第34卷第2期 丽水学院学报 2012年4月 Vo1.34N0.2 JOURNAL OF LISHUI UNIVERSITY Apr.2012 非参数bootstrap方法及其MATLAB实现 吴庆平，林素仙，黄飞 丽水学院理学院，浙江丽水323000) 摘要：介绍非参数bootstra即方法的实现步骤，并通过具体实例，利用MATLAB强大的编程和计 算功能实现了非参数boots过rap方法。 关键词：Bootstrap抽样：标准误差：均方误差：置信区间 doi:10.3969.issn.1008-6749.2012.02.002 中图分类号：0212.7 文献标志码：A 文章编号：1008-6749(2012)02-0014-05 Non-parametric Bootstrap Method and its Realiztion in MATLAB W u Q ingping,L in Suxian,H uang Fei (Cokge ofScence,LnversitLiZhe ag 3000.Chna Abstract:This paper introduced the operating steps of non-parametric bootstrap method,which is realized through specific examples,and by using the powerful programming and calculating function of MATLAB. Key words:Bootstrap sam pling:standard eron:m ean square error:confidence in terval 0引言 非参数bootstrap方法最早由Eom提出，是近代统计中一种用于数据处理的重要实用方法，它无 需对总体分布类型作任何的假设，就可利用boos即样本对总体F进行统计推断，而且适用于小样本， 因而应用广泛-。该方法计算量非常大，手工计算几乎不可能完成，本文利用数值软件MATLAB的强 大计算和编程功能，通过具体实例说明了非参数bootstra即方法的MATLAB实现。首先对文中调用的 M ATLAB函数作一简要介绍：unidmd(N,m,)的功能为产生mxn的随机矩阵，矩阵元素为1-N中的随 机数：sot(A)的功能为对A中元素自小到大排列，其中A是mxl或者1xn矩阵：mean(⊙和s()将求取 以向量x=xx2,x.】为样本数据的样本均值和样本标准差。 1估计量标准误差的bootstrap估计 在估计总体未知参数日时，人们不但给出日的估计量，还需指出估计的精度，通常用的标准差 VD(©来度量。VD(©的bootstrap估计求解步骤是： 收稿日期：2011-10-10 基金项日：浙江省教有厅科研项日(Y200805480 作者简介：吴庆平，男，浙江丽水人，助教，顾士。 1994-2012 China Academic Journal Eleetronie Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.net
0 引言 非参数 bootstrap 方法最早由 Efron[1]提出，是近代统计中一种用于数据处理的重要实用方法，它无 需对总体分布类型作任何的假设，就可利用 bootstrap 样本对总体 F 进行统计推断，而且适用于小样本， 因而应用广泛[2-7]。该方法计算量非常大，手工计算几乎不可能完成，本文利用数值软件 MATLAB 的强 大计算和编程功能，通过具体实例说明了非参数 bootstrap 方法的 MATLAB 实现。首先对文中调用的 MATLAB 函数作一简要介绍：unidrnd（N，m，n）的功能为产生 m×n 的随机矩阵，矩阵元素为 1-N 中的随 机数；sort（A）的功能为对 A 中元素自小到大排列，其中 A 是 n×1 或者 1×n 矩阵；mean（x）和 std（x）将求取 以向量 x= x1，x2.，x n T 为样本数据的样本均值和样本标准差。 1 估计量标准误差的 bootstrap 估计 在估计总体未知参数 θ 时，人们不但给出 θ 的估计量θ 赞，还需指出估计的精度，通常用θ 赞的标准差 D（θ 姨 赞 ）来度量。 D（θ 姨 赞 ）的 bootstrap 估计求解步骤[8]是： 非参数 bootstrap 方法及其 MATLAB 实现 吴庆平，林素仙，黄 飞 （ 丽水学院 理学院，浙江 丽水 323000） 摘要：介绍非参数 bootstrap 方法的实现步骤，并通过具体实例，利用 MATLAB 强大的编程和计 算功能实现了非参数 bootstrap 方法。 