浙江大学：《计算机图形学》 第六章 图形变换

第六章图形变换 主要介绍 二维几何变换 窗口到视区的变换 三维几何变换 浙江大学计算机学院 计算机图形学

浙江大学计算机学院 计算机图形学 第六章 图形变换 主要介绍 • 二维几何变换 • 窗口到视区的变换 • 三维几何变换

内容 以下几方面的内容: 数学基础:矢量、矩阵及运算 维几何变换 维几何变换 投影变换 视窗变换 浙江大学计算机学院 计算机图形学

浙江大学计算机学院 计算机图形学 以下几方面的内容： 数学基础：矢量、矩阵及运算 二维几何变换 三维几何变换 投影变换 视窗变换 内容

变换的数学基础 矢量 矢量和 u +Y lU+v=uy+Vy u +y 浙江大学计算机学院 计算机图形学

浙江大学计算机学院 计算机图形学 变换的数学基础 • 矢量 –矢量和           = z y x u u u U           = z y x v v v V           + + + + = z z y y x x u v u v u v U V

变换的数学基础 矢量的数乘 k k●U=k ka 矢量的点积 U·V=l1vx+l1vy+l2V 性质 U·V=V·U D=0U⊥ U=0<U=0 浙江大学计算机学院 计算机图形学

浙江大学计算机学院 计算机图形学 变换的数学基础 –矢量的数乘 –矢量的点积 • 性质           • = z y x ku ku ku k U x x y y z z U •V = u v + u v + u v U •V =V •U U •V = 0U ⊥V U •U = 0U = 0

变换的数学基础 矢量的长度 U·U=1.2+l2+l 单位矢量 矢量的夹角 csb=、UoV 矢量的叉积 i j k 浙江大学计算机学院 计算机图形学

浙江大学计算机学院 计算机图形学 变换的数学基础 –矢量的长度 • 单位矢量 • 矢量的夹角 –矢量的叉积 2 2 2 U U U = ux + uy + uz = • U V U V • • cos = x y z x y z v v v u u u i j k U V =

变换的数学基础 矩阵 ×n 阶矩阵 n阶方阵 零矩阵 行向量与列向量 单位矩阵 矩阵的加法 矩阵的数乘 矩阵的乘法 矩阵的转置 矩阵的逆 浙江大学计算机学院 计算机图形学

浙江大学计算机学院 计算机图形学 变换的数学基础 • 矩阵 – 阶矩阵 –n阶方阵 –零矩阵 –行向量与列向量 –单位矩阵 –矩阵的加法 –矩阵的数乘 –矩阵的乘法 –矩阵的转置 –矩阵的逆 m n

变换的数学基础 矩阵的含义 矩阵:由m×n个数按一定位置排列的一个 整体,简称m×n矩阵 ai1 d12... aIn A C21c22 a2n aml am2 amn 其中,a称为矩阵A的第i第j列元素 浙江大学计算机学院 计算机图形学

浙江大学计算机学院 计算机图形学 矩阵的含义 矩阵：由m×n个数按一定位置排列的一个 整体，简称m×n矩阵。             m m mn n n a a a a a a a a a ... ... ... ... ... ... 1 2 21 22 2 11 12 1 A= 其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素 变换的数学基础

变换的数学基础 矩阵运算 加法 设A,B为两个具有相同行和列元素的矩阵 11+b11a12+b12..aln+bn A+B amit br am2+bm2 +br 数乘 kA=[k米a;j]1=1..m,1,,n 浙江大学计算机学院 计算机图形学

浙江大学计算机学院 计算机图形学 矩阵运算 • 加法 设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵 A+B = • 数乘 kA = [ k*aij]|i=1...m, j=1,.. n           + + + + + + b ... ... ... ... b ... 1 1 2 m2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 m m m mn mn n n a b a a b a b a a b 变换的数学基础

变换的数学基础 乘法 设A为3×2矩阵,B为2×3矩阵 abta +a1 C=A·B 11012 +abet b1+a2b21+a2b21 a2b,+a2221+a23032 p B, ∑a;*b p 单位矩阵 在一矩阵中,其主对角线各元素a1=1,其余 皆为0的矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常 记作In。 A m 浙江大学计算机学院 计算机图形学

浙江大学计算机学院 计算机图形学 • 乘法 设A为3×2矩阵，B为2×3矩阵 C = A ·B = C=Cm×p = Am ×n ·Bn×p cij = ∑aik*bkj • 单位矩阵 在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余 皆为0的矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常 记作In 。 Am ×n = Am ×n ·In       + + + + + + + + a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b 2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 3 3 2 k=1,n 变换的数学基础

变换的数学基础 逆矩阵 若矩阵A存在AA=AA=I,则称A为A的逆矩 阵 矩阵的转置 把矩阵A=(a1)mxn的行和列互换而得到的 n×m矩阵称为A的转置矩阵,记作A。 T (A+B)T=A+B (aA) LA (AB) B!·A 当A为n阶矩阵,且A=A,则A是对称矩阵 浙江大学计算机学院 计算机图形学

浙江大学计算机学院 计算机图形学 • 逆矩阵 若矩阵A存在A·A -1 =A-1 ·A=I，则称A -1为A的逆矩 阵 • 矩阵的转置 把矩阵A=(aij)m×n的行和列互换而得到的 n×m矩阵称为A的转置矩阵,记作A T 。 (AT ) T = A (A+B)T = AT + BT (aA)T = aAT (A·B)T = BT ·A T 当A为n阶矩阵，且A=AT ，则 A是对称矩阵。 变换的数学基础