开放量子系统的动力学冯俊西安交通大学理论物理研究所(2021.06.11)1主方程随机现象在自然界非常普遍。经典物理中，这可以由我们对系统认知缺失引起，例如，对一盒气体来说由于不清楚其确定的微观态，因此气体分子和容器壁的碰撞就是随机性的。在量子物理里，Schrodinger方程是波函数的方程，而非力学量或观测量的方程，因此对力学量的测量导致随机的结果，可以用一组概率分布描述。对动力学系统，这样的概率（对应不同的测量结果）应该随时间变化，而刻画这种“概率的动力学”方程称为主方程（masterequation）。Definition.所谓主方程是一种刻画概率随时间演化的一阶微分方程，即对离散的事件kE[1,..,N]，相应的概率满足dp-[TePe-TaP](1.0.1)dt其中Tke≥0称为从事件或态l到事件或态k的转移率（transitionrate）。注意到转移率一定是正定的，即Tke(t)≥0；当转移矩阵Tke对称时，代表主方程描述的是一个可逆过程。主方程在大多数时候都是通过现象总结出来，而非通过第一原理得到。但是在量子开放系统中，有相当大类是可以通过微观模型来构建出来的。主方程刻画的随机过程有一种重要的平衡状态：Definition.当对所有的稳定态P，有等式TP=TP成立的话，此时主方程称为达到了细致平衡(detailedbalance)例如，Einstein在建立广义相对论后转向了研究原子激发谱的问题：原子与外界（黑体）辐射场相互作用达到热平衡。对二级（two-level）的简单系统，当与外界达到热平衡时N,Pi→2 = N2 P21(1.0.2)其中N2/Ni=e-AE/ksT，因此细致平衡给出P1-2/P2→1=e-△E/knT1。下面总结一些主方程的性质：总概率守恒Z =Z(TuPe- TaPR)-(TaPe-TaP)=0(1.0.3)Ldt-kekl1当原子从低能级向高能级跃迁时，吸收了环境的能量，有Al→2=Buw，其中u是频率为w=(E2-E1)/h的辐射能量密度，B是Einstein系数。另一方面，在环境中，原子由高能级向低能级跃迁，实际上对应两种向外的能量辐射过程，一种是仍然是环境引起的Buu，另一种称为原子的自发辐射，对应概率记作A，于是有P2→1=Buu+A
开放量子系统的动力学 冯 俊 西安交通大学理论物理研究所 （2021.06.11） 1 主方程 随机现象在自然界非常普遍。经典物理中，这可以由我们对系统认知缺失引起，例如，对一盒气体来说， 由于不清楚其确定的微观态，因此气体分子和容器壁的碰撞就是随机性的。在量子物理里，Schrödinger 方 程是波函数的方程，而非力学量或观测量的方程，因此对力学量的测量导致随机的结果，可以用一组概率分 布描述。对动力学系统，这样的概率（对应不同的测量结果）应该随时间变化，而刻画这种“概率的动力学” 方程称为主方程（master equation）。 Definition. 所谓主方程是一种刻画概率随时间演化的一阶微分方程，即对离散的事件 k ∈ {1, . . . , N}， 相应的概率满足 dPk dt = ∑ ℓ [TkℓPℓ − TℓkPk] (1.0.1) 其中 Tkℓ ≥ 0 称为从事件或态 ℓ 到事件或态 k 的转移率（transition rate）。 注意到转移率一定是正定的，即 Tkℓ(t) ≥ 0；当转移矩阵 Tkℓ 对称时，代表主方程描述的是一个可逆过 程。主方程在大多数时候都是通过现象总结出来，而非通过第一原理得到。但是在量子开放系统中，有相当 大类是可以通过微观模型来构建出来的。 主方程刻画的随机过程有一种重要的平衡状态： Definition. 当对所有的稳定态 P¯ i，有等式 TkℓP¯ ℓ = TℓkP¯ k 成立的话，此时主方程称为达到了细致平衡 （detailed balance）。 例如，Einstein 在建立广义相对论后转向了研究原子激发谱的问题：原子与外界（黑体）辐射场相互作 用达到热平衡。对二级（two-level）的简单系统，当与外界达到热平衡时 N1P˙ 1→2 = N2P˙ 2→1 (1.0.2) 其中 N2/N1 = e −∆E/kBT，因此细致平衡给出 P˙ 1→2/P˙ 2→1 = e −∆E/kBT 1。 下面总结一些主方程的性质： 总概率守恒 ∑ k dPk dt = ∑ kℓ (TkℓPℓ − TℓkPk) = ∑ kℓ (TℓkPk − TℓkPk) = 0 (1.0.3) 1当原子从低能级向高能级跃迁时，吸收了环境的能量，有 P˙ 1→2 = Buw，其中 uw 是频率为 w = (E2 − E1) /ℏ 的辐射能量密度， B 是 Einstein 系数。另一方面，在环境中，原子由高能级向低能级跃迁，实际上对应两种向外的能量辐射过程，一种是仍然是环境引 起的 Buw，另一种称为原子的自发辐射，对应概率记作 A，于是有 P˙ 2→1 = Buw + A
21主方程演化中概率非负给定初始概率0≤P(O)≤1后，以后任何时刻的概率不会是负的。令P是第一个（在某个时刻t）演化到零的概率（其他概率还是非零），其时间导数为dPk=+TkeP≥0(1.0.4)dtPa=0l可见即使某时刻某个事件对应的概率达到零，P（t）会开始增长。演化中概率不超过1由于同时有,P=1和P≥0，所以事件概率在演化中始终有0≤P(t)≤1。下面举几个以主方程刻画的体系例子Example1.1.涨落的二级系统。系统包含两个可能的态，对应含时概率Po(t)和Pi(t)。引入动力学：令0→1的转移率为T10>0，1→0的转移率为To1>0。于是，若给定t时刻处于0态后，在(t+△t)时刻系统演化至1态的概率可以写作Tio△t。对应主方程为Po-T10+T01P(1.0.5)(+Tio-To1IP注意到在矩阵形式下，转移矩阵的迹是守恒的，这是由转移矩阵的所有列的元素和为零这一事实保证的。这个结论以后在一般意义上也是对的。这个二级系统是容易求解的。Pi =1- Po=→ Po= - (Tio + To1) Po + To1(1.0.6)此方程的通解是由一个特解和对应齐次方程的通解组合而来。可以找到特解为稳定态Po=T，于是完整解为To1Po(t) = Ae-(Tio+To)t +(1.0.7)Tio+To系数A可以用初条件PO=A+固定。最终我们得到主方程的完整解为：ToPo(t) = Pe-(Tro+Toa)t +[1-e-(Tio+Tor)t(1.0.8) Tio + To1Ti01 -e-(Tio+Ton)tPi(t) = (1 - PO)e-(Tio+Ton)t +(1.0.9)J Tio + To1细致平衡态满足ToTio-= ToPoToiP =(1.0.10)Tio + To1“这些事件可以是分子的两种构造，可以是自旋的两种构型，或者原子的基态和激发态。Example1.2.扩散方程。先考虑简单的情形。一维无限的格点链，分子可以在这些格点上扩散。设其向各方向的转移率是均匀和一致的T0t，如图1.(a）所示。于是迁移概率满足离散的主方程：P(t) =TPi-1(t) + TPi+1(t) -2TP(t)= TAz2P-(t)+ P+(0) -2P()(1.0.11)Ar2在连续极限（△→0、T→8o且保持D=T△2不变）下，主方程过渡成连续的微分方程：aP(,t) = DP(c,t)其中D=TA?(1.0.12)at0r2其中D称为扩散常数（diffusionconstant）。这样的方程通常被用来描述稀释极限下的化学物扩散、细菌的动力学中的无定向输运过程。自然的，作为主方程，我们知道它是保概率正定和总概率和的，即P(r,t) ≥0 and J-8 P(r,t)dr = 1