关键词：Bootstrap 抽样；标准误差；均方误差；置信区间 doi：10.3969/j.issn.1008-6749.2012.02.002 中图分类号：O212.7 文献标志码：A 文章编号：1008-6749（2012）02-0014-05 Non- parametric Bootstrap Method and its Realiztion in MATLAB Wu Qingping，Lin Suxian，Huang Fei （College of Science，Lishui University，Lishui Zhejiang 323000，China） Abstract：This paper introduced the operating steps of non -parametric bootstrap method，which is realized through specific examples，and by using the powerful programming and calculating function of MATLAB. Key wor ds：Bootstrap sampling；standard error；mean square error；confidence interval 收稿日期：2011-10-10 基金项目：浙江省教育厅科研项目（Y200805484） 作者简介：吴庆平，男，浙江丽水人，助教，硕士。 丽 水 学 院 学 报 JOURNAL OF LISHUI UNIVERSITY 第 34 卷第 2 期 Vo1.34 No.2 2012 年 4 月 Apr.2012 丽 水 学 院 学 报 JOURNAL OF LISHUI UNIVERSITY 第 34 卷第 2 期 Vo1.34 No.2 2012 年 4 月 Apr.2012
第2期 吴庆平，林素仙，黄飞：非参数bootst即方法及其M ATLAB实现 15 D自原始数据样本=(x,x2,x)按放回抽样的方法，抽取容量为n的样本=Gx,x,x。)(称为 bootstrap样本)。 2)相继独立地抽取B个容量为n的bosp样木，x=6G.,a1,2,B。对于第i个 boo5tap样本，计算0=0x,x,x,0称为6的第i个bootstrap估计。 0计算VD面-V∑日-0)'，其中6-合。 下面通过实例说明标准误差bootstrap估计的MATLAB实现。 例1网某种基金的年回报率是具有分布函数F的连续型随机变量，F未知，F的中位数日是未知参 数。现有以下数据(%0：18.2,9.5,12.0,21.1,10.2 以样本中位数作为总体中位数日的估计。试求中位数估计的标准误差的bootstrap估计。 编写求取B个总体中位数0的bootstrap估计的函数，命名为functionl.m文件，程序如下： for =1B,S=unidmd(5,5,1):M=sort(X (S)):A (=M (3)end 在命令窗口中输入X=[18.2,9.5,12.0,21.1,10.2]:A=anction1(X,B):等sA),其中B是可变量，在 实际中应取B≥1000，依次取B=1000,2000,3000,4000,5000,运行上述过程即可求出1VD(为3.7179， 3.7818,3.7325,3.6884,3.7203。 2估计量的均方误差及偏差的bootstrap估计 是总体未知参数的估计量，的均方误差定义为MSE(=E(-]，它度量了估计与未知参数0 偏离的平均值的大小。一个好的估计应该有较小的均方误差。关于0的偏差定义为=￡(-，偏差是估 计量无偏性的度量，当是的0无偏估计时b=0。均方误差及偏差的boos即估计的求解步骤与标准误差 类似，只需将步骤)中计算0替换为计算0-0'和间-0，将步骤D相应替换为SE@=官∑日-0。 b=合∑间-0。下面通过实例说明估计量的均方误差及偏差的b0o心即估计的MATLAB实现。 例2国设金属元素铂的升华热是具有分布函数F的连续型随机变量，F的中位数0是未知参数，现 测得以下数据（以kcaloli: 136.3,136.6,135.8,135.4,134.7,135.0,134.1,143.3,147.8 148.8,134.8,135.2,134.9,149.5,141.2,135.4,134.8,135.8 135.0,133.7,134.4,134.9,134.8,134.5,134.3,135.2 以样本中位数CD作为总体中位数6的估计。试求均方误差MSEE[(在-)的bootsr即估计。 根据样本容易求得总体中位数0的估计为135.l,编写求取B个(-2的函数nction2,其中是 第i个bootstrap样本的中位数，程序如下： 1994-2012 China Academic Journal Electronie Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.net
