲， 如果 s n ， 那么它一定有非零解. 第 3 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 四、矩阵的有关定义 1.从上面的方程组求解来看，方程组是否有解，有多少解，与方程组的系数 有关，与未知量的表示符号无关，因此引入矩阵的定义 a1a2a3.an】 d2an3.ann 强调与行列式的不同. 2.矩阵的行初等变换： (1)某一行乘以一个不为零的常数 (2)交换两行的位置 (3)某一行加上另一行的倍数 比较行初等变换与方程组求解时的三种变换 3.用矩阵的表示法求解，例1,2,3. 第4页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 四、矩阵的有关定义 1．从上面的方程组求解来看， 方程组是否有解，有多少解，与方程组的系数 有关，与未知量的表示符号无关， 因此引入矩阵的定义 11 12 13 1 21 22 23 2 1 2 3 n n m m m mn a a a a a a a a A a a a a = 强调与行列式的不同. 2. 矩阵的行初等变换： （1）某一行乘以一个不为零的常数 （2）交换两行的位置 （3）某一行加上另一行的倍数 比较行初等变换与方程组求解时的三种变换 3. 用矩阵的表示法求解， 例 1， 2， 3. 第 4 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 §2n维向量空间 一、向量的有关定义： 1.行向量：所谓数域P上的一个n维向量，就是由数域P上的n个数 组成的有序数组(a,a,.,a),a,称为分量 2.两个向量相等 3.零向量 二、向量的运算： 1.向量的加法 2向量的数乘 3运算规律. 4向量空间 5列向量
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 §2 n 维向量空间 一、向量的有关定义： 1．行向量：所谓数域 P 上的一个 n 维向量，就是由数域 P 上的 n 个数 组成的有序数组 1 2 ( , , , ) n a a a ， i a 称为分量 2. 两个向量相等 3. 零向量 二、向量的运算： 1. 向量的加法. 2 向量的数乘 3 运算规律. 4 向量空间 5 列向量 第 5 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 S3线性相关性 一、线性表出，等价 1.线性组合：向量。称为一组向量A,R,.B的一个线性组合，如果存在 数域P中的数飞，k,.,k,使得α=kB+kB+.+kB成立.此时也称 Q可由A,B,.,B线性表出. 例1：4=(2，-130，%=(4，-2,5,4)，%，=(2，-1,4，-0，有a,=3a-%2 例2：任意n维向量a=(a,a,.,a)都可由n维单位向量6,2，6线 性表出 例3：零向量可由任一组向量线性表出. 2如何判断a可由月，B,.,B线性表出， 等价于方程组a=xB+xB++xB是否有解。 P154习题2. 例4设a=(1,2,1,),R=(1,111),B=(L,1-1,-1),B=(L-1,1,-), B=(L,-1,-1,),问a能否表示为B,B,A,B的线性组合 答案：a-a+A-B-B 例5设a=(2,3,-4,),月=(12,3，-4)，月=(2，-1,2,5)， A=(2-15-4,问a能否表示为A,A,A的线性组合 答案：不能 第6页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 §3 线性相关性 一、线性表出，等价 1. 线性组合：向量 称为一组向量 1 2 , , , s 的一个线性组合，如果存在 数域 P 中的数 1 2 , , , s k k k 使得 1 1 2 2 s s = + + + k k k 成立. 此时也称 可由 1 2 , , , s 线性表出. 例 1: 1 2 3 = − = − = − − (2, 1,3,1) , (4, 2,5,4) , (2, 1,4, 1) , 有 3 1 2 = − 3 例 2：任意 n 维向量 1 2 ( , , , ) n = a a a 都可由 n 维单位向量 1 2 , , , n 线 性表出 例 3：零向量可由任一组向量线性表出. 2 如何判断 可由 1 2 , , , s 线性表出， 等价于方程组 1 1 2 2 s s = + + + x x x 是否有解. P154 习题 2. 