《高等代数》课程教学资源（习题解答，北大版）第五章 二次型

北大版《高等代数) 第五部分二次型习题精解 1.(【)用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果： 1)-4x1x2+2xx3+2x2x3 2)x2+2x1x2+2x3+4x2x3+4x 3)x2-3x-2xx2+2xx3-6x2x 4)8x1x4+2x3x4+2x2x3+8x2x4 5)x3+x3+x4+x23+x2x4+x 6)x2+2x+x+4xx2+4xx3+2xx4+2x2x3+2x2x4+2x3x 7)x+x+2x+2xx+2xX 解1)已知 fx1,x2,x3)=4xx2+2xx3+2x2x3 先作非退化线性替换 x1=片+y2 x2=y-3 (1) x3=3 则 fx1,x2,x3)=-4y2+4y+4yy3 =-4y2+4yy3-y3+y+4y3 =-(2%-⅓}++4好 再作非退化线性替换 1 1 y=21+23 =2 (2) h=3 则原二次型的标准形为 fx1,x2,x3)=-z+4z3+ 1

北大版《高等代数》 1 第五部分 二次型习题精解 1．（Ⅰ）用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果： 1） 4 1 2 2 1 3 2 2 3 − x x + x x + x x 2） 2 2 3 3 2 1 2 2 2 x1 + 2x x + 2x + 4x x + 4x 3） 1 2 1 3 2 3 2 2 2 x1 − 3x − 2x x + 2x x − 6x x 4） 8 1 4 2 3 4 2 2 3 8 2 4 x x + x x + x x + x x 5） 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 x x + x x + x x + x x + x x + x x 6） 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 2 4 2 2 2 x1 + 2x + x + 4x x + 4x x + 2x x + 2x x + 2x x + 2x x 7） 1 2 2 3 3 4 2 4 2 3 2 2 2 x1 + x + x + x + 2x x + 2x x + 2x x 解 1）已知 ( ) 1 2 3 4 1 2 2 1 3 2 2 3 f x , x , x = − x x + x x + x x 先作非退化线性替换      = = − = + 3 3 2 1 2 1 1 2 x y x y y x y y （1） 则 ( ) 1 3 2 2 2 f x1 , x2 , x3 = −4y1 + 4y + 4y y 2 2 2 3 2 1 3 3 2 = −4y1 + 4y y − y + y + 4y ( ) 2 2 2 3 3 = − 2y1 − y3 + y + 4y 再作非退化线性替换        = = = + 3 3 2 2 1 1 3 2 1 2 1 y z y z y z z （2） 则原二次型的标准形为 ( ) 2 3 2 2 2 f x1 , x2 , x3 = −z1 + 4z + z

北大版《高等代数》 最后将(2)代入(1)，可得非退化线性替换为 =++ (3) 3=53 于是相应的替换矩阵为 a”-2 -1 0001 且有 -100 TAT=0 4 0 (001 2)己知 fg1,x2,x3)=x+2xx2+2x+4x2x+4x 由配方法可得 fx,x2,x3)=(k+2xx2+x)+(+4xx+4x） =(x+x2尸+(x2+2x3月 于是可令 乃=x+x2 y2=x2+2x3 y3=x; 则原二次型的标准形为 f(x,x2,x3)=yi+yi 且非退化线性替换为 x=乃-+2 x2=2-2y x3=3 相应的替换矩阵为

北大版《高等代数》 2 最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为          = = − + = + + 3 3 2 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 x z x z z z x z z z （3） 于是相应的替换矩阵为                 = −                         = − 0 0 1 2 1 1 2 1 2 1 0 2 1 0 0 1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 T 且有          −  = 0 0 1 0 4 0 1 0 0 T AT 2）已知 f (x1 , x2 , x3 ) = 2 2 3 3 2 1 2 2 2 x1 + 2x x + 2x + 4x x + 4x 由配方法可得 ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 2 1 2 2 2 f x1 , x2 , x3 = x1 + 2x x + x + x + 4x x + 4x ( ) ( ) 2 2 3 2 = x1 + x2 + x + 2x 于是可令      = = + = + 3 3 2 2 3 1 1 2 2 y x y x x y x x 则原二次型的标准形为 ( ) 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = y + y 且非退化线性替换为      = = − = − + 3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 2 x y x y y x y y y 相应的替换矩阵为

北大版《高等代数》 1-12 T=01-2 (001 且有 100Y110Y1-12)100 TAT=-11012201-2=010 2 -21八024001000 (3)已知 x1,2,x）=x2-3x-2xx3+2x3-6x23 由配方法可得 fx,x2,x)=-2xx2+2xx3-2x2x3+x号+x)-(4x+4x2x3+x） =(k1-x2-x3-(2x2+x3 于是可令 =x-x2+3 {2=2x2+x3 y3=x3 则原二次型的标淮准形为 f,x2x）=-月 且非退化线性替换为 =+ =2为2为 x3= 相应的替换矩阵为 3 T= 1-20 21- 且有