1）自原始数据样本 x=（x1，x2，.，xn ）按放回抽样的方法，抽取容量为 n 的样本 x=（x1 * ，x2 * ，.，xn * ）（称为 bootstrap 样本）。 2）相继独立地抽取 B 个容量为 n 的 bootstrap 样本，x *i =（x1 *i ，x2 *i ，.，xn *i ），i=1，2，.，B。对于第 i 个 bootstrap 样本，计算θ 赞 1 * =θ 赞 （x1 *i ，x2 *i ，.，xn *i ），θ 赞 i * 称为 θ 的第 i 个 bootstrap 估计。 3）计算 D（θ 姨 赞 ）= 1 B-1 B Σi=1 （θ 赞 i * -θ 赞 * ） 2 姨 ，其中θ * = 1 B B Σi=1 θ 赞 i * 。 下面通过实例说明标准误差 bootstrap 估计的 ＭATLAB 实现。 例 1 [8] 某种基金的年回报率是具有分布函数 F 的连续型随机变量，F 未知，F 的中位数 θ 是未知参 数。现有以下数据（％）：18.2，9.5，12.0，21.1，10.2。 以样本中位数作为总体中位数 θ 的估计。试求中位数估计的标准误差的 bootstrap 估计。 编写求取 B 个总体中位数 θ 的 bootstrap 估计的函数，命名为 function1.m 文件，程序如下： function A=function1（X，B） for i=1:B，S=unidrnd（5，5，1）；M=sort（X（S））；A（i）=M（3）；end 在命令窗口中输入 X=［18.2，9.5，12.0，21.1，10.2］；A=function1（X，B）；s=std（A），其中 B 是可变量，在 实际中应取 B≥1000，依次取 B=1000，2000，3000，4000，5000，运行上述过程即可求出 D（θ 姨 赞 ）为 3.7179， 3.7818，3.7325，3.6884，3.7203。 2 估计量的均方误差及偏差的 bootstrap 估计 θ 赞是总体未知参数 θ 的估计量，θ 赞的均方误差定义为 MSE（θ 赞 ）=E（θ 赞-θ） θ θ2 ，它度量了估计θ 赞与未知参数 θ 偏离的平均值的大小。一个好的估计应该有较小的均方误差。θ 赞关于 θ 的偏差定义为 b=E（θ 赞-θ），偏差是估 计量θ 赞无偏性的度量，当θ 赞是的 θ 无偏估计时 b=0。均方误差及偏差的 bootstrap 估计的求解步骤与标准误差 类似，只需将步骤 2）中计算θ 赞 i * 替换为计算（θ 赞 i * -θ） 2 和（θ 赞 i * -θ），将步骤 3）相应替换为 MSE（θ 赞 ）= 1 B B Σi=1 （θ 赞 i * -θ） 2 ， b= 1 B B Σi=1 （θ 赞 i * -θ）。下面通过实例说明估计量的均方误差及偏差的 bootstrap 估计的 ＭATLAB 实现。 例 2 [8] 设金属元素铂的升华热是具有分布函数 F 的连续型随机变量，F 的中位数 θ 是未知参数，现 测得以下数据（以 kcal/mol 计）： 136.3，136.6，135.8，135.4，134.7，135.0，134.1，143.3，147.8 148.8，134.8，135.2，134.9，149.5，141.2，135.4，134.8，135.8 135.0，133.7，134.4，134.9，134.8，134.5，134.3，135.2 以样本中位数θ 赞=θ 赞 （X）作为总体中位数 θ 的估计。试求均方误差 MSE=E（θ 赞-θ） θ θ2 的 bootstrap 估计。 根据样本容易求得总体中位数 θ 的估计为 135.1，编写求取 B 个（θ 赞 i * -θ） 2 的函数 function2，其中 θ 赞 i * 是 第 i 个 bootstrap 样本的中位数，程序如下： 第 2 期 吴庆平，林素仙，黄 飞：非参数 bootstrap 方法及其 MATLAB 实现 15
16 丽水学院学报 2012年 function A=function2仅，B) fori1B. S=unidmd(26,26,D:M=sort(X(S):A(①=(M(13)+M1④)2-135.)2：emd 在命今窗▣中输入X=「1363,136.6.135.8.135.4.134.7,135.0,134.1.143.3.147.8.148.8.134.8.135.2 134.9.149.5,141.2,135.4,134.8.135.8,135.0,133.7,134.4,134.9,134.8.134.5,134.3,135.2:A=nction2 CX,B):m=mean(A),依次取B=1000,2000,3000,4000,5000,10000,运行上述过程即可求出MSE为 0.0610,0.0683,0.0650,0.0618,0.0634,0.0648。 