《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿，48学时）第四章 随机变量的数字特征 第四节 矩、协方差矩阵

概率轮与数理统外】 第四节矩、协方差矩阵 1.定义 设X和Y是随机变量，若E(X),k=1,2,. 存在，称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩 若E{[X-E(X)]},k=2,3,.存在， 称它为X的k阶中心矩

, , . , ( ), 1,2, X k 阶原点矩 k 阶矩 X Y E X k k 存在 称它为 的 简称 设 和 是随机变量 若   . {[ ( )] } , 2,3, , X k 阶中心矩 E X E X k k 称它为 的 若   存 在 1.定义 第四节 矩、协方差矩阵

概率论与敖理统外 若」 E(XY),k,l=1,2,. 存在，称它为X和Y的k+I阶混合矩， 若E{IX-E(X)[Y-E(Y)},k,1=1,2,. 存在，称它为X和Y的k+I阶混合中心矩

, . ( ), , 1,2, X Y k l阶混合矩 E X Y k l k l   存在 称它为 和 的 若  , . { [ ( )] [ ( )] } , , 1,2, X Y k l 阶混合中心矩 E X E X Y E Y k l k l     存 在 称它为 和 的 若 

概率论与散理统外「 三阶中心矩E{X-E(X)3}主要用来衡量随 机变量的分布是否有偏. 四阶中心矩E{X一E(X)4}主要用来衡量随 机变量的分布在均值附近的陡峭程度如何

. {[ ( )] } 3 机变量的分布是否有偏 三阶中心矩E X  E X 主要用来衡量随 . {[ ( )] } 4 机变量的分布在均值附近的陡峭程度如何 四阶中心矩 E X  E X 主要用来衡量随

概率论与敖理统计 3.协方差矩阵 设n维随机变量(X1,X2,.,Xn)的二阶混合 中心矩 Ci=Cov(Xi,X)=EfIX;-E(Xi)l[X;-E(X ij=1,2,.,n 都存在，则称矩阵 C1 C12 Cin C= C21 C22 C2n :: Cnl Cn2 Cnn 为n维随机变量的协方差矩阵

3. 协方差矩阵 中心矩 设 n 维随机变量(X1 , X2 ,, Xn )的二阶混合 , , 1,2, , Cov( , ) {[ ( )][ ( )] 都存在 i j n cij Xi X j E Xi E Xi X j E X j       则称矩阵                n n nn n n c c c c c c c c c C       1 2 21 22 2 11 12 1 为 n 维随机变量的协方差矩阵

概幸论与散理统外」 由于c=ci(i,j=1,2,n),所以协方差矩 阵为对称的非负定矩阵。 协方差矩阵的应用 协方差矩阵可用来表示多维随 机变量的概率密度，从而可通 过协方差矩阵达到对多维随机 变量的研究

. ( , 1,2, , ) , 阵为对称的非负定矩阵 由于 cij  c ji i j   n 所以协方差矩 协方差矩阵的应用 协方差矩阵可用来表示多维随 机变量的概率密度，从而可通 过协方差矩阵达到对多维随机 变量的研究

概率论与故理统外 以二维正态变量（X,X2)为例 由于 1 fx,)=2no,021-p rn-, 0102 引入矩降x-()-(州） 及(X1,X2)的协方差矩阵C= c21

以二维正态变量 (X 1 ,X 2 ) 为例 . ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 exp 2π 1 1 ( , ) 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2                       σ x μ σ σ x μ x μ ρ σ x μ ρ σ σ ρ f x x 由于 引入矩阵 , 2 1        x x X . 2 1        μ μ μ 及 (X1 , X2 )的协方差矩阵 , 21 22 11 12        c c c c C