1 主方程 2 演化中概率非负 给定初始概率 0 ≤ Pi(0) ≤ 1 后，以后任何时刻的概率不会是负的。令 Pk 是第一个（在某 个时刻 t）演化到零的概率（其他概率还是非零），其时间导数为 dPk dt Pk=0 = +∑ ℓ TkℓPℓ ≥ 0 (1.0.4) 可见即使某时刻某个事件对应的概率达到零，Pk(t) 会开始增长。 演化中概率不超过 1 由于同时有 ∑ k Pk = 1 和 Pk ≥ 0，所以事件概率在演化中始终有 0 ≤ Pi(t) ≤ 1。 下面举几个以主方程刻画的体系例子 Example 1.1. 涨落的二级系统。系统包含两个可能的态a，对应含时概率 P0(t) 和 P1(t)。引入动力学： 令 0 → 1 的转移率为 T10 > 0，1 → 0 的转移率为 T01 > 0。于是，若给定 t 时刻处于 0 态后，在 (t + ∆t) 时刻系统演化至 1 态的概率可以写作 T10∆t。对应主方程为 d dt ( P0 P1 ) = ( −T10 +T01 +T10 −T01 ) ( P0 P1 ) (1.0.5) 注意到在矩阵形式下，转移矩阵的迹是守恒的，这是由转移矩阵的所有列的元素和为零这一事实保证 的。这个结论以后在一般意义上也是对的。 这个二级系统是容易求解的。 P1 = 1 − P0 =⇒ P˙ 0 = − (T10 + T01) P0 + T01 (1.0.6) 此方程的通解是由一个特解和对应齐次方程的通解组合而来。可以找到特解为稳定态 P¯ 0 = T01 T10+T01 ，于 是完整解为 P0(t) = Ae−(T10+T01)t + T01 T10 + T01 (1.0.7) 系数 A 可以用初条件 P 0 0 = A + T01 T10+T01 固定。最终我们得到主方程的完整解为： P0(t) = P 0 0 e −(T10+T01)t + [ 1 − e −(T10+T01)t ] T01 T10 + T01 (1.0.8) P1(t) = ( 1 − P 0 0 ) e −(T10+T01)t + [ 1 − e −(T10+T01)t ] T10 T10 + T01 . (1.0.9) 细致平衡态满足 T01P¯ 1 = T01T10 T10 + T01 = T10P¯ 0 (1.0.10) a这些事件可以是分子的两种构造，可以是自旋的两种构型，或者原子的基态和激发态。 Example 1.2. 扩散方程。先考虑简单的情形。一维无限的格点链，分子可以在这些格点上扩散。设其 向各方向的转移率是均匀和一致的 T > 0t，如图1.(a) 所示。于是迁移概率满足离散的主方程： P˙ i(t) = T Pi−1(t) + T Pi+1(t) − 2T Pi(t) = T ∆x 2 Pi−1(t) + Pi+1(t) − 2Pi(t) ∆x 2 (1.0.11) 在连续极限（∆x → 0 、T → ∞ 且保持 D = T ∆x 2 不变）下，主方程过渡成连续的微分方程： ∂P(x, t) ∂t = D ∂ 2P(x, t) ∂x2 其中 D = T ∆x 2 (1.0.12) 其中 D 称为扩散常数（diffusion constant）。这样的方程通常被用来描述稀释极限下的化学物扩散、细 菌的动力学中的无定向输运过程。自然的，作为主方程，我们知道它是保概率正定和总概率和的，即 P(x, t) ≥ 0 and ∫ +∞ −∞ P(x, t)dx = 1
1主方程3(a)TTi..ArP(t)T-1.T,+1,(b)图1：一维格点链之间的跃迁。（a）均匀和各向同性的转移率T（b）转移率Tii≥0可以是非均匀的Ti≠T，也可以是各向异性的TuTji现在推广到更复杂的问题。不同方向和不同格点处的转移率是不一样的，如图1.(b）所示。例如，非均匀介质中会发生输运现象，从而有依赖于位置的转移率：有外场（如电子）时可以有依赖方向的转移率。在次近邻近似下，可以写出P, = T.-1P-1(t) + Ti+1Pi+1(t) - (T-1,i + T+1,) P(t)(1.0.13)为了得到连续主方程，我们可以猜测如下形式，做离散化和上式比较ap02a0a [4(r)P(,t) ++[B()P(,t)]otAi-1Pi-1- 2A,P, + Ai+1Pi+1 +Bi+iPi+1 - Bi-1Pi-1三△r2242Bi-12A;[Ai+1+Ai-Bi+1(1.0.14)D.P.Pi+1△r224TAT△122△r可知Ar2Ai =(1.0.15)[Ti-1,+T+1,],B;=△r[Ti-1,i-Ti+1,]2于是，我们知道之前的猜测是正确的，即著名的Fokker-Planck方程ap82a.[B(a)P(r,t)](1.0.16)0 =02[4(a) P(z, )] +or其中A(）≥0可以保证P(,t)的正定性和守恒的概率和。-个问题：Fokker-Planck方程和量子动力学的关系？Example1.3.细胞培养增殖（CellCultureGrowth）。考虑一群细胞，每个都有一定比例α增殖。这些细胞活在培养皿内，自然几何上是受限的。换言之，可以假设培养皿内至多只能有K个细胞。令P(t)表示培养皿中有i个细胞的概率，假设细胞增殖率α足够小后，可以建立主方程：Po=0,P=-1-Q.P,P2=-2-a.P+1.QP目P =-l.α·P+(l-1)·Q-Pi-1
1 主方程 3 （a） （b） 图 1: 一维格点链之间的跃迁。（a）均匀和各向同性的转移率 T（b）转移率 Tij ≥ 0 可以是非均匀的 Tij ̸= T，也可以是各向异性的 Tij ̸= Tji 现在推广到更复杂的问题。不同方向和不同格点处的转移率是不一样的，如图1.(b) 所示。例如，非均 匀介质中会发生输运现象，从而有依赖于位置的转移率；有外场（如电子）时可以有依赖方向的转移 率。在次近邻近似下，可以写出 P˙ i = Ti,i−1Pi−1(t) + Ti,i+1Pi+1(t) − (Ti−1,i + Ti+1,i) Pi(t) (1.0.13) 为了得到连续主方程，我们可以猜测如下形式，做离散化和上式比较 ∂P ∂t = ∂ 2 ∂x2 [A(x)P(x, t)] + ∂ ∂x[B(x)P(x, t)] ≡ Ai−1Pi−1 − 2AiPi + Ai+1Pi+1 ∆x 2 + Bi+1Pi+1 − Bi−1Pi−1 2∆x = [ Ai−1 ∆x 2 − Bi−1 2∆x ] Pi−1 − 2Ai ∆x 2 Pi + [ Ai+1 ∆x 2 + Bi+1 2∆x ] Pi+1 (1.0.14) 可知 Ai = ∆x 2 2 [Ti−1,i + Ti+1,i] , Bi = ∆x [Ti−1,i − Ti+1,i] (1.0.15) 于是，我们知道之前的猜测是正确的，即著名的 Fokker–Planck 方程 ∂P ∂t = ∂ 2 ∂x2 [A(x)P(x, t)] + ∂ ∂x[B(x)P(x, t)] (1.0.16) 其中 A(x) ≥ 0 可以保证 P(x, t) 的正定性和守恒的概率和。 一个问题：Fokker–Planck 方程和量子动力学的关系？ Example 1.3. 细胞培养增殖（Cell Culture Growth）。考虑一群细胞，每个都有一定比例 α 增殖。这些 细胞活在培养皿内，自然几何上是受限的。换言之，可以假设培养皿内至多只能有 K 个细胞。令 Pi(t) 表示培养皿中有 i 个细胞的概率，假设细胞增殖率 α 足够小后，可以建立主方程： P˙ 0 = 0, P˙ 1 = −1 · α · P1, P˙ 2 = −2 · α · P2 + 1 · α · P1, . . . P˙ ℓ = −ℓ · α · Pℓ + (ℓ − 1) · α · Pℓ−1, . .