例3调试在例2中，以样本中位数=C0作为总体中位数日的估计，求偏差b=E(-)的bootstrap 估计。 编写求取B个(-的函数anction3:,建立为finction3.m文件，程序如下： fiunction A=fiunction3(X,B) for卡1B, S=unidmd(26,26,1):M=so1tX(S)):A(D=((M(13)+M(14))2-135.1D:end 在命令窗口中输入X=[136.3,136.6,135.8,135.4,134.7,135.0,134.1,143.3,147.8,148.8,134.8,135.2 134.9,149.5,141.2,135.4,134.8,135.8,135.0,133.7,134.4,134.9,134.8,134.5,134.3,135.2]:A=-function3 《,B):m=mean(A),依次取B=1000,2000,3000,4000,5000,10000,运行上述过程即可求出b为 0.0575,0.0474,0.0466,0.0444,0.0434,0.0463。 3 bootstrap置信区间 总体参数0的置信水平为1-a的bootstrap置信区间的求解步骤为： D独立地抽取B个容量为n的bootstrap样本，x=(,i=1,2,B。对于第i个bootstr 样本，计算0=0x1,x2,.,i1,2,.,B。 2》将，d,.,0。自小到大排序，得o≤o≤.≤0m。 3)取k=B×号，k,=B×(1-g),以aa,分别作为6的估计，从而得到0的置信水平为 1-a的近似置信区间为(，8a,)。 下面通过实例说明bootstrap置信区间的MATLAB实现。 例4)在例2中：()以样本中位数作为总体中位数0的估计，求6的置信水平为0.95的bootstr即 置信区间：（②以样本20%截尾均值作为总体20%截尾均值的4，估计，求4，的置信水平为0.95的boos即 置信区间。 编写求取B个总体中位数bootstrap估计的函数finction4,fiunction4与functionl类似，程序如下： fiunction A=fiunction4(X,B) fori1B, 1994-2012 China Academic Journal Eleetronie Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.net
function A=function2（X，B） for i=1:B， S=unidrnd（26，26，1）；M=sort（X（S））；A（i）=（（M（13）+M（14））/2-135.1）^2；end 在命令窗口中输入 X=［136.3，136.6，135.8，135.4，134.7，135.0，134.1，143.3，147.8，148.8，134.8，135.2， 134.9，149.5，141.2，135.4，134.8，135.8，135.0，133.7，134.4，134.9，134.8，134.5，134.3，135.2］；A=function2 （X，B）；m=mean （A），依次取 B=1000，2000，3000，4000，5000，10000，运行上述过程即可求出 MSE 为 0.0610，0.0683，0.0650，0.0618，0.0634，0.0648。 例 3[8] 试在例 2 中，以样本中位数θ 赞 =θ 赞 （X）作为总体中位数 θ 的估计，求偏差 b=E（θ 赞 -θ）的 bootstrap 估计。 编写求取 B 个（θ 赞 1 * -θ）的函数 function3，建立为 function3.m 文件，程序如下： function A=function3（X，B） for i=1:B， S=unidrnd（26，26，1）；M=sort（X（S））；A（i）=（（M（13）+M（14））/2-135.1）；end 在命令窗口中输入 X=［136.3，136.6，135.8，135.4，134.7，135.0，134.1，143.3，147.8，148.8，134.8，135.2， 134.9，149.5，141.2，135.4，134.8，135.8，135.0，133.7，134.4，134.9，134.8，134.5，134.3，135.2］；A=function3 （X，B）；m=mean （A）， 依 次 取 B=1000，2000，3000，4000，5000，10000， 运 行 上 述 过程即可求出 b 为 0.0575，0.0474，0.0466，0.0444，0.0434，0.0463。 