北大版《高等代数》 3           − − = 0 0 1 0 1 2 1 1 2 T 且有           =           − −                     −  = − 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 2 1 1 2 0 2 4 1 2 2 1 1 0 2 2 1 1 1 0 1 0 0 T AT （3）已知 ( ) 1 2 1 3 2 3 2 2 2 f x1 , x2 , x3 = x1 − 3x − 2x x + 2x x − 6x x 由配方法可得 ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 2 3 2 1 2 1 3 2 3 2 2 f x1 , x2 , x3 = x1 − 2x x + 2x x − 2x x + x + x − 4x + 4x x + x ( ) ( ) 2 2 3 2 = x1 − x2 − x3 − 2x + x 于是可令      = = + = − + 3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 y x y x x y x x x 则原二次型的标准形为 ( ) 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = y − y 且非退化线性替换为          = = − = + − 3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 1 x y x y y x y y y 相应的替换矩阵为                 − − = 0 0 1 2 1 2 1 0 2 3 2 1 1 T 且有

北大版《高等代数》 0Y1-11Y TAT 11-23-2 01212 100 0-1-3-3 0 -10 1 00 1 (4)已知 f,x2,x）=8xx2+2x34+2x23+8x2x 先作非退化线性替换 x=八+y4 X2=y2 x3=乃 x4=y4 f,x2,x3,x4)=8yy4+8y+2y4+2y2y+8y2y =州店+2传++传++安月 -假++-+⅓++2 再作非退化线性替换 y=21 2=52+ y3=2-3 y4=4 心小+++-2++ +2=-2Ξ 再令

北大版《高等代数》 4           = −                 − −           − − − − −                 − −  = 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 2 1 2 1 0 2 3 2 1 1 1 3 0 1 3 3 1 1 1 1 2 1 2 3 0 2 1 2 1 1 0 0 T AT （4）已知 ( ) 1 2 3 4 8 1 2 2 3 4 2 2 3 8 2 4 f x , x , x , x = x x + x x + x x + x x 先作非退化线性替换        = = = = + 4 4 3 3 2 2 1 1 4 x y x y x y x y y 则 ( ) 3 4 2 3 2 4 2 f x1 , x2 , x3 , x4 = 8y1 y4 + 8y4 + 2y y + 2y y + 8y y                + + +      = + + + 2 4 1 2 3 1 2 3 2 4 8 1 2 1 2 1 8 1 2 1 2 1 8 y 2y y y y y y y 2 3 2 1 2 3 2 8 1 2 1 2 1 8 y y y  + y y      − + + 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 4 2 4 1 2 8 1 2 1 2 1 8 y y y y y y y  + y y       − + +      = + + + 再作非退化线性替换        = = − = + = 4 4 3 2 3 2 2 3 1 1 y z y z z y z z y z 则 ( ) 2 1 2 3 2 1 2 3 4 1 2 3 4 4 3 4 5 2 8 3 8 5 2 1 , , , 8        − + +      f x x x x = z + z + z + z z z z 2 3 2 + 2z2 − 2z 再令

北大版《高等代数》 m=++子 w2=32 w3=53 则原二次型的标准形为 fk,x2x3,x4）=-2w2+2w-2w+8w 且非退化线性替换为 x2=02+w3 X:=1w,-1f 相应的替换矩阵为 53 T= 01 -10 - 001 且有 -2 00 0 020 0 0-2 0 0 00 (5)已知 f,2,x3,x4)=x2+3+xx4+x23+x2x4+X3x 先作非退化线性替换 x=2y+2 X:=y2 5= x4=y4 则 fx1,x2,x3,x4)=2%y2+y片+2yy1+22y1+2yy4+2y2y4+yy4

北大版《高等代数》 5          = + + + = = = + + 4 1 2 3 4 3 3 2 2 1 1 2 3 8 3 8 5 2 1 4 3 4 5 w z z z z w z w z w z x x 则原二次型的标准形为 ( ) 1 2 3 4 f x , x , x , x 2 4 2 3 2 2 2 = −2w1 + 2w − 2w + 8w 且非退化线性替换为          = − + = − = + = − − + 4 1 4 3 2 3 2 2 3 1 1 2 3 4 2 1 4 3 4 5 2 1 x w w x w w x w w x w w w w 相应的替换矩阵为                 − − − − = 0 0 1 2 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 4 3 4 5 2 1 T 且有               − −  = 0 0 0 8 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 0 T AT （5）已知 ( ) 1 2 3 4 f x , x , x , x 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 = x x + x x + x x + x x + x x + x x 先作非退化线性替换        = = = = + 4 4 3 3 2 2 1 2 1 2 x y x y x y x y y 则 ( ) 1 2 3 4 f x , x , x , x 1 3 2 3 1 4 2 4 3 4 2 = 2y1 y2 + y2 + 2y y + 2y y + 2y y + 2y y + y y