2密度矩阵4Pk-1=-(K-1)-α-PK-1+(K-2)-α·Pk-2Pk =+(K - 1)·αPk-1初条件设为单细胞P(0)=1和P￥1(0)=0，我们可以改变容量K=(1,2,3,4,..}，并且求解给定K时对应主方程的解： Pl<k(t)=e-tat (eat -1)e-1 和 Pk(t)=e-(K-1)at (eat_ 1)K-1。细胞数期望值(e)=EK,lPe(t)可以解得为(0) = e+ot [1 - (1 -e-at) K](1.0.17)specifiimaan100h1=L9810图2:细胞培养增殖。主方程解和logistic增长方程N=α(1-)N解的比较。2密度矩阵Definition.任何密度矩阵可以写作p=pi更) (更l(2.0.1)其中0≤pi<1表示处于态[Φ）的概率，且,pi=1。一般地，构成密度矩阵的态不要求是正交的，即（Φ|雪）≠ij。为Hilbert空间选取基（li):-后，密度矩阵可以表示为PooPo1PONNp10pi1PINpisli)(il=(2.0.2):目i.j=1PNOPNIPNN其对角元素称为布居（population），非对角元称为相干（coherence）。形式上，密度矩阵需要满足以下性质：自伴随：pt=p归一化：Tr[p}=1正定性：对所有失量亚，有（亚pld）≥0Gleason定理保证了满足以上条件的矩阵必是一个正确的密度矩阵，它是量子系统态的最一般形式
2 密度矩阵 4 P˙K−1 = −(K − 1) · α · PK−1 + (K − 2) · α · PK−2 P˙K = +(K − 1) · αPK−1 初条件设为单细胞 P1(0) = 1 和 Pℓ̸=1(0) = 0，我们可以改变容量 K = {1, 2, 3, 4, . . .}，并且求解给定 K 时对应主方程的解：Pℓ<K(t) = e −ℓαt (e αt − 1)ℓ−1 和 PK(t) = e −(K−1)αt (e αt − 1)K−1。细胞数期望 值 ⟨ℓ⟩ = ∑K ℓ=1 ℓPℓ(t) 可以解得为 ⟨ℓ⟩ = e +αt [ 1 − ( 1 − e −αt)K ] (1.0.17) 图 2: 细胞培养增殖。主方程解和 logistic 增长方程 N˙ = α ( 1 − N K ) N 解的比较。 2 密度矩阵 Definition. 任何密度矩阵可以写作 ρ = ∑ i pi |Φi⟩ ⟨Φi | (2.0.1) 其中 0 ≤ pi ≤ 1 表示处于态 |Φi⟩ 的概率，且 ∑ i pi = 1。一般地，构成密度矩阵的态不要求是正交的， 即 ⟨Φi | Φj ⟩ ̸= δij。为 Hilbert 空间选取基 {|i⟩}N i=1 后，密度矩阵可以表示为 ρ = ∑ N i,j=1 ρi,j |i⟩⟨j| = ρ00 ρ01 · · · ρ0N ρ10 ρ11 · · · ρ1N . . . . . . . . . . . . ρN0 ρN1 · · · ρNN (2.0.2) 其对角元素称为布居（population），非对角元称为相干（coherence）。形式上，密度矩阵需要满足以下 性质： 自伴随： ρ † = ρ 归一化： Tr{ρ} = 1 正定性： 对所有矢量 Ψ，有 ⟨Ψ|ρ|Ψ⟩ ≥ 0 Gleason 定理保证了满足以上条件的矩阵必是一个正确的密度矩阵，它是量子系统态的最一般形式
2密度矩阵5观测量期望值对纯态《A)=(例[A|Φ)=Tr(A|亚)()=Tr(Ap)=Tr(pA)，对一般混态，类似地有(A) = Tr(Ap) = Tr <AZp更) (/=p:Tr [A) (更)(In)(nl) A|;= p(nA)(更:/ n)=(,((2.0.3)=Ep (更A|更)动力学演化vonNeumann方程p= -i[H(t), p(t)](2.0.4)或者用么正演化算符写作(2.0.5)p(t) =p,U(t)[Φ;) (更;/Ut(t), U(t) =-iH(t)U(t)注意上式意味着么正演化不是将态矢量Φ；(t)）=U(t)/更Φ）联系起来。这些态量是通过Schrodinger方程从各个各个初态|Φ）演化而来的。因此，vonNeumann方程实际上刻画的是从不同初态出发演化的系综平均。测量导致的演化对量子态亚做测量可以最一般地表示成一组测量算符【Mm的作用，其中每一个测量算符对应确定的测量结果。我们要求这些测量算符是厄米的、正定的且完备的mEm=ZmMMm=1。正交性并不是测量算符的必要性质，满足正交性的测量Mm=m)《m称为投影测量：而一般的测量算符(Mm称为POVM测量（positiveoperator-valuedmeasure）。一个问题：测量算符有多少个？测量得到结果m的概率为Pm=Tr[MMmp)Pm=([MMm|)(2.0.6)对应这个测量结果，测量完成后原先的态变为MmpMtMm/Φ)纯pp=(2.0.7)Tr [Mt. MmP)(MMm|)一个问题：如果只是对态进行力学量测量，不指定结果，新量子态是什么样子？p=MmpMmExample2.1.量子测量中，对正交态可以通过单次测量区分开（见Nielson），但是对非正交态就不行。例如想决定观测者手中的态是以下中的哪一个1(2.0.8)[1)=[0)或[32=(10) +[1)= +),用投影测量（[M}=[Po,Pi}，其中P,=[i)(il,i=0,1）是不行的。但可以用POVM(2.0.9)Ei = αl1)1 I,E2 = αl-)(-1, E3 = I - Ei - E2测量结果(1) =([E/)=0, (12)=(E2) =-2(2[)=《[E2)= (22)=(2[E22)=0(2.0.10)(3/2) = (2|E/ 2) =1-(3[) =《[Es)=-号