3 bootstrap 置信区间 总体参数 θ 的置信水平为 1-α 的 bootstrap 置信区间的求解步骤[8]为： 1）独立地抽取 B 个容量为 n 的 bootstrap 样本，x *i =（x1 *i ，x2 *i ，.，xn *i ），i=1，2，.，B。对于第 i 个 bootstrap 样本，计算θ 赞 i * =θ 赞 （x1 *i ，x2 *i ，.，xn *i ），i=1，2，.，B。 2）将θ 赞 1 * ，θ 赞 2 * ，.，θ 赞 B * 自小到大排序，得θ 赞 （1） * ≤θ 赞 （2） * ≤.≤θ 赞 （B） * 。 3）取 k1 = B× α α α2 ，k2 = B×（1- α α α 2 ） ，以θ 赞 （k1 ） * ，θ 赞 （k2 ） * 分别作为θ 赞 α/2 * θ 赞 1-α/2 * 的估计，从而得到 θ 的置信水平为 1-α 的近似置信区间为（θ 赞 （k1 ） * ，θ 赞 （k2 ） * ）。 下面通过实例说明 bootstrap 置信区间的 ＭATLAB 实现。 例 4[8] 在例 2 中：（1）以样本中位数作为总体中位数 θ 的估计，求 θ 的置信水平为 0.95 的 bootstrap 置信区间；（2）以样本 20%截尾均值作为总体 20%截尾均值的 μt估计，求 μt的置信水平为 0.95 的 bootstrap 置信区间。 编写求取 B 个总体中位数 θbootstrap 估计的函数 function4，function4 与 function1 类似，程序如下： function A=function4（X，B） for i=1:B， 16 丽 水 学 院 学 报 2012 年
第2期 吴庆平，林素仙，黄飞：非参数bootsta即方法及其MATLAB实现 17 S=unidmd(26,26,1D:M=otX(S):A(①=M(13)+M(1④)2：emd 在命令窗口中输入X-[136.3,136.6,135.8,135.4,134.7,135.0,134.1,143.3,147.8,148.8,134.8,135.2, 134.9,149.5,141.2,135.4,134.8,135.8,135.0,133.7,134.4,134.9,134.8,134.5,134.3,135.2:A=fiunction4《, 10000:A=s0t(A):B=[A250,A(9750],运行即可求得0的b0o5tap置信区间134.8000,135.8000 编写求取B个总体20%截尾均值bootstrap估计的函数nction5,程序如下： function A=fiunction5(X,B) fori1B, S=unidmd (26,26.1):M=sort(X (S))N=[M (324 ]A (=m ean (N)end 在命令窗▣中输入X=[136.3.136.6.135.8,135.4.134.7,135.0.134.1,143.3.147.8.148.8.134.8.135.2 134.9,149.5,141.2,135.4,134.8,135.8,135.0,133.7,134.4,134.9,134.8,134.5,134.3,135.2:A=-fiunction5 (X,10000:A=sot(A):B=[A(250,A(9750],运行即求得20%截尾均值的一个置信水平为0.95的boos 置信区间为135.0000,138.6045)。 4用bootstrap-t法求均值u的置信区间 总体具有正态分布，方差。未知时，我们可倍一求得的豆位水平为1心的 信区同-D了行。-》。若总体分布未知时，以样本均临作为总体均值丛的估 计，构造与1类似的枢轴量 W-IT (D 其中了，S是总体bootsra即样本的样本均值和样本标准差。以W的分布近似t的分布，取k,= [Bx号]，k[Bx1-受，以分别作为e,e的估计，从面得到u的置信水平为1-a的近似 置信区间 ) 这种方法称为bootstrap-t方法)。下面通过实例说明bootstrap-t法求取bootstrap置信区间的 MATLAB实现。 例5调有30窝仔猪出生时各窝猪的存活只数 9,8,10,12,11,12,7,9,11,8,9,7,7,8,9,7,9,9,10,9,9,9,12,10,10,9,13,11,13,9 用bootsrap-t法求μ的置信水平为0.90的置信区间。 调用函数mean(《)和sd《)容易求得x=9.53,s=l.72,编写求取B个的函数finction6,程序如下： fiunction A=fiunction6(X,B) for i=1B, S=unidmd (30,30,1)M=X (S)A (=(m ean (M)-9.53)*sqrt(30)/td (M)end 94-012 China Academic oual Eleetronie Publishing House.All rights reserved.htp://www.enki.net
