山东理工大学理学院备课纸 年月日 预备知识 一、数的扩展 1.自然数N→整数Z→有理数Q→实数集R→复数集C 2.讨论它们对于运算+，-，×，+的封闭性 二、数域的定义： 1.定义：设PcC,且0,1eP,如果P中任意两个数（这两个数可以相等） 的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数，则称P是一个数域 2.例1：N,Z不是数域，Q,RC是数域. 3.例2：Q2={a+b2a,beg}是-个数域。 4结论：有理数域是最小的数域 三、介绍附录中的符号 1.连加号∑ 例：1+2+n=2 2.连乘号Π 例：nl=i
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 预备知识 一、数的扩展： 1．自然数 N → 整数 Z → 有理数 Q → 实数集 R → 复数集 C 2．讨论它们对于运算 +，−，， 的封闭性 二、数域的定义： 1. 定义: 设 P C ，且 0,1 P ，如果 P 中任意两个数 (这两个数可以相等) 的和、差、积、商 (除数不为零) 仍然是 P 中的数，则称 P 是一个数域 . 2. 例 1:： N Z, 不是数域， Q R C , , 是数域. 3. 例 2： Q a b a b Q ( 2) 2 | , = + 是一个数域. 4 结论：有理数域是最小的数域 三、介绍附录中的符号 1. 连加号 例： 1 1 2 n i n i = + + + = 2. 连乘号 例： 1 ! n i n i = = 第 1 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 第二章行列式 §2排列 一、排列的定义： 1.n阶排列 2.顺序：任意两个数，小的在大数的前面，称为顺序.1,2.，n由小到大依次 排列，称为自然顺序排列， 3.逆序4.逆序数 5.如何计算逆序数tU,2.,) 6.奇排列，偶排列 7.对换 二、有关定理 1.定理1：对换改变排列的奇偶性 证明：(1)先看特殊情况，假设两个数相邻 .jk.→.k. 当k时，在前面两者构成逆序，在后面排列中不构成逆序，因而 tt.kj.)=t.jk-1; 第2页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 第二章 行列式 §2 排列 一、排列的定义： 1. n 阶排列 2. 顺序：任意两个数，小的在大数的前面， 称为顺序.1, 2, , n 由小到大依次 排列， 称为自然顺序排列. 3. 逆序 4. 逆序数 5. 如何计算逆序数 1 2 ( , , , ) n j j j 6. 奇排列， 偶排列 7. 对换 二、有关定理 1. 定理 1：对换改变排列的奇偶性 证明：(1) 先看特殊情况，假设两个数相邻 j k → k j 当 j k 时，在前面两者不构成逆序，在后面排列中构成逆序，因而 ( ) ( ) 1 k j j k = + ； 当 j k 时，在前面两者构成逆序，在后面排列中不构成逆序，因而 ( ) ( ) 1 k j j k = − ； 第 2 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 综上两种情况，排列的奇偶性都发生了变化 (2)两个数不相邻 .jii2.1,k.→.k12.i,j. 分析：把了依次与后面的马.，对换，得到了.4马.，jk. 共对换了s次：把k依次向前对换，变成.k1,.,了.，共对换了s+1次 两者合起来，对换了2s+1次，排列的奇偶性发生变化， 2.推论：奇排列，偶排列个数相等，各占项 3.定理2：任意一个n阶排列都可以经过一系列的对换，化为自然顺序， 且对换次数的奇偶性与排列的奇偶性相同. 证明：用归纳法 1级排列只有一个，结论显然成立，假设结论对n-1级排列成立， 现在来证n级排列成立 (1)对于.j1n,如果n=n 么方.是奇（偶）排列一方h是奇（偶）排列 由归纳假设知，把方2化为自然顺序，对换次数是奇（偶）数 →把方.jn化为自然顺序，对换次数是奇（偶）数 (2)对于么方.，如果.≠m,人=n .,n是奇（偶）排列 →方方.nj方是偶（奇）排列 由(1)知把2.，.化为自然顺序，对换次数是偶（奇）数 第3页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 综上两种情况，排列的奇偶性都发生了变化. （2）两个数不相邻 1 2 s j i i i k → 1 2 s k i i i j 分析: 把 j 依次与后面的 1 2 s i i i 对换，得到了 1 2 s i i i j k ， 共对换了 s 次；把 k 依次向前对换，变成 1 2 s k i i i j ，共对换了 s +1 次. 两者合起来, 对换了 2 1 s + 次, 排列的奇偶性发生变化. 2. 推论：奇排列，偶排列个数相等， 各占 ! 2 n 项. 3. 定理 2：任意一个 n 阶排列都可以经过一系列的对换，化为自然顺序， 且对换次数的奇偶性与排列的奇偶性相同. 证明：用归纳法 1 级排列只有一个, 结论显然成立, 假设结论对 n −1 级排列成立， 现在来证 n 级排列成立 （1）对于 1 2 1 n n j j j j − ， 如果 n j n = 1 2 1 n n j j j j − 是奇（偶）排列 1 2 1 n j j j − 是奇（偶）排列 由归纳假设知，把 1 2 1 n j j j − 化为自然顺序，对换次数是奇（偶）数 把 1 2 1 n n j j j j − 化为自然顺序，对换次数是奇（偶）数 （2）对于 1 2 1 s n n j j j j j − ， 如果 n j n ， s j n = 1 2 1 s n n j j j j j − 是奇（偶）排列 1 2 1 n n s j j j j j − 是偶（奇）排列 由（1）知把 1 2 1 n n s j j j j j − 化为自然顺序，对换次数是偶（奇）数 第 3 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 一把元，.，.1。化为自然顺序，对换次数是奇（偶）数 第4页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 把 1 2 1 s n n j j j j j − 化为自然顺序，对换次数是奇（偶）数 第 4 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 S1二阶与三阶行列式 本节主要是阐述行列式的来源 一、二阶行列式与二元线性方程组 设二元线性方程组 a+a22=6 a2x+a252=62 当a1a2-a,a1≠0时，此方程组有唯一解，即 bazz-ab: a11a22-a12a21 验路 我们称aa2-a2a1为二阶行列式，用符号表示为 aa4女a 于是上述解可以用二阶行列式叙述为： 当二阶行列式 az az b an 时该方程组有唯一解，即g=色，号品，9-号 d 二、三阶行列试与三元线性方程组 对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组 aux +anx2 +anx,=b, a21x+a2x2+a233=b2 (ax+ax2 +ax3 =b3. 