2 密度矩阵 5 观测量期望值 对纯态 ⟨A⟩ = ⟨Ψ|A|Ψ⟩ = Tr{A|Ψ⟩⟨Ψ|} ≡ Tr{Aρ} = Tr{ρA}，对一般混态，类似地有 ⟨A⟩ ≡ Tr{Aρ} = Tr { A ∑ i pi |Φi⟩ ⟨Φi | } = ∑ i pi Tr {A |Φi⟩ ⟨Φi |} = ∑ i pi ∑ n ⟨n|A|Φi⟩ ⟨Φi | n⟩ = ∑ i pi ⟨ Φi (∑ n |n⟩⟨n| ) A Φi ⟩ = ∑ i pi ⟨Φi |A|Φi⟩ (2.0.3) 动力学演化 von Neumann 方程 ρ˙ = −i[H(t), ρ(t)] (2.0.4) 或者用幺正演化算符写作 ρ(t) = ∑ i piU(t)|Φi⟩ ⟨Φi |U † (t), U˙ (t) = −iH(t)U(t) (2.0.5) 注意上式意味着幺正演化不是将态矢量 |Φi(t)⟩ = U(t)|Φi⟩ 联系起来。这些态矢量是通过 Schrödinger 方程从各个各个初态 |Φi⟩ 演化而来的。因此，von Neumann 方程实际上刻画的是从不同初态出发演化 的系综平均。 测量导致的演化 对量子态 |Ψ⟩ 做测量可以最一般地表示成一组测量算符 {Mm} 的作用，其中每一个测量算 符对应确定的测量结果。我们要求这些测量算符是厄米的、正定的且完备的 ∑ m Em = ∑ m M† mMm = 1。正交性并不是测量算符的必要性质，满足正交性的测量 Mm = |m⟩⟨m| 称为投影测量；而一般的测 量算符 {Mm} 称为 POVM 测量（positive operator-valued measure）。 一个问题：测量算符有多少个？ 测量得到结果 m 的概率为 Pm = Tr { M† mMmρ } 纯态 ===⇒ Pm = ⟨ Ψ M† mMm Ψ ⟩ (2.0.6) 对应这个测量结果，测量完成后原先的态变为 ρ m→ ρ ′ = MmρM† m Tr { M† mMmρ } 纯态 ===⇒ |Ψ⟩ m→ Mm|Ψ⟩ √⟨ Ψ M† mMm Ψ ⟩ (2.0.7) 一个问题：如果只是对态进行力学量测量，不指定结果，新量子态是什么样子？ρˆ ′ = ∑ m MˆmρˆMˆm Example 2.1. 量子测量中，对正交态可以通过单次测量区分开（见 Nielson），但是对非正交态就 不行。例如想决定观测者手中的态是以下中的哪一个 |ψ1⟩ = |0⟩ 或 |ψ2⟩ = 1 √ 2 (|0⟩ + |1⟩) ≡ |+⟩. (2.0.8) 用投影测量（{Mk} = {P0, P1} , 其中Pi = |i⟩⟨i|, i = 0, 1）是不行的。但可以用 POVM E1 = α|1⟩1 |, E2 = α|−⟩⟨−|, E3 = I − E1 − E2. (2.0.9) 测量结果 p (1 | ψ1) = ⟨ψ1 |E1| ψ1⟩ = 0, p (1 | ψ2) = ⟨ψ2 |E1| ψ2⟩ = α 2 , p (2 | ψ1) = ⟨ψ1 |E2| ψ1⟩ = α 2 , p (2 | ψ2) = ⟨ψ2 |E2| ψ2⟩ = 0 p (3 | ψ1) = ⟨ψ1 |E3| ψ1⟩ = 1 − α 2 , p (3 | ψ2) = ⟨ψ2 |E3| ψ2⟩ = 1 − α 2 . (2.0.10)
2密度矩阵6可见无论测量结果是1还是2，都可以准确说出系统所处的态，若是3，则可以声明忽略，因为实际没有得到任何有用信息，为了减小3的出现率，可以增大α，由E3的正定性给出α的最大值是Krus映射将一个密度矩阵映射成另一个密度矩阵，意味着这样的映射重应该保密度矩阵的基本性质，即厄米、正定、单位迹。p=(p)=AapAt，其中BAtAa=1(2.0.11)apaβ其中因子B构成了一个厄米的（（B=））且正定的（Bβ≥0）的矩阵。很容易看出以上Kraus映射是保密度矩阵的厄米性和单位迹的，另一方面，利用p=nPnn)(n，也容易证明Kraus映射保正定性(|p）=(AaA)=P(Aa|n)n|=(n|4t/)g(n|4|)≥0(2.0.12)n20ap20更严格地说，Kraus映射是完全正定映射（completepositivity，CP），即将一个正算符映射成另一个正算符，并且（可证）重T(k）对任意k还是正的2。综合来说，Kraus映射不仅是CP，还是保迹的，因此称为完全正定保迹（completelypositivetracepreserving，CPTP）映射。由于Qβ是厄米的，总可以在合适的么正变换下对角化，于是引入新算符Aα=UαKp=BUaKapUg,K-KapKtUaaaUaBa'Ba'BaTa6a/pKapt，其中≥0是矩阵（B）的本征值(2.0.13)Definition.引入Kraus算符K。=K。后，Kraus映射为p(t +At) =Ka(t,At)p(t)Kt(t,At)(2.0.14)其中厂。K.(t,△t)K。(t,△t)=1，保密度矩阵的厄米性、迹和正定性。由于Kraus算符将（密度矩阵）算符映射成另一个（密度矩阵）算符，也被称为超算符（superoperator）。Kraus映射被广泛用在量子信息领域，但是其缺点在于是个整体算符，往往不易分析细节，例如不好理解和分辨其中幺正和非幺正的部分。复合系统实际应用中，常要考虑复合量子系统，例如HAHB。对两体复合系统，一些需要强调的点：·复合系统Hilbert空间大小：dim(AB)=dim(A)·dim(B);·HAHB中的迹Tr[AOB) = (nA, nB[A B|nA, nB) =Z(nA|A|nA)Z (nB|B[nB)= TrA[A) TrB(B)nA.nB2反例是矩阵转置操作，虽然操作T本身可以保算符的正定性，但是T工(K）就不能保证映射后的算符依然为正。后者正是所谓部分转置（partialtranspose）操作。在量子信息中，可以用部分转置操作映射密度矩阵，若得到的算符不是正定的，意味着原先的密度矩阵应该具有一定纠缠。这种判断纠缠的充分判据称为正部分转置（positive partialtranspose，PPT）判据
2 密度矩阵 6 可见无论测量结果是 1 还是 2，都可以准确说出系统所处的态，若是 3，则可以声明忽略，因为 实际没有得到任何有用信息，为了减小 3 的出现率，可以增大 α，由 E3 的正定性给出 α 的最大 值是 √ 2 1+√ 2 Krus 映射 将一个密度矩阵映射成另一个密度矩阵，意味着这样的映射 Φ 应该保密度矩阵的基本性质，即 厄米、正定、单位迹。 ρ ′ = Φ(ρ) = ∑ αβ γαβAαρA† β , 其中 ∑ αβ γαβA † βAα = 1 (2.0.11) 其中因子 γαβ 构成了一个厄米的（( γαβ = γ ∗ βα) ）且正定的（∑ αβ x ∗ αγαβxβ ≥ 0）的矩阵。 很容易看出以上 Kraus 映射是保密度矩阵的厄米性和单位迹的，另一方面，利用 ρ = ∑ n Pn|n⟩⟨n|，也 容易证明 Kraus 映射保正定性 ⟨Ψ |ρ ′ | Ψ⟩ = ∑ αβ γαβ ⟨ Ψ AαρA† β Ψ ⟩ = ∑ n Pn ∑ αβ γαβ ⟨Ψ |Aα| n⟩ ⟨ n A † β Ψ ⟩ = ∑ n Pn |{z} ≥0 ∑ αβ (⟨n A † α Ψ ⟩)∗ γαβ ⟨ n A † β Ψ ⟩ | {z } ≥0 ≥ 0 (2.0.12) 更严格地说，Kraus 映射是完全正定映射（complete positivity，CP），即将一个正算符映射成另一个 正算符，并且（可证）Φ ⊗ I(k) 对任意 k 还是正的2。