S=unidrnd（26，26，1）；M=sort（X（S））；A（i）=（M（13）+M（14））/2；end 在命令窗口中输入 X=［136.3，136.6，135.8，135.4，134.7，135.0，134.1，143.3，147.8，148.8，134.8，135.2， 134.9，149.5，141.2，135.4，134.8，135.8，135.0，133.7，134.4，134.9，134.8，134.5，134.3，135.2］；A=function4（X， 10000）；A=sort（A）；B=［A（250），A（9750）］，运行即可求得 θ 的 bootstrap 置信区间（134.8000，135.8000）。 编写求取 B 个总体 20%截尾均值 bootstrap 估计的函数 function5，程序如下： function A=function5（X，B） for i=1:B， S=unidrnd（26，26，1）；M=sort（X（S））；N=［M（3:24）］；A（i）=mean（N）；end 在命令窗口中输入 X=［136.3，136.6，135.8，135.4，134.7，135.0，134.1，143.3，147.8，148.8，134.8，135.2， 134.9，149.5，141.2，135.4，134.8，135.8，135.0，133.7，134.4，134.9，134.8，134.5，134.3，135.2］；A=function5 （X，10000）；A=sort（A）；B=［A（250），A（9750）］，运行即求得 20%截尾均值的一个置信水平为 0.95 的 bootstrap 置信区间为（135.0000，138.6045）。 4 用 bootstrap- t 法求均值 μ 的置信区间 总体 F 具有正态分布，方差 σ 2 未知时，我们可借助枢轴量 t= X -μ S/姨n 求得 μ 的置信水平为 1-α 的置 信区间（X - S 姨n tα/2（n-1），X + S 姨n tα/2（n-1））。若总体分布未知时，以样本均值x 作为总体均值 μ 的估 计，构造与 t 类似的枢轴量 W* = X * -x S * /姨n ， （1） 其中X * ，S * 是总体 bootstrap 样本的样本均值和样本标准差。以 W* 的分布近似 t 的分布，取 k1= B× α 姨 姨2 ，k2 = B×（1- α 姨 姨 2 ） ，以 w * （k1 ），w * （k2 ）分别作为 wα/2 * ，w1-α/2 * 的估计，从而得到 μ 的置信水平为 1-α 的近似 置信区间 （X -w* （k2 ） S 姨n ，X +w* （k1 ） S 姨n ）。 （2） 这种方法称为 bootstrap-t 方法 [8]。下面通过实例说明 bootstrap-t 法求取 bootstrap 置信区间的 ＭATLAB 实现。 例 5[8] 有 30 窝仔猪出生时各窝猪的存活只数 9，8，10，12，11，12，7，9，11，8，9，7，7，8，9，7，9，9，10，9，9，9，12，10，10，9，13，11，13，9 用 bootstrap-t 法求 μ 的置信水平为 0.90 的置信区间。 调用函数 mean（X）和 std（X）容易求得x =9.53，s=1.72，编写求取 B 个 w * 的函数 function6，程序如下： function A=function6（X，B） for i=1:B， S=unidrnd（30，30，1）；M=X（S）；A（i）=（mean（M）-9.53）*sqrt（30）/std（M）；end 第 2 期 吴庆平，林素仙，黄 飞：非参数 bootstrap 方法及其 MATLAB 实现 17
18 丽水学院学报 2012年 在命令窗口中输入X=[9,8,10,12,11,12,7,9,11,8,9,7,7,8,9,7,9,9,10,9,9,9,12,10,10,9,13, 11,13,9]:A=finction6X,100000):B=sort(A):C=[B(5000,B(95000],即可求得，0sm=-l.7965,0om =1.6106,再由(2)式即可求出4的置信水平为0.90的置信区间： (9.53-1.6106x172,9.53+1.7965x172)=9.0242,10.0941D。 30 V30 5结束语 本文通过MATLAB强大的计算和编程功能实现了非参数bootstrap方法，所举实例的求解结果与文献 [8]十分接近，偏差存在的原因是每次抽样获取的bootst即样本不同，从而导致计算结果的不同。