第一章§1数域 按照我们的教学计划，我们先介绍 数域的基本概念 G
第一章 §1 数域 按照我们的教学计划，我们先介绍 数域的基本概念 Go
§1数域 多项式是代数学中最基本的对象之一，它 不但与高等方程的讨论有关，而且在进一步 学习代数以及其它数学分支时也都会用到。 本章介绍多项式的基本知识。 数：自然数→整数→有理数→实数→复 数。 数的运算：加、减、乘、除。这些运算 性质称为代数性质。有理数、实数、复数对 这四种运算都是封闭的。有其它一些数集也 具有这样的性质，引入：
§1 数 域 多项式是代数学中最基本的对象之一，它 不但与高等方程的讨论有关，而且在进一步 学习代数以及其它数学分支时也都会用到。 本章介绍多项式的基本知识。 数：自然数→整数→有理数→实数→复 数。 数的运算：加、减、乘、除。这些运算 性质称为代数性质。有理数、实数、复数对 这四种运算都是封闭的。有其它一些数集也 具有这样的性质，引入：
定义二设P是由一些复数组成的集合 其中包括0和1，如果P中任意两个数 (这两个数也可以相同)的和、差、积、商 (除数不为零)仍然是P中的数，那么P 就称为一个数域。 有理数、实数、复数为数域，记为 Q(rational number)R (real number) C(complex number)。 例1所有具有形式a+b√2的数 (a,b是任意有理数)，构成一个数域。通 常用 Q(V2) 来表示这个数域
定义一 设 P 是由一些复数组成的集合， 其中包括 0 和 1 ，如果 P 中任意两个数 （这两个数也可以相同）的和、差、积、商 （除数不为零）仍然是 P 中的数，那么 P 就称为一个数域。 有理数、实数、复数为数域，记为 Q(rational number)、R（real number)、 C(complex number)。 例1 所有具有形式 的数 （a,b是任意有理数），构成一个数域。 通 常用 来表示这个数域。 a +b 2 Q( 2)
证明显然 Q(V2)包含0和1并且对于 加减法是封闭的。现在证明它对乘除 法也是封闭的。 (a+b/2)c+d2) =(ac+2bd)+(ad+be)2E0(v2) 设a+bV2≠0于是a-bN2 也不为 零，而 c+dv2 (c+d√2)(a-b√2) 圈 a+b2 (a+bV2)(a-b√2) ac-2bd ad-hcV2∈o(N2) 福 a2-2b2 a2-2b2
证明 显然 包含0和1并且对于 加减法是封闭的。现在证明它对乘除 法也是封闭的。 设 于是 也不为 零，而 Q( 2) ( 2 ) ( ) 2 ( 2) ( 2)( 2) ac bd ad bc Q a b c d = + + + + + a +b 2 0 a −b 2 2 ( 2) 2 2 2 ( 2)( 2) ( 2)( 2) 2 2 2 2 2 2 Q a b ad bc a b ac bd a b a b c d a b a b c d − − + − − = + − + − = + +
由上两式可以得出Q(√2)乘、除法也是封 闭的。 例2) 所有可以表成形式 0+a1π+.+anπ” bo十b,E+.+b元m 的数组成一数域，其中n,m为任薏非负整数， 是整数。 a,b(i=0,1,.,mj=0,1,.,1m)
由上两式可以得出 乘、除法也是封 闭的。 例2 所有可以表成形式 的数组成一数域，其中n,m为任意非负整数， 是整数。 Q( 2) m m n n b b b a a a + + + + + + 0 1 0 1 a ,b (i 0,1, ,n; j 0,1, ,m) i j = =
例3所有奇数组成的数集，对于乘法是封 闭的，但对于加、减不是封闭的。 √2的整倍数的全体构成一数集，它对于 加、减法是封闭的，但对于除法不封闭
例3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封 闭的，但对于加、减不是封闭的。 的整倍数的全体构成一数集，它对于 加、减法是封闭的，但对于除法不封闭。 2
重要性质：所有的数域都包含有理数作为 他的一部分。 事实上，设P是一个数域，由定 义，1+1=2,2+1=3，.，n+1=n+1,.全 属于P,再由P对减法的封闭性，o- n=-n,也属于P,因而P包含全体整数。 阔 任何一个有理数可以表成两个整数的商， 由P对除法的封闭性即得上述结论。 Back
重要性质：所有的数域都包含有理数作为 他的一部分。 事实上，设 P 是一个数域，由定 义，1+1=2，2+1=3，.，n+1=n+1,.全 属于P ，再由 P 对减法的封闭性，on=-n，也属于P ，因而P 包含全体整数。 任何一个有理数可以表成两个整数的商， 由P 对除法的封闭性即得上述结论。 Back
第二章 行列式 引言 排列 n阶行列式 n阶行列式的性质 行列式的计算 行列式按一行（列）展开 Cramer法则 Laplace定理。行列式的乘法规则
第二章 行列式 §1 引言 §2 排列 §3 n阶行列式 §4 n阶行列式的性质 §5 行列式的计算 §6 行列式按一行（列）展开 §7 Cramer法则 §8 Laplace定理．行列式的乘法规则
§1引言 一元一次方程：ax=b,只要a0,就可 以解出x=bla。 二元线性方程组： aux1 +a2x2 =b 当二阶行列式 a21X1+a22X2=b2 au a12 0 丰 bi a12 a11 b a21 a22 d22 a21 b2 X1= X2= 时，该方程组有唯一解， an 412 a411 412 a21 a22 a21 a22
§1 引言 一元一次方程：ax=b，只要a≠0，就可 以解出 x=b/a。 二元线性方程组： 当二阶行列式 时，该方程组有唯一解， 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 a x a x b a x a x b + = + = 11 12 21 22 0 a a a a 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 , a a a a a b a b x a a a a b a b a x = =
§1引言 aux+a2x2 =b a21x1+a2x3=b
§1 引言 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 + = + = a x a x b a x a x b