《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿，48学时）第二章 随机变量及其分布 第四节 连续型随机变量及其概率密度

概率论与数理统外「 第四节连续型随机变量 及其概率密度 一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量

一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量 第四节 连续型随机变量 及其概率密度

概率论与敖理统外 一、概率密度的概念与性质 1.定义 对于随机变量X的分布函数 F(x), 如果存在非负函数∫(x),对于任意实数x有 F(x)=」广nf)dt, 则称X为连续型随机变量， ∫(x)为X的概率密度函数，简称概率密度

一、概率密度的概念与性质 ( ) ( ) d , x F x f t t     X f x( ), 1.定义 对于随机变量 的分布函数 如果存在非负函数 F x( ), 对于任意实数 x 有 则称 X 为连续型随机变量， f x( ) 为 X 的概率密度函数，简称概率密度

概率论与散理统外「 2.概率密度的性质 f(x) (1)f(x)≥0 (2)f(x)dx=1

2.概率密度的性质 o x f (x) 1 (1) f (x)  0 (2) ( )d 1    f x x y

概率论与敖理统计 f(x)1 X x2 (3)P{x<X≤2}=F(x2)-F(x) =J"f(x)dx

o x f (x) 1 S1 x1  x2    1 2 2 1 3 { } ( ) ( ) P x X x F x F x     2 1 ( )d x x  f x x 

概率论与数理统针「 注1 I)PX≤=F四=∫fx)dx, (2)P{X>a=1-P{X≤=1-F(a) =∫f(x)dx. (3)在)的连续点处F'(x)=∫(x)

P{X  a}  F(a) f (x)d x, a   P{X  a}  1  P{X  a} 1 F(a) f (x)d x. a   注1 （1） （2） （3）在 f(x) 的连续点处 F x f x ( ) ( ) 

概率论与散理统计 注2 对于任意实数值α，连续型随机变量取α的概 率等于零.即P{X=}=0. P{a≤X≤b}=P{a<X≤b=P{a≤X<b} =P{a<X<b}. PX=a}=0,{X=a}并非不可能事件

对于任意实数值 a ,连续型随机变量取 a 的概 率等于零.即 P{X  a}  0. P{a  X  b}  P{a  X  b} P{a  X  b}  P{a  X  b}. 注2 P X a { } 0,   { X= a }并非不可能事件

概率论与散理统外「 例1设随机变量X具有概率密度 kx, 0≤x<3, f(x)=2- 2 3≤x≤4， 0, 其它 (1)确定常数k; (2)求X的分布函数； 3)求P1<X≤2》

}. 2 7 (3) {1 (1) ; (2) ; 0, . , 3 4, 2 2 , 0 3, ( )               P X k X x x kx x f x X 求 确定常数 求 的分布函数 其它 例1 设随机变量 具有概率密度

概率论与敖理统计 例2 设连续型随机变量X的分布函数为 0, x≤-0， F(x)=A+Barcsin,-a. 求：(I)系数A,B的值； 2)P-a<X<: (3)随机变量X的概率密度

(3) . }; 2 (2) { : (1) , ; 1, . arcsin , , 0, , ( ) 随机变量 的概率密度 求 系数 的值 设连续型随机变量 的分布函数为 X a P a X A B x a a x a a x A B x a F x X                  例2

概率论与散理统外「 0, x≤-a, 11 所以F(x)= 2+元arcsin -aa

                1, . arcsin , , 1 2 1 0, , ( ) x a a x a a x x a 所以 F x

概率论与散理统计 二、常见连续型随机变量的分布 1.均匀分布 定义设连续型随机变量X具有概率密度 a<x<b, 0,其它 则称X在区间(4，b)上服从均匀分布 f(x) 记作X~U(4,b) a o b

二、常见连续型随机变量的分布 1. 均匀分布 x o f (x)  a  b 定义 设连续型随机变量X 具有概率密度 则称 X 在区间（a, b）上服从均匀分布 1 , , ( ) 0, , a x b f x b a          其它 记作 X~ U（a, b)