从各编 写函数的程序式中可以发现，bootstrap方法的实现关键在于bootstrap样本的获取，本文调用了函数 unidmd(N,m,D实现了bootstrap样本的获取，该种方法可运用于文献[2-4]中相关bootstrap估计量的计 算，具有一定的实践意义。 参考文献： [1]Efion B.The Jackknife,the Bootstap.and 0 therR esam pling Pans[M ]PhildephiaIAM,1982. [2]韩开山.自回归系数的Bootstrap检验[0科技创新导报，2011(13)：1-3. [3]许家清.基于分位数过程能力指数的Bootstrap置信区间[0.宁波大学学报：理工版，2010（②：47-51. [4)江海峰.小样本下相关系数的检验与区间估计一基于Bootstrap的研究[0.数理统计与管理，2011(3)：440-446. [5]张金艳.概率密度函数核估计的Bootstrap逼近[0.纯粹数学与应用数学，2010(3)：484-489. [6]赵树然，徐兴忠，任培民.删失回归模型的加权Bootstrap逼近[团.北京理工大学学报，2008（⑦）：648-651 [7]陈红，吴汇川.Boot即方法及其应用[门.青岛大学学报：工程技术版，1997(3：78一83. [8)盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计0].4版.北京：高等教有出版社，2008：270-281. [9可薛定字，陈阳泉.高等应用数学问愿的MATLAB求解M].2版北京：清华大学出版社，2010：17,325. 1994-2012 China Academic Journal Eleetronie Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.net
在命令窗口中输入 X=［9，8，10，12，11，12，7，9，11，8，9，7，7，8，9，7，9，9，10，9，9，9，12，10，10，9，13， 11，13，9］；A=function6（X，100000）；B=sort（A）；C=［B（5000），B（95000）］，即可求得，w * （5000）=-1.7965，w * （95000） =1.6106，再由（2）式即可求出 μ 的置信水平为 0.90 的置信区间： （9.53-1.6106× 1.72 姨30 ,9.53+1.7965× 1.72 姨30 ）=（9.0242，10.0941）。 5 结束语 本文通过 MATLAB 强大的计算和编程功能实现了非参数 bootstrap 方法，所举实例的求解结果与文献 ［8］十分接近，偏差存在的原因是每次抽样获取的 bootstrap 样本不同，从而导致计算结果的不同。从各编 写函数的程序式中可以发现，bootstrap 方法的实现关键在于 bootstrap 样本的获取，本文调用了函数 unidrnd（N，m，n）实现了 bootstrap 样本的获取，该种方法可运用于文献［2-4］中相关 bootstrap 估计量的计 算，具有一定的实践意义。 参考文献： ［1］Efron B.The Jackknife，the Bootstrap，and Other Resampling Plans［M］.Philadelphia:SIAM，1982. ［2］韩开山.自回归系数的 Bootstrap 检验［J］.科技创新导报，2011（13）：1-3. ［3］许家清.基于分位数过程能力指数的 Bootstrap 置信区间［J］.宁波大学学报：理工版，2010（2）：47-51. ［4］江海峰.小样本下相关系数的检验与区间估计——基于 Bootstrap 的研究［J］.数理统计与管理，2011（3）：440-446. ［5］张金艳.概率密度函数核估计的 Bootstrap 逼近［J］.纯粹数学与应用数学，2010（3）：484-489. ［6］赵树然，徐兴忠，任培民. 删失回归模型的加权 Bootstrap 逼近［J］.北京理工大学学报，2008（7）：648-651. ［7］陈红，吴汇川.Bootstrap 方法及其应用［J］.青岛大学学报：工程技术版，1997（3）：78—83. ［8］盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计［M］.4 版.北京：高等教育出版社，2008：270-281. ［9］薛定宇，陈阳泉.高等应用数学问题的 MATLAB 求解［M］.2 版.北京：清华大学出版社，2010：17，325. 18 丽 水 学 院 学 报 2012 年