例 4 设 = (1, 2,1,1) ，1 = (1,1,1,1) ，2 = − − (1,1, 1, 1) ，3 = − − (1, 1,1, 1) ， 4 = − − (1, 1, 1,1) ，问 能否表示为 1 2 3 4 , , , 的线性组合 答案： 1 2 3 4 5 1 1 1 4 4 4 4 = + − − 例 5 设 = − (2, 3, 4,1) ，1 = − (1, 2, 3, 4) ，2 = − (2, 1, 2, 5) ， 3 = − − (2, 1, 5, 4) ，问 能否表示为 1 2 3 , , 的线性组合 答案： 不能 第 6 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 例6设a=(4,5,1),月=(12,11)，月=(110,0) B=(2,1,-1,-),问α能否表示为B,B,B的线性组合 答案：能 3.向量组等价：如果向量组a,4,.,g,中每一个向量4，都可以由向量组 B,及，B线性表出，则称4，凸.，g可由A,A,B线性表出. 如果两个向量组a4,a,.,α，和B,B,B可以相互线性表出，则称它们等 价. 4.等价的性质 二、线性相关 1.定义：如果向量组4，a,.,&,(s22)中有一个向量可由其余的向量线性 表出，则称a,凸，二线性相关 例：(1)在例1中，a,一，a线性相关 (2）含有零向量的向量组一定线性相关 2.另一个定义：向量组%，%，&，称为线性相关，如果存在数域P中一组 不全为零的数k,k3,.,k，使得ka+ka,++ka,=0 (1)由例1知道，3a-&,-a,=0成立，从而a,&,a线性相关. (2)强调k,k,.,k不全为零，和全不为零的区别 (3)对于含有一个向量的向量组α是否线性相关，可由这个定义来判定 第7页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 例 6 设 = (4, 5,1,1) ，1 = (1, 2,1,1) ，2 = (1,1, 0, 0) ， 3 = − − (2,1, 1, 1) ，问 能否表示为 1 2 3 , , 的线性组合 答案： 能 3. 向量组等价: 如果向量组 1 2 , , , s 中每一个向量 i 都可以由向量组 1 2 , , , t 线性表出, 则称 1 2 , , , s 可由 1 2 , , , t 线性表出. 如果两个向量组 1 2 , , , s 和 1 2 , , , t 可以相互线性表出, 则称它们等 价. 4. 等价的性质 二、线性相关 1. 定义: 如果向量组 1 2 , , , s ( s 2 )中有一个向量可由其余的向量线性 表出, 则称 1 2 , , , s 线性相关. 例: (1) 在例 1 中, 1 2 3 , , 线性相关 (2) 含有零向量的向量组一定线性相关. 2. 另一个定义: 向量组 1 2 , , , s 称为线性相关, 如果存在数域 P 中一组 不全为零的数 1 2 , , , s k k k , 使得 1 1 2 2 0 s s k k k + + + = (1) 由例 1 知道, 1 2 3 3 0 − − = 成立, 从而 1 2 3 , , 线性相关. (2) 强调 1 2 , , , s k k k 不全为零, 和全不为零的区别 (3) 对于含有一个向量的向量组 是否线性相关, 可由这个定义来判定 第 7 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 3.定理1：在s≥2时，两个定义等价 4.定义：线性无关 5.一些性质： (1)两个向量4,4，线性相关，则它们的对应分量成比例， (2)部分组线性相关，则整组也线性相关. (3)整组线性无关，则任意部分组也线性无关， 6.如何判定向量组线性相关线性无关 假设g=(a,aa.a),则4,4g,是否线性相关等价于 齐次方程组xa+xa,++xa=0是否有非零解， a1+4x+a3+.+ax,=0 a+aa3+0z53+.+a,=0 (a+an3+aw3+.+am3,=0 例7：g=2-13,),a=4,-25,4,=(2,-14,-)线性相关 例8：写，5.，5，线性无关 例9：如果a4,%,a,线性无关，那么添加分量后得到的向量组也线性无关 即：月=(a,a2.,an,am),B,B,.,B线性无关 例10若向量组a,a2,a,线性无关，则向量组2a+4,%+5a,4g+3a也线 性无关。 第8页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 3. 定理 1: 在 s 2 时, 两个定义等价 4. 定义: 线性无关 5. 一些性质: (1) 两个向量 1 2 , 线性相关, 则它们的对应分量成比例. (2) 部分组线性相关, 则整组也线性相关. (3) 整组线性无关, 则任意部分组也线性无关. 6. 