综合来说，Kraus 映射不仅是 CP，还是保迹的， 因此称为完全正定保迹（completely positive trace preserving，CPTP）映射。 由于 γαβ 是厄米的，总可以在合适的幺正变换下对角化，于是引入新算符 Aα = ∑ α′ Uαα′K¯ α′ ρ ′ = ∑ αβ ∑ α′β′ γαβUαα′K¯ α′ρU∗ ββ′K † β′ = ∑ α′β′ K¯ α′ρK¯ † β′ ∑ αβ Uαα′γαβU ∗ ββ′ | {z } γα′ δα′β′ = ∑ α γαK¯ αρK¯ † α, 其中 γα ≥ 0 是矩阵 (γαβ) 的本征值 (2.0.13) Definition. 引入 Kraus 算符 Kα = √γαK¯ α 后，Kraus 映射为 ρ(t + ∆t) = ∑ α Kα(t, ∆t)ρ(t)K† α(t, ∆t) (2.0.14) 其中 ∑ α K† α(t, ∆t)Kα(t, ∆t) = 1，保密度矩阵的厄米性、迹和正定性。由于 Kraus 算符将（密度 矩阵）算符映射成另一个（密度矩阵）算符，也被称为超算符（superoperator）。 Kraus 映射被广泛用在量子信息领域，但是其缺点在于是个整体算符，往往不易分析细节，例如不好理 解和分辨其中幺正和非幺正的部分。 复合系统 实际应用中，常要考虑复合量子系统，例如 HA ⊗ HB。对两体复合系统，一些需要强调的点： • 复合系统 Hilbert 空间大小：dim(A ⊗ B) = dim(A) · dim(B)； • HA ⊗ HB 中的迹 Tr{A⊗B} = ∑ nA,nB ⟨nA, nB|A ⊗ B|nA, nB⟩ = [∑ nA ⟨nA|A|nA⟩ ] [∑ nB ⟨nB|B|nB⟩ ] = TrA{A} TrB{B} 2反例是矩阵转置操作，虽然操作 T 本身可以保算符的正定性，但是 T ⊗ I(k) 就不能保证映射后的算符依然为正。后者正是所谓部 分转置（partial transpose）操作。在量子信息中，可以用部分转置操作映射密度矩阵，若得到的算符不是正定的，意味着原先的密度 矩阵应该具有一定纠缠。这种判断纠缠的充分判据称为正部分转置（positive partial transpose，PPT）判据
73LINDBLAD主方程AB的本征值入ui（其中i=1.2,...dimA，j=1.2....dimB)·AB的行列式 det(AB)=det(A)dim(B).det(B)dim(A);。部分求迹操作可以从一个大的复合系统的密度矩阵β得到一个小的密度矩阵，通常认为此小密度矩阵（例如pA=TrB(p)）是对应子系统的量子态。为什么这种认定是合适的？这主要是基于，我们要求无论从子系统角度还是从大系统角度看，对子系统测量力学量得到的结果应该是一致的。例如，若MA是子系统A上的观测量，则(MA)A=Tr[pAMA] =(M)= Tr[pM],M= MAIB(2.0.15)因此Tr [MAPA] = Tr[Mp](2.0.16)可以证明（Lidar'snotes）只有在pA=TrB(p）时，上式是成立的。复合系统中的Kraus算符表示设大系统SB，其中B是环境bath，初态pB(0)=，入v)(ul，于是子系统S状态随时间的演化为(2.0.17)ps(t) = TrB[p(t)] = TrB [U(t)p(O)Ut(t)] = <μ|U(t)p(0)Ut(t)| μ)A设大系统初态是完全解耦的p(0)=ps(0)pB(0)，于是，进一步可得U(t)ps(0) a/)(uut(t)ps(t) = (=ZV(μU(t)d)Bps(0)VX(|Ut(t)/μ)=K(t)ps(0)(t) (2.0.18)V其中Kraus算符表示为(2.0.19)Kμ(t) = x(μ|U(t))以上就是子系统密度矩阵演化的Kraus算符求和表示。注意到Kraus算符中：入，是bath初态的本征值；lμ）是bath空间的基矢；而U(t）是作用在复合系统整体上的幺正演化算符，由vonNeumann方程决定。3Lindblad主方程我们以倒推的方式来讨论Lindblad型主方程。Definition.Lindblad型主方程具有如下结构：N--1BAapAt(3.0.1)p=p=-i[H,P + 2AgAa.Pα.B=1其中厄米算符H=Ht可以理解为有效哈密顿量（不一定是系统哈密顿量），抑制矩阵B=。是正定的（即本征值非负入≥0）。可以一一检验Lindblad型主方程对密度矩阵是CPTP的。利用抑制矩阵的厄米性，可以通过合适的么正变换对角化，ZaUaaB(Ut)）gB=αB（本征值非负≥0）。于是，通过定义新算符
3 LINDBLAD 主方程 7 • A ⊗ B 的本征值 λiµj（其中 i = 1, 2, · · · , dimA，j = 1, 2, · · · , dimB）； • A ⊗ B 的行列式 det(A ⊗ B) = det(A) dim(B) · det(B) dim(A)； • 部分求迹操作可以从一个大的复合系统的密度矩阵 ρ 得到一个小的密度矩阵，通常认为此小密度 矩阵（例如 ρA = TrB(ρ)）是对应子系统的量子态。为什么这种认定是合适的？这主要是基于，我 们要求无论从子系统角度还是从大系统角度看，对子系统测量力学量得到的结果应该是一致的。 例如，若 MA 是子系统 A 上的观测量，则 ⟨MA⟩ρA = Tr[ρAMA] = ⟨Mf⟩ = Tr[ρMf], Mf = MA ⊗ IB (2.0.15) 因此 Tr[MAρA] = Tr[M ρ f ] (2.0.16) 可以证明（Lidar’s notes）只有在 ρA ≡ TrB(ρ) 时，上式是成立的。 复合系统中的 Kraus 算符表示 设大系统 S ⊗ B，其中 B 是环境 bath，初态 ρB(0) = ∑ ν λν|ν⟩⟨ν|，于是子 系统 S 状态随时间的演化为 ρS(t) = TrB[ρ(t)] = TrB [ U(t)ρ(0)U † (t) ] = ∑ µ ⟨ µ U(t)ρ(0)U † (t) µ ⟩ (2.0.17) 设大系统初态是完全解耦的 ρ(0) = ρS(0) ⊗ ρB(0)，于是，进一步可得 ρS(t) = ∑ µ ⟨ µ [ U(t)ρS(0) ⊗ ∑ ν λν|ν⟩⟨ν|U † (t) ] µ ⟩ = ∑ µν √ λν⟨µ|U(t)|ν⟩BρS(0)√ λν ⟨ ν U † (t) µ ⟩ B = ∑ µν Kµν(t)ρS(0)K† µν(t) (2.0.18) 其中 Kraus 算符表示为 Kµν(t) = √ λν⟨µ|U(t)|ν⟩ (2.0.19) 以上就是子系统密度矩阵演化的 Kraus 算符求和表示。