第5页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 §1 二阶与三阶行列式 本节主要是阐述行列式的来源 一、二阶行列式与二元线性方程组 设二元线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 a x a x b a x a x b + = + = 当 a11a22 − a12a21 0 时，此方程组有唯一解，即 , . 11 22 12 21 11 2 12 1 2 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a a b a b x a a a a b a a b x − − = − − = 我们称 a11a22 − a12a21 为二阶行列式，用符号表示为 11 12 11 22 12 21 21 22 a a a a a a d a a − = = . 于是上述解可以用二阶行列式叙述为： 当二阶行列式 0 21 22 11 12 a a a a 时，该方程组有唯一解，即 1 12 11 1 2 22 21 2 1 2 1 2 , b a a b b a a b d d x x d d d d = = = = . 二、三阶行列式与三元线性方程组 对于三元线性方程组有相仿的结论. 设有三元线性方程组 + + = + + = + + = . , , 31 1 32 2 33 3 3 21 1 22 2 23 3 2 11 1 12 2 13 3 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 第 5 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 称代数式a1a2a8+a24341+a4242-a1a342-a2a2143-a14241为三阶行列式， 用符号表示为： an an a ++dndaddnda0-dusdada -da as as ass 当三阶行列式 au an a as asas 时，上述三元线性方程组有唯一解，解为 其中 b an ans a b as an a2b bs an as an b a as as b 三、n阶行列式与n元线性方程组 在这一章，我们要把这个结果推广到元线性方程组 a1+a2x2+.+anxn=b, a2x+a2232+.+a2nxn=b2, an+++am=b 的情形.为此，首先给出阶行列式的定义并讨论它的性质，这是本章的主要 内容。 问题：如何定义n阶行列式？如何计算n阶行列式？ 第6页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 称代数式 a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31 为三阶行列式， 用符号表示为： 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1 a a a a a a a a a a a a + a a a + a a a − a a a − a a a − a a a = . 当三阶行列式 11 12 13 21 22 23 31 32 33 0 a a a d a a a a a a = 时，上述三元线性方程组有唯一解，解为 1 2 3 1 2 3 , , , d d d x x x d d d = = = 其中 1 12 13 11 1 13 11 12 1 1 2 22 23 2 21 2 23 3 21 22 2 3 32 33 31 3 33 31 32 3 , , b a a a b a a a b d b a a d a b a d a a b b a a a b a a a b = = = . 三、 n 阶行列式与 n 元线性方程组 在这一章，我们要把这个结果推广到 n 元线性方程组 + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 , , 的情形. 为此，首先给出 n 阶行列式的定义并讨论它的性质，这是本章的主要 内容. 问题： 如何定义 n 阶行列式 ？如何计算 n 阶行列式 ？ 第 6 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 $3”级行列式 一、n阶行列式的概念 在给出阶行列式的定义之前，先来观察一下二阶和三阶行列式的定义.我们有 anan (1) a21a2a2-a11a243+aa2s431+a1s421a2-a11a2sa32-aa21ag-a1302na31 (2) 从二阶和三阶行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而 每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开 式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成.另一方面，每一项乘积都带有符号.这 符号是按什么原则决定的呢？在三阶行列式的展开式（②）中，项的一般形式可 以写成 3 其中，是1,2,3的一个排列.可以看出，当，是偶排列时.对应的项在 (2)中带有正号，当2，是奇排列时带有负号。 定义4n阶行列式 a21 a22 (4) 第7页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 §3 n 级行列式 一、 n 阶行列式的概念 在给出 n 阶行列式的定义之前，先来观察一下二阶和三阶行列式的定义.我们有 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − , (1) 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − − − (2) 从二阶和三阶行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而 每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开 式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成.另一方面，每一项乘积都带有符号.这 符号是按什么原则决定的呢？在三阶行列式的展开式(2)中，项的一般形式可 以写成 1 1 2 2 3 3 a j a j a j (3) 其中 1 2 3 j j j 是 1，2，3 的一个排列.可以看出，当 1 2 3 j j j 是偶排列时.对应的项在 (2)中带有正号，当 1 2 3 j j j 是奇排列时带有负号. 定义 4 n 阶行列式 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 (4) 第 7 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 aah.a (5) 的代数和，这里，是1,2，n的一个排列，每一项(5)都按下面规则带有符 号：当，是偶排列时，（⑤）带有正号，当.