如何判定向量组线性相关, 线性无关 假设 1 2 ( , , , ) i i i in = a a a , 则 1 2 , , , s 是否线性相关等价于 齐次方程组 1 1 2 2 0 s s x x x + + + = 是否有非零解, 11 1 21 2 31 3 1 12 1 22 2 32 3 2 1 1 2 2 3 3 0 0 0 s s s s n n n sn s a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + + = + + + + = + + + + = 例 7: 1 2 3 = − = − = − − (2, 1,3,1) , (4, 2,5,4) , (2, 1,4, 1) 线性相关 例 8: 1 2 , , , n 线性无关 例 9: 如果 1 2 , , , s 线性无关, 那么添加分量后得到的向量组也线性无关 即: 1 2 1 ( , , , , ) i i i in i n a a a a = + , 1 2 , , , s 线性无关 例 10 若向量组 1 2 3 , , 线性无关， 则向量组 1 2 2 3 3 1 2 , 5 , 4 3 + + + 也线 性无关. 第 8 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 7.定理2：设4,4，a,和A,及，B是两个向量组，如果： (1)向量组4,4，a,可由，A,B线性表出 (2)r>s 则a,a,a线性相关。 证明：令x4+x4++x,a,=0 g,=kB+k,B+.+kB(i=1,2,s） 代入上式，整理得到一个关于R,B,B的式子，再讨论x,.,x 有无非零解 推论1.如果向量组a,4.,a,可由，月.B线性表出，且4,4，a 线性无关，则有r≤s. 推论2：任意n+1个n维向量必线性相关 推论3.两个等价的线性无关的向量组必含有相同个数的向量， 第9页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 7. 定理 2: 设 1 2 , , , r 和 1 2 , , , s 是两个向量组, 如果: (1) 向量组 1 2 , , , r 可由 1 2 , , , s 线性表出 (2) r s 则 1 2 , , , r 线性相关. 证明: 令 1 1 2 2 0 s s x x x + + + = i i i it t 1 1 2 2 = + + + k k k ( i s =1, 2, , ) 代入上式，整理得到一个关于 1 2 , , , t 的式子，再讨论 1 2 , , , s x x x 有无非零解 推论 1. 如果向量组 1 2 , , , r 可由 1 2 , , , s 线性表出， 且 1 2 , , , r 线性无关， 则有 r s . 推论 2: 任意 n+1 个 n 维向量必线性相关. 推论 3. 两个等价的线性无关的向量组必含有相同个数的向量. 第 9 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 §3线性相关性 一、线性表出，等价 二、线性相关 三、极大线性无关组 1.定义：极大线性无关组 2.结论：极大线性无关组与向量组本身等价 3.定理3：一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量 4.定义：向量组的秩 5.等价的向量组有相同的秩 6.全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组，我们定义它的秩为零. 7.如何求向量组的秩：用矩阵的初等行变换的方法 设a=(G,G2,G)(1=12.,m)是一组行向量，我们把a,%,a 当作矩阵的列向量，进行初等行变换，即： C2C2Cw2 求出向量组的秩和极大线性无关组 第10页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 §3 线性相关性 一、线性表出，等价 二、线性相关 三、极大线性无关组 1. 定义: 极大线性无关组 2. 结论: 极大线性无关组与向量组本身等价 3. 定理 3: 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量. 4. 定义: 向量组的秩 5. 等价的向量组有相同的秩. 6. 全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组, 我们定义它的秩为零. 7. 如何求向量组的秩: 用矩阵的初等行变换的方法 设 i n = (c c c 11 12 1 , , , ) （ i m =1, 2, , ）是一组行向量，我们把 1 2 , , , m 当作矩阵的列向量，进行初等行变换， 即： 11 21 1 12 22 2 1 2 m m n n mn c c c c c c c c c ， 求出向量组的秩和极大线性无关组 第 10 页