注意到 Kraus 算符中：λν 是 bath 初态的本征 值；|µ⟩ 是 bath 空间的基矢；而 U(t) 是作用在复合系统整体上的幺正演化算符，由 von Neumann 方 程决定。 3 Lindblad 主方程 我们以倒推的方式来讨论 Lindblad 型主方程。 Definition. Lindblad 型主方程具有如下结构： ρ˙ = L ρ = −i[H, ρ] + N ∑2−1 α,β=1 γαβ ( AαρA† β − 1 2 { A † βAα, ρ}) (3.0.1) 其中厄米算符 H = H† 可以理解为有效哈密顿量（不一定是系统哈密顿量），抑制矩阵 γαβ = γ ∗ βα 是正 定的（即本征值非负 λi ≥ 0）。 可以一一检验 Lindblad 型主方程对密度矩阵是 CPTP 的。利用抑制矩阵 γ 的厄米性，可以通过合 适的幺正变换对角化，∑ αβ Uα′αγαβ ( U † ) ββ′ = δα′β′γα′（本征值非负 γα ≥ 0）。于是，通过定义新算符
83LINDBLAD主方程Aα=。ULa，原方程可以写作V--(AapA -(AtAa,P)p= -H,P+Zβ(.8ZagUuaUpel (LapLb, -(it,La,p)-[H,P] +x.8N2-1(LapLt -(tLa,pP)(3.0.2)-,P+（-吸收掉正定的本征值α后，定义Lindblad算符L=La，最终得到Lindblad主方程的最简单形式：p=-i[H,P+(LapLf-(fLa,P)(3.0.3)一个重要的观察是，以上Lindblad方程在如下非齐次变换下：L& → L=La+aαlH→H=H+(aLa - aLt) + b1(3.0.4)复系数aα可以通过选择无迹L来固定：而b可以通过规范能量来固定。现在我们尝试从微观模型的角度重新得到Lindblad主方程。设系统+bath的总哈密顿量为H= Hs+H+Hi(3.0.5)在相互作用绘景（见末尾附录）中，（密度矩阵）算符的演化由哈密顿量里的相互作用部分控制，满足d量p(t) = -i[HI(t),p(t)] 一 p(t) =p(0) -ids [Hr(s),p(s)]C(3.0.6)dtPs(t) = -dstrB [H(t),[H(s), p(s)]]I此处已假定已假定(3.0.7)trB [H(t), p(0)] = 0为了求解以上的积分-微分方程（integro-differential equation）（3.0.6)），我们要开始做一系列的近似：Born近似（弱近似）假设系统和bath之间的耦合非常弱，从而bath的密度矩阵pB几乎不被它们之间的相互作用所影响。由此t时刻时总系统的密度矩阵可以近似表示为张量积(3.0.8)p(t)~Ps(t)PB需要特别强调的是，这不是意味着环境不会受系统的影响而激发，只是这种激发在以下的Markovian近似下很快地就会衰退掉（这里的“快”是相对系统的演化来说的）。Markovian近似将以上张量积代回到原先的积分-微分方程，得到datps(t) = -/ds trB [Hr(t),[Hi(s),ps(s) pBl](3.0.9)此时我们做Markovian近似，即系统在时刻t的演化只与当前的态ps(t)有关。因此，可以先将上式中的ps(s）替代为Ps(t)，得到著名的Redfield方程ddstrB [Hr(t),[H(s),ps(t) pBl](3.0.10)dtPs(t) = -
3 LINDBLAD 主方程 8 Aα = ∑ α′ Uα′αL¯ α′，原方程可以写作 ρ˙ = −i[H, ρ] + N ∑2−1 α,β=1 γαβ ( AαρA† β − 1 2 { A † βAα, ρ}) = −i[H, ρ] + ∑ α′ ,β′ ∑ αβ γαβUα′αU ∗ β′β ( L¯ α′ρL¯† β′ − 1 2 { L¯† β′L¯ α′ , ρ}) = −i[H, ρ] + N ∑2−1 α=1 γα ( L¯ αρL¯† α − 1 2 { L¯† αL¯ α, ρ} ) (3.0.2) 吸收掉正定的本征值 γα 后，定义 Lindblad 算符 Lα ≡ √γαLα，最终得到 Lindblad 主方程的最简单形式： ρ˙ = −i[H, ρ] +∑ α ( LαρL† α − 1 2 { L † αLα, ρ} ) (3.0.3) 一个重要的观察是，以上 Lindblad 方程在如下非齐次变换下： Lα → L ′ α = Lα + aα1 H → H′ = H + 1 2i ∑ α ( a ∗ αLα − aαL † α ) + b1 (3.0.4) 复系数 aα 可以通过选择无迹 Lα 来固定；而 b 可以通过规范能量来固定。 现在我们尝试从微观模型的角度重新得到 Lindblad 主方程。设系统 +bath 的总哈密顿量为 H = HS + HB + HI (3.0.5) 在相互作用绘景（见末尾附录）中，（密度矩阵）算符的演化由哈密顿量里的相互作用部分控制，满足 d dtρ(t) = −i[HI (t), ρ(t)] =⇒ ρ(t) = ρ(0) − i ∫ t 0 ds [HI (s), ρ(s)] =⇒ d dtρS(t) = − ∫ t 0 ds trB [HI (t), [HI (s), ρ(s)]] (3.0.6) 此处已假定已假定 trB [HI (t), ρ(0)] = 0 (3.0.7) 为了求解以上的积分-微分方程（integro-differential equation）(3.0.6)，我们要开始做一系列的近似： Born 近似（弱近似） 假设系统和 bath 之间的耦合非常弱，从而 bath 的密度矩阵 ρB 几乎不被它们之间 的相互作用所影响。由此 t 时刻时总系统的密度矩阵可以近似表示为张量积 ρ(t) ≈ ρS(t) ⊗ ρB (3.0.8) 需要特别强调的是，这不是意味着环境不会受系统的影响而激发，只是这种激发在以下的 Markovian 近似下很快地就会衰退掉（这里的“快”是相对系统的演化来说的）。 Markovian 近似 将以上张量积代回到原先的积分-微分方程，得到 d dtρS(t) = − ∫ t 0 ds trB [HI (t), [HI (s), ρS(s) ⊗ ρB]] (3.0.9) 此时我们做 Markovian 近似，即系统在时刻 t 的演化只与当前的态 ρS(t) 有关。因此，可以先将上式 中的 ρS(s) 替代为 ρS(t)，得到著名的 Redfield 方程 d dtρS(t) = − ∫ t 0 ds trB [HI (t), [HI (s), ρS(t) ⊗ ρB]] (3.0.10)