北大版《高等代数》 =++%+水-(+-月 再作非退化线性替换 51=y 2=+++y4 5=为+2 4=y4 y=3 1 y=4 则原二次型的标准形为 fxx)=-+-号-} 且非退化线性替换为 =5+- x2=-1+22-224 1 =5-24 x4=4 相应的替换矩阵为 1-1- T= 001-2 0001 且有 (-100 0 010 0 T'AT= 00-1 0 00 3 4 6

北大版《高等代数》 6 ( ) 2 1 2 4 2 3 4 2 1 2 3 4 4 3 2 1 y y y y y y  − y − y      = + + + − + 再作非退化线性替换          = = + = + + + = 4 4 3 3 4 2 1 2 3 4 1 1 2 1 z y z y y z y y y y z y 即          = = − = − + − − = 4 4 3 3 4 2 1 2 3 4 1 1 2 1 2 1 y z y z z y z z z z y z 则原二次型的标准形为 ( ) 1 2 3 4 f x , x , x , x 2 4 2 3 2 2 2 1 4 3 = −z + z − z − z 且非退化线性替换为            = = − = − + − − = + − − 4 4 3 3 4 2 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 2 1 2 1 x z x z z x z z z z x z z z z 相应的替换矩阵为                   − − − − − − = 0 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 T 且有               − − −  = 4 3 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 T AT

北大版《高等代数》 (6)已知 f,x2,x3,x)=x+2x+x+4x2+4xx3+2xx4 +2x2x3+2x2x+2x3x4 由配方法可得 fk,x2,x3x)=K+2x(2x2+2x3+x)+2x2+2x3+x月 -(2x2+2x3+x2+2x号+x+2x2x3+2x2x,+2xx 于是可令 以=x+2x2+2x+x4 =++ y3=X3+x4 y=x 则原二次型的标准形为 =-2明+ 且非退化线性替换为 x1=-2y2+3- 5=-3+ 3=为-4 x4=y4 故替换矩阵为 1-21-1 T= 001 -1 0001 且有 (1000 TAT= 0-200 00 10 006o (7)已知 f,x2,3x4)=x2+x号+x号+x+2xx2+2x2+2xx

北大版《高等代数》 7 （6）已知 ( ) 1 2 3 4 f x , x , x , x 1 2 1 3 1 4 2 4 2 2 2 = x1 + 2x + x + 4x x + 4x x + 2x x 2 2 3 2 2 4 2 3 4 + x x + x x + x x 由配方法可得 ( ) 1 2 3 4 f x , x , x , x  ( ) ( )  2 1 2 3 4 2 3 4 2 = x1 + 2x 2x + 2x + x + 2x + 2x + x ( ) 2 3 2 4 3 4 2 4 2 2 2 − 2x2 + 2x3 + x4 + 2x + x + 2x x + 2x x + 2x x ( ) ( ) 2 3 4 2 2 3 4 2 1 2 3 4 2 1 2 1 2 3 x 2x 2x x 2 x x x  + x + x      = + + + − + + 于是可令          = = + = + + = + + + 4 4 3 3 4 2 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 2 3 2 2 y x y x x y x x x y x x x x 则原二次型的标准形为 2 3 2 2 2 1 2 1 f = y − 2y + y 且非退化线性替换为          = = − = − + = − + − 4 4 3 3 4 2 2 3 4 1 1 2 3 4 2 3 2 x y x y y x y y y x y y y y 故替换矩阵为               − − − − = 0 0 0 1 0 0 1 1 1 2 3 0 1 1 2 1 1 T 且有               −  = 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 T AT （7）已知 ( ) 1 2 3 4 f x , x , x , x 1 2 2 3 3 4 2 4 2 3 2 2 2 = x1 + x + x + x + 2x x + 2x x + 2x x

北大版《高等代数》 由配方法可得 f,x2,x,x)=3+2x(1+x3)+(k+x3-2xx3+2xx+x =(k,+x2+x3)2-2xx3++2xx4+x）-x =6+x2+x}++x}-2xx-x号-x+x =x+(k1+x2+x尸+(63+x尸-(6+x3)月 于是可令 = 2=x1+x2+x3 3=x3+x4 y4=x1+3 则原二次型的标准形为 f=+y吃+y-y好 且非退化线性替换为 [x=y x2=y2-y4 x3=-月+y =y+y3-y4 相应的替换矩阵为 1000 T= 010-1 -1001 101-1 且有 1000 TAT= 0100 0010 000-1J (Ⅱ)把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形：并写出所作的非 退化线性替换。 解1)已求得二次型 fx1,x2,x3)=-4xx2+2x3+2x2x 的标准形为 f=-+4y3+3y

