《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿，48学时）第四章 随机变量的数字特征 第三节 协方差及相关系数

概率论与散理统计 第三节 协方差及相关系数 一、协方差的概念及性质 二、相关系数的概念及意义

一、协方差的概念及性质 二、相关系数的概念及意义 第三节 协方差及相关系数

概率论与散理统外「 一、协方差的概念及性质 1.问题的提出 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E[X-E(X)]Y-E(Y) 若随机变量X和Y相互独立，那么 D(X+Y)=D(X)+D(Y)

1. 问题的提出 若随机变量 X 和Y 相互独立,那么 D(X  Y )  D(X)  D(Y ). D X Y D X D Y E X E X Y E Y ( ) ( ) ( ) 2 {[ ( )][ ( )]}.       一、协方差的概念及性质

概率论与敖理统计 2.协方差（Covariance)的定义 量E{[X-E(X)IY-E(Y)}称为随机变量 X与Y的协方差.记为Cov(X,Y),即 Cov(X,Y)=EX-E(X)]Y-E(Y)] 3.协方差的计算公式 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

Cov( , ) {[ ( )][ ( )]}. . Cov( , ), {[ ( )][ ( )]} X Y E X E X Y E Y X Y X Y E X E X Y E Y      与 的协方差 记为 即 量 称为随机变量 2. 协方差（ Covariance ）的定义 3. 协方差的计算公式 Cov( X,Y)  E(XY)  E(X )E(Y)

概率伦与散理统针」 4.性质 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) (1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X); (2)Cov(X,bY)=bCov(X,Y),a,b为常数； (3)Cov(Xi+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)

4. 性质 (1) Cov(X,Y )  Cov(Y, X); (2) Cov(aX,bY )  abCov(X,Y ), a, b 为常数; (3) Cov( , ) Cov( , ) Cov( , ). X1  X2 Y  X1 Y  X2 Y Cov( X ,Y )  E( X Y )  E( X )E(Y )

概率论与敖理统外 例1设随机变量X,Y具有密度函数 .)-(EG 0, others 其中G由曲线y=x2,x=y2围成，求 y Cov(X,Y)

例1 设随机变量 X Y, 具有密度函数 3,( , ) ( , ) 0, x y G f x y others      其中G 由曲线 2 2 y x x y   , 围成，求 C X Y ov( , ) y x 0 1 G

概率论与散理统外 说明 ()若随机变量X和Y相互独立，则 Cov(X,Y)=0 (2)一般地， D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2CoV(X,Y)

Cov( X ,Y)  0 (1) 若随机变量 X 和Y 相互独立,则 说明 (2) 一般地， D X Y ( )   ( ) ( ) 2 ov( , ) D X D Y C X Y  

概率论与敖理统计 二、相关系数的概念及意义 1、定义 Cov(Y,Y) Pw=VDX·DT (D(X)>0,DY)>0) 称为随机变量X与Y的相关系数 2、计算公式 E(XY)-E(X)E(Y) Px灯= VD(X)·VD(Y)

二、 相关系数的概念及意义 . ( ( ) 0 ( ) 0) ( ) ( ) Cov( , ) 称为随机变量 X 与Y 的相关系数 D X ,D Y D X D Y X Y ρXY     1、定义 2、计算公式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D X D Y E XY E X E Y ρXY   

概率论与散理统外「 3、相关系数的意义 问a,b应如何选择，可使a+bX最接近Y? 接近的程度又应如何来衡量？ 设e=E(Y-(a+bX)2] 均方误差 则e可用来衡量a+bX近似表达Y的好坏程度. 当e的值越小，表示a+bX与Y的近似程度越好. 确定a,b的值，使e达到最小

3、相关系数的意义 ? , , ? 接近的程度又应如何来衡量 问a b 应如何选择 可使 a  bX 最接近 Y [( ( )) ] 2 设 e  E Y  a  bX 则 e 可用来衡量 a  bX 近似表达 Y 的好坏程度. 当 e的值越小,表示 a  bX 与Y 的近似程度越好. 确定 a,b的值,使 e 达到最小. 均方误差

概率论与散理统计 e=E[(Y-(a+bX)2] =E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X) -2aE(Y). 将e分别关于a,b求偏导数，并令它们等于零，得 e=2a+2bE(X)-2EY)=0, O be =2bE(X2)-2E(XY)+2aE(X)=0. 解得A=X,”a=E)-E(X),” D(X) D(X)

2 ( ). ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 aE Y E Y b E X a bE XY abE X       将 e 分别关于 a,b 求偏导数,并令它们等于零,得                  2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 0. 2 2 ( ) 2 ( ) 0, 2 bE X E XY aE X b e a bE X E Y a e 解得 , ( ) Cov( , ) 0 D X X Y b  . ( ) Cov( , ) ( ) ( ) 0 D X X Y a  E Y  E X [( ( )) ] 2 e  E Y  a  bX

概率论与数理统外」 将a,b代入e=E[(Y-(a+bX)2]中，得 mine E[(Y-(a+bx))2] a,b E[(Y-(ao+bX))2] =(1-py)D(Y):

将 a0 ,b0 代入 e  E[(Y  (a  bX))2 ]中,得 min [( ( )) ] 2 , e E Y a bX a b    (1 ) ( ). 2   ρXY D Y [( ( )) ] 2  E Y  a0  b0X