93LINDBLAD主方程注意到Redfield方程还不是Markovian主方程，因为系统约化密度矩阵的随时间演化还是依赖于t=0时刻的初态的制备。为此，我们将积分中的s替换成t一s，并令积分上限趋于无穷。这样的扩展积分区域是不是会引起发散的结果呢？答案是不会。因为Markovian近似保证了系统演化的特征时间Ts远远大于bath的演化特征时间TB（换句话说，Markovian近似可以表述为环境/bath是对系统的影响“健忘”的），所以当s》TB时，以上积分会迅速衰减消失。总之，完整利用Markovian近似后，我们得到dtPs(t) =dstrB[Hr(t),[H(t-s),ps(t) pBl](3.0.11)很多场合，以上两个近似会合起来称作Born-Markov近似。旋波近似如前文所述，主方程应该是一种保密度矩阵性质的动力学映射，换言之它将一个密度矩阵映射成另一个密度矩阵。数学上可以证明，为了做到这一点，光有Born-Markov近似是不够的。我们要引入最后一个旋波近似（rotatingwaveapproximation），即将积分中快速振荡的项尽数平均掉。为了看清这一点，我们要一步一步慢慢走：·在Schrodinger绘景中，最一般的相互作用哈密顿量可以写作H=AαBa,A=Aa,B=Ba(3.0.12)0·由于我们最后是在相互作用绘景中工作，要把任何薛定绘景中的算符s，通过如下方式变成相互作用绘景中算符O1：eiHstOse-iHst=-Or(3.0.13)所以，在我们的问题中，一种方便的做法是找到系统哈密顿量Hs的本征算符，然后将相互作用哈密顿量H在这组基上分解。定义Hs的本征算符为Aa(w)= I(e)Aαll(e)(3.0.14)E'-E=u其中II(e）是对应Hs本征值ε的投影算符，w是两能量本征值e和e的差。可以直接验证，本征算符Aα（w）满足3[Hs, Aα(w)] = -wAa(w),[Hs,Af(w)] = +wAt(w)(3.0.15)利用这两个关系，我们可以计算得到A。在相互作用绘景中对应的是：eistAa(w)e-iHst -e-iwt Aa(w), eiHst Af(w)e-ist - e+iwt Af(w)(3.0.16)最后，我们注意到(3.0.17)[Hs,A. (w)Aβ()|= 0, At(w) =Aα(-w)将（3.0.14）对所有能量差求和，并利用投影算符的完备关系，有 Aα(w) = ZAt(w) = Aa(3.0.18)a据此，相互作用哈密顿量在薛定绘景中写成HI =Aa(w) Ba-At(w) B)(3.0.19)a.a,w转换到相互作用绘景，利用（3.0.16)，哈密顿量可以写成非常简单的形式：Hr(t) -e-iwt Aα(w) Ba(t)-e+iwt At(w) Bt(t)(3.0.20)a,ua,w3从这里也可以看出，如果我们记H(A)=[Hs,A]，它也可以看作是作用在A的超算符，而A自然是这个超算符的本征失
3 LINDBLAD 主方程 9 注意到 Redfield 方程还不是 Markovian 主方程，因为系统约化密度矩阵的随时间演化还是依赖于 t = 0 时刻的初态的制备。为此，我们将积分中的 s 替换成 t−s，并令积分上限趋于无穷。这样的扩展积分区 域是不是会引起发散的结果呢？答案是不会。因为 Markovian 近似保证了系统演化的特征时间 τS 远 远大于 bath 的演化特征时间 τB（换句话说，Markovian 近似可以表述为环境/bath 是对系统的影响 “健忘”的），所以当 s ≫ τB 时，以上积分会迅速衰减消失。总之，完整利用 Markovian 近似后，我 们得到 d dtρS(t) = − ∫ ∞ 0 ds trB [HI (t), [HI (t − s), ρS(t) ⊗ ρB]] (3.0.11) 很多场合，以上两个近似会合起来称作 Born- Markov 近似。 旋波近似 如前文所述，主方程应该是一种保密度矩阵性质的动力学映射，换言之它将一个密度矩阵映射成 另一个密度矩阵。数学上可以证明，为了做到这一点，光有 Born- Markov 近似是不够的。我们要引入 最后一个旋波近似（rotating wave approximation），即将积分中快速振荡的项尽数平均掉。为了看清 这一点，我们要一步一步慢慢走： • 在 Schrödinger 绘景中，最一般的相互作用哈密顿量可以写作 HI = ∑ α Aα ⊗ Bα, A† α = Aα, B† α = Bα (3.0.12) • 由于我们最后是在相互作用绘景中工作，要把任何薛定谔绘景中的算符 OS，通过如下方式变成 相互作用绘景中算符 OI： e iHS tOSe −iHS t = OI (3.0.13) 所以，在我们的问题中，一种方便的做法是找到系统哈密顿量 HS 的本征算符，然后将相互作用 哈密顿量 HI 在这组基上分解。定义 HS 的本征算符为 Aα(ω) ≡ ∑ ε ′−ε=ω Π(ε)AαΠ (ε ′ ) (3.0.14) 其中 Π(ε) 是对应 HS 本征值 ε 的投影算符，ω 是两能量本征值 ε ′ 和 ε 的差。可以直接验证，本 征算符 Aα(ω) 满足3 [HS, Aα(ω)] = −ωAα(ω), [ HS, A† α(ω) ] = +ωA† α(ω) (3.0.15) 利用这两个关系，我们可以计算得到 Aα 在相互作用绘景中对应的是： e iHS tAα(ω)e −iHS t = e −iωtAα(ω), eiHS tA † α(ω)e −iHS t = e +iωtA † α(ω) (3.0.16) 最后，我们注意到 [ HS, A† α(ω)Aβ(ω) ] = 0, A† α(ω) = Aα(−ω) (3.0.17) • 将 (3.0.14) 对所有能量差求和，并利用投影算符的完备关系，有 ∑ ω Aα(ω) = ∑ ω A † α(ω) = Aα (3.0.18) 据此，相互作用哈密顿量在薛定谔绘景中写成 HI = ∑ α,ω Aα(ω) ⊗ Bα = ∑ α,ω A † α(ω) ⊗ B † α (3.0.19) 转换到相互作用绘景，利用 (3.0.16)，哈密顿量可以写成非常简单的形式： HI (t) = ∑ α,ω e −iωtAα(ω) ⊗ Bα(t) = ∑ α,ω e +iωtA † α(ω) ⊗ B † α(t) (3.0.20) 3从这里也可以看出，如果我们记 Hˆ (A) ≡ [HS, A]，它也可以看作是作用在 A 的超算符，而 Aα 自然是这个超算符的本征矢