是奇排列时，（⑤）带有负 号.这一定义可写成 aa.an a2 a =∑(-)waah.a (6) 这里∑表示对所有n阶排列求和。 定义表明，为了计算阶行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元 素构成的乘积.把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标 所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号。 由定义看出，n阶行列式是由项组成的.简记为，· 注意一阶行列式与绝对值的区别. 二、特殊行列式 例1计算特殊行列式 %0.0 对角行列式 0a.0 . 00.a 第8页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 njn a j a j a 1 1 2 2 (5) 的代数和，这里 n j j j 1 2 是 1,2, ,n 的一个排列，每一项(5)都按下面规则带有符 号；当 n j j j 1 2 是偶排列时，(5)带有正号，当 n j j j 1 2 是奇排列时，(5)带有负 号.这一定义可写成 = − n n n j j j j j nj j j j n n n n n n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 ( 1) (6) 这里 n j j j 1 2 表示对所有 n 阶排列求和. 定义表明，为了计算 n 阶行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元 素构成的乘积.把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标 所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号. 由定义看出， n 阶行列式是由 n! 项组成的. 简记为 ij n n a . 注意一阶行列式与绝对值的区别. 二、特殊行列式 例 1 计算特殊行列式 对角行列式 11 22 0 0 0 0 0 0 nn a a a 第 8 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 a2.aw 上三角行列式 01 00.am a10.0 下三角行列式 4.0 dn a2.am 这个行列式就等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积 特别主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式.对角形行列式的 值等于主对角线上元素的乘积 应当牢记，当行列式中元素是数时，行列式代表的是一个数. 三、行列式的等价定义 在行列式的定义中，为了决定每一项的下正负号，把个元素按行指标排起 来.事实上，数的乘法是交换的，因而这个元素的次序是可以任意写的，一般 地，n阶行列式中的项可以写成 aa2h.ah (7) 其中42n,2jn是两个n阶排列.利用排列的性质，不难证明，(T)的符号等 于 (-1) (8) 按（⑧）来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对 称的，因而为了决定每一项的符号，同样可以把每一项按列指标排起来，于是 第9页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 上三角行列式 11 12 1 22 2 0 0 0 n n nn a a a a a a 下三角行列式 11 21 22 1 2 0 0 0 n n nn a a a a a a 这个行列式就等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积. 特别主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式.对角形行列式的 值等于主对角线上元素的乘积. 应当牢记，当行列式中元素是数时，行列式代表的是一个数. 三、行列式的等价定义 在行列式的定义中，为了决定每一项的下正负号，把个元素按行指标排起 来. 事实上，数的乘法是交换的，因而这个元素的次序是可以任意写的，一般 地， n 阶行列式中的项可以写成 n n ai j ai j ai j 1 1 2 2 （7） 其中 n n i i i j j j 1 2 1 2 , 是两个 n 阶排列.利用排列的性质，不难证明，(7)的符号等 于 ( ) ( ) 1 2 1 2 ( 1) n n i i i + j j j − (8) 按(8)来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对 称的，因而为了决定每一项的符号，同样可以把每一项按列指标排起来，于是 第 9 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 定义又可以写成 a.an 定义4 a1a2.a2m ∑(-lh-'a42.ar (9) aa a2.a laa2.an 定义4” aa2.am 四、行列式的等价定义 性质1行列互换，行列式不变.即 aa2.aaa2.a 性质1表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质 对列也同样成立.例如下三角形的行列式 a:0.0 02142.0 d a2. 第10页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 定义又可以写成 定义 4’ 1 2 1 2 1 2 11 12 1 21 22 2 ( ) 1 2 1 2 ( 1) n n n n n i i i i i i n i i i n n nn a a a a a a a a a a a a = − (9) 定义 4” 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 11 12 1 21 22 2 ( ) ( ) 1 2 ( 1) n n n n n n n i i i j j j i j i j i j i i i n n nn a a a a a a a a a a a a + = − (10) 四、行列式的等价定义 性质 1 行列互换，行列式不变.即 n n nn n n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 2 12 22 2 11 21 1 1 2 21 22 2 11 12 1 = 性质 1 表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质， 对列也同样成立. 例如下三角形的行列式 nn n n nn a a a a a a a a a 11 22 1 2 21 22 11 0 0 0 = 第 10 页