北大版《高等代数》 8 由配方法可得 ( ) 1 2 3 4 f x , x , x , x  ( ) ( )  2 1 3 3 4 4 2 2 1 3 1 3 2 = x2 + 2x x + x + x + x − 2x x + 2x x + x ( ) ( ) 2 3 2 3 4 4 2 1 3 3 2 = x1 + x2 + x3 − 2x x + x + 2x x + x − x ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 3 3 2 3 4 2 = x1 + x2 + x3 + x + x − 2x x − x − x + x ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2 3 4 2 1 2 3 2 1 = x + x + x + x + x + x − x + x 于是可令        = + = + = + + = 4 1 3 3 3 4 2 1 2 3 1 1 y x x y x x y x x x y x 则原二次型的标准形为 2 4 2 2 2 2 2 1 f = y + y + y − y 且非退化线性替换为        = + − = − + = − = 4 1 3 4 3 1 4 2 2 4 1 1 x y y y x y y x y y x y 相应的替换矩阵为               − − − = 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 T 且有               −  = 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 T AT （Ⅱ）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非 退化线性替换。 解 1）已求得二次型 ( ) 1 2 3 f x , x , x 4 1 2 2 1 3 2 2 3 = − x x + x x + x x 的标准形为 2 3 2 2 2 f = −y1 + 4y + 3y

北大版《高等代数》 且非退化线性替换为 1 =2++2” 5=为 (1)在实数域上，若作非退化线性替换 =3 为=222 y3= 可得二次型的规范形为 f=+对-好 (2)在复数域上，若作非退化线性替换 =E =a 可得二次型的规范形为 ∫=++ 2)己求得二次型 f,x2,x)=+2xx2+2x+4xx+4x 的标准形为 f=+ 且非退化线性替换为 x1=y-y2+2y3 x3=2-2y x3=3 故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形 ∫=+ 3)已求得二次型 fx1,x2x3)=x-3x-2xx2+2xx1-6x2x1 的标准形为

北大版《高等代数》 9 且非退化线性替换为          = = − + = + + 3 3 2 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 x y x y y y x y y y （1） 在实数域上，若作非退化线性替换        = = = 3 1 2 2 1 3 2 1 y z y z y z 可得二次型的规范形为 2 3 2 2 2 1 f = z + z − z （2） 在复数域上，若作非退化线性替换        = = = 3 1 2 2 1 1 2 1 y z y z y iz 可得二次型的规范形为 2 3 2 2 2 1 f = z + z + z 2）已求得二次型 ( ) 1 2 3 f x , x , x 2 2 3 3 2 1 2 2 2 = x1 + 2x x + 2x + 4x x + 4x 的标准形为 2 2 2 1 f = y + y 且非退化线性替换为      = = − = − + 3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 2 x y x y y x y y y 故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形 2 2 2 1 f = y + y 3）已求得二次型 ( ) 1 2 3 f x , x , x 1 2 1 3 2 3 2 2 2 = x1 − 3x − 2x x + 2x x − 6x x 的标准形为

北大版《高等代数》 ∫=片-贤 且非退化线性替换为 =男+ X3=y3 (1)在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即 f=-好 (2)在复数域上，若作非退化线性替换 (y== 2=2 为=53 可得二次型的规范形为 f=2+ (3)已求得二次型 f,x2,x3,x4)=8x2+2x3x4+2x2x3+8x2x4 的标准形为 f=-2y2+2y-2y+8y 且非退化线性替换为 3 x3=2+ x3=2-3 .=-+y (1)在实数域上，若作非退化线性替换

北大版《高等代数》 10 2 2 2 1 f = y − y 且非退化线性替换为          = = − = + − 3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 1 x y x y y x y y y （1） 在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即 2 2 2 1 f = y − y （2） 在复数域上，若作非退化线性替换      = = = 3 3 2 2 1 1 y z y iz y z 可得二次型的规范形为 2 2 2 1 f = z + z （3） 已求得二次型 ( ) 1 2 3 4 f x , x , x , x 8 1 2 2 3 4 2 2 3 8 2 4 = x x + x x + x x + x x 的标准形为 2 4 2 3 2 2 2 f = −2y1 + 2y − 2y + 8y 且非退化线性替换为          = − + = − = + = − − + 4 1 4 3 2 3 2 2 3 1 1 2 3 4 2 1 4 3 4 5 2 1 x y y x y y x y y x y y y y （1） 在实数域上，若作非退化线性替换