103LINDBLAD主方程·注意到，（3.0.20）中的Ba(t)=eiHatBae-i讯Bt是相互作用绘景中Ba的形式，也因此，（3.0.6）可以方便地表示为(Ba(t) = tr [Ba(t)pB) = 0(3.0.21)在做完这一切后，我们终于可以将（3.0.20）代回到主方程（3.0.11)，得到dps(t)dstrB [Hi(t -s)ps(t)pBHr(t) -H(t)H(t- s)ps(t)pB) + h.c.dte(u'-w)tTaβ(w) (Ag(w)ps(t)Af (w) -Af (w) Ag(w)ps(t) + h.c.(3.0.22)其中h.c.代表前一项的厄米共轭，我们也引入了单边Fourier变换Tab(w)=dse'ws(B(t)Bp(t-s)(3.0.23)其中bath的关联函数为(3.0.24)(B(t)Bg(t -s))= trB (B(t)Bg(t -s)pB)通常我们可以假设bath所处态pB为平衡态，即[HB;PB]=0，于是关联函数是时间平移不变的(B(t)Be(t - s) = (Bt(s)Bs(0))(3.0.25)从而IαB(w)可以消除恼人的对时间的依赖。现在我们终于可以引入旋波近似了。系统演化的特征时间尺度Ts可以简单定义为w-w-1,w≠w，即频率差之逆。由于Ts相对弛豫时间通常很大，所以我们可以忽略掉（3.0.22）中w'≠w对应的项，因为后者振荡得得非常快，在积分下累积的贡献可以看成零，这称为旋波近似（在量子光学里很常见）。最终我们得到主方程为dps()-Ta(0)(As()s()4() -A(n)Ag()s() + he.(3.0.26)至此所有近似都已经做完，数学上也可以证明（3.0.26）是保密度矩阵性质的。但是，通过将单边Fourier变换（3.0.23）进一步分解为Tap(a) = 2%ap(a) + iSap()(3.0.27)其中厄米矩阵Sαβ(w) (Tap(w) -TBa(w)Saβ(w) =(3.0.28)正定矩阵B(w）是一个完整的Fourier变换dseiws (Bt(s)Bs(0)(3.0.29)aβ(w) =Iaβ(w) +Ba(w) =主方程（3.0.26）才写成了我们熟悉的形式：dps(t) = -[Hot, ps(0)+Za() (μAa(a)ps4(a) -(4t(a)As(a),ps)(3.0.30)其中厄米算符Heff=Da,gSap(w)At(w)As(a)是动力学中Lamb位移项，看作有效哈密顿量，且可以验证[Hs，HLs]=0。第二项则是退相干项，使得主方程控制的动力学演化不是么正的（虽然保密度矩阵。由于β(w）是正定矩阵，我们当然可以进一步对角化它，并将对角元素吸收到算符Aα中，最后得到我们最熟悉的Lindblad主方程：p(t) = -i[Hef, s(t)] + (LipsLf - [t↓Lis ps)) = Cp(t)(3.0.31)
3 LINDBLAD 主方程 10 • 注意到，(3.0.20) 中的 Bα(t) = e iHBtBαe −iHBt 是相互作用绘景中 Bα 的形式，也因此，(3.0.6) 可 以方便地表示为 ⟨Bα(t)⟩ ≡ tr {Bα(t)ρB} = 0 (3.0.21) 在做完这一切后，我们终于可以将 (3.0.20) 代回到主方程 (3.0.11)，得到 dρS(t) dt = ∫ ∞ 0 ds trB {HI (t − s)ρS(t)ρBHI (t) − HI (t)HI (t − s)ρS(t)ρB} + h.c. = ∑ ω,ω′ ∑ α,β e i(ω ′−ω)tΓαβ(ω) ( Aβ(ω)ρS(t)A † α (ω ′ ) − A † α (ω ′ ) Aβ(ω)ρS(t) ) + h.c.(3.0.22) 其中 h.c. 代表前一项的厄米共轭，我们也引入了单边 Fourier 变换 Γαβ(ω) ≡ ∫ ∞ 0 dseiωs ⟨ B † α(t)Bβ(t − s) ⟩ (3.0.23) 其中 bath 的关联函数为 ⟨ B † α(t)Bβ(t − s) ⟩ ≡ trB { B † α(t)Bβ(t − s)ρB } (3.0.24) 通常我们可以假设 bath 所处态 ρB 为平衡态，即 [HB, ρB] = 0，于是关联函数是时间平移不变的 ⟨ B † α(t)Bβ(t − s) ⟩ = ⟨ B † α(s)Bβ(0)⟩ (3.0.25) 从而 Γαβ(ω) 可以消除恼人的对时间的依赖。 现在我们终于可以引入旋波近似了。系统演化的特征时间尺度 τS 可以简单定义为 |ω ′ − ω| −1 , ω′ ̸= ω， 即频率差之逆。由于 τS 相对弛豫时间通常很大，所以我们可以忽略掉 (3.0.22) 中 ω ′ ̸= ω 对应的项， 因为后者振荡得得非常快，在积分下累积的贡献可以看成零，这称为旋波近似（在量子光学里很常见）。 最终我们得到主方程为 d dtρS(t) = ∑ ω ∑ α,β Γαβ(ω) ( Aβ(ω)ρS(t)A † α(ω) − A † α(ω)Aβ(ω)ρS(t) ) + h.c. (3.0.26) 至此所有近似都已经做完，数学上也可以证明（3.0.26）是保密度矩阵性质的。但是，通过将单边 Fourier 变换（3.0.23）进一步分解为 Γαβ(ω) = 1 2 γαβ(ω) + iSαβ(ω) (3.0.27) 其中厄米矩阵 Sαβ(ω) Sαβ(ω) = 1 2i ( Γαβ(ω) − Γ ∗ βα(ω) ) (3.0.28) 正定矩阵 γαβ(ω) 是一个完整的 Fourier 变换 γαβ(ω) = Γαβ(ω) + Γ∗ βα(ω) = ∫ +∞ −∞ dseiωs ⟨ B † α(s)Bβ(0)⟩ (3.0.29) 主方程（3.0.26）才写成了我们熟悉的形式： d dtρS(t) = −i[Heff, ρS(t)] +∑ ω ∑ α,β γαβ(ω) ( Aβ(ω)ρSA † α(ω) − 1 2 { A † α(ω)Aβ(ω), ρS } ) (3.0.30) 其中厄米算符 Heff = ∑ ω ∑ α,β Sαβ(ω)A† α(ω)Aβ(ω) 是动力学中 Lamb 位移项，看作有效哈密顿量，且可以 验证 [HS, HLS] = 0。第二项则是退相干项，使得主方程控制的动力学演化不是幺正的（虽然保密度矩阵）。 由于 γαβ(ω) 是正定矩阵，我们当然可以进一步对角化它，并将对角元素吸收到算符 Aα 中，最后得到 我们最熟悉的 Lindblad 主方程： ρ˙(t) = −i[Heff, ρS(t)] +∑ i ( LiρSL † i − 1 2 { L † iLi , ρS }) ≡ Lρ(t) (3.0.31)