《固体物理导论》课程教学资源（课件讲稿）第一章 晶体结构及X射线衍射 第五节 晶体的对称性 第六节 晶体衍射的一般知识 第七节 晶体的衍射方程 第八节 几何结构因子

第五节晶体的对称性本节主要内容：1. 对称性与对称操作2.晶系和布拉菲原胞

第五节 晶体的对称性 本节主要内容: 1. 对称性与对称操作 2. 晶系和布拉菲原胞

1.对称性与对称操作ApatiteGarnetQuartz磷灰石石英石榴石对称性：经过某种几何操作后，晶体能够自身重合的特性；对称操作：使晶体自身重合的几何操作；对称素：对称操作所依赖的几何要素

对称性： 经过某种几何操作后，晶体能够自身重合的特性； 对称操作： 使晶体自身重合的几何操作； 对称素： 1. 对称性与对称操作 Apatite 磷灰石 Quartz 石英 Garnet 石榴石 对称性： 对称操作： 对称素：对称操作所依赖的几何要素

1）对称操作与线性变换晶格中任何两点间的距离，在操作前后应保持不变，数学上表示这些操作就是熟知的线性变换。经过某一对称操作，把晶体中任一点X(x,xz,x）变为X'(xi,xs,x))可以用线性变换来表示。X'= AXX3(x)X'aa2x,x'(x)A=X'=Ix2a21a22a23X=X2X(x,x,,x,)(a31a32（）(X3）33操作前后，两点间的距离保持不变。X2O点和X点间距与O点和X点间距相等。X1222° +×2 + x3 = 1 + x*+ x.12-AA=I~表示转置X'X' = (AX)AX = XAAX = XX

2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 x1 + x + x = x + x + x           = 3 2 1 x x x X               = 3 2 1 x x x X           = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a A 操作前后，两点间的距离保持不变。 ( , , ) 1 2 3 X x x x ( , , ) 1 2 3 X x x x O x1 x3 x2 O点和X点间距与O点和 X 点间距相等。 X  = AX AA I ~ = 1）对称操作与线性变换 ( , , ) X x1 x2 x3     经过某一对称操作，把晶体中任一点 变为 可以用线性变换来表示。 ( , , ) X x1 x2 x3 ~表示转置 晶格中任何两点间的距离，在操作前后应保持不变，数学上表 示这些操作就是熟知的线性变换

001010I为单位矩阵，即：I=001要求A为正交矩阵，其矩阵行列式A=土1。2）简单对称操作（旋转对称、中心反演、镜像、旋转反演对称)(1)旋转对称（C,,对称素为线）2元若晶体绕某一固定轴转以后自身重合，则此轴称为n次(度）n旋转对称轴。与转动对应的变换矩阵：

I为单位矩阵，即：         = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 I 要求A为正交矩阵，其矩阵行列式 A = 1 。 2）简单对称操作(旋转对称、中心反演、镜像、旋转反演对称) (1)旋转对称(Cn ,对称素为线) 若晶体绕某一固定轴转 以后自身重合，则此轴称为n次(度) 旋转对称轴。 n 2π 与转动对应的变换矩阵：

当OX绕x，转动角度0角，X3X'(x",x",x))X(x,x,,x) X'(x,x',x')X(x,x2,x,)09若OX在Oxx平面上投影的长度为R，OX2Xx' = xix' = Rcos(o+p) = Rcos cos- Rsin sin p= x, cosa - x, sin 0x; = Rsin(+p) = Rsin cosp+ Rcos sin g= x, sin 0 + x,cos0

当OX绕x1转动角度角， ( , , ) X x1 x2 x3 ( , , ) X x1 x2 x3     若OX在Ox2x3平面上投影的长度为R， 1 1 x = x  = cos( + ) x2 R = Rcos cos − Rsin sin = x2 cos − x3 sin  = sin( +  ) x3 R = Rsin cos + Rcos sin = x2 sin + x3 cos ( , , ) X x1 x2 x3 ( , , ) X x1 x2 x3     O x1 x3 x2  

001X0coso-sineX20sinecosoX3X3001A=10A=cose -sin 00sinθ cosθ晶体中允许有几度旋转对称轴呢？设AB是晶体中某一晶面上的一个晶列，AB为这一晶列上相邻B的两个格点

                  = −              3 2 1 3 2 1 0 sin cos 0 cos sin 1 0 0 x x x x x x             = −     0 sin cos 0 cos sin 1 0 0 A A = 1 晶体中允许有几度旋转对称轴呢? 设AB是晶体中某一晶面上的一 个晶列，AB为这一晶列上相邻 的两个格点。 A B

B'若晶体绕通过格点A并垂直于纸面的uA'轴转角后能自身重合，使B转到B'位00置，则由于晶体的周期性，通格点B3也有一转轴u转-角后能自身重合，使BAA转到A'位置。A'B是AB的整数倍，A'B=AB(1-2cos0')n=1-2c0s0-1≤n≤3-1≤cos0=(1-n)/2≤1n只能取-1,0,1,2,3五个值，相应地0=2元，2元/6，2元/4，2元/3，2元/2

若晶体绕通过格点A并垂直于纸面的u 轴转角后能自身重合，使B转到B’位 置，则由于晶体的周期性，通格点B 也有一转轴u转-角后能自身重合，使 A转到A’位置。 AB 是 AB 的整数倍， AB = A B (1− 2cosθ), A B   B A  n=1-2cosθ -1≤ cosθ = (1-n)/2 ≤1 -1≤ n ≤3 n只能取-1,0,1,2,3五个值，相应地 θ = 2π, 2π/6, 2π/4, 2π/3, 2π/2

2元综合上述证明得：H,n = 1,2,3,4,6n晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。326

1 2 3 4 6 2π = ,n = , , , , n θ 晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。 综合上述证明得: 1 2 3 4 6

(2)中心反演（i，对称素为点)取中心为原点，经过中心反映后，图形中任一点变为(xi,x2,x.)(-xi,-x,,-x3)00-1x00-1x,=00XX3A= -1

(2)中心反演 (i，对称素为点) 取中心为原点，经过中心反映后，图形中任一点 ( , , ) 1 2 3 x x x ( , , ) 1 2 3 变为 − x − x − x           − − − =              3 2 1 3 2 1 x x x x x x         − − − = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 A A = −1

(3镜象(m，对称素为面）如以x,=0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点(xi,X2,X.)变为(x,,x,,-x)001x?0014=x,00xL3A=-1

(3) 镜象(m，对称素为面) 如以x3=0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点 ( , , ) 1 2 3 x x x ( , , ) 1 2 3 变为 x x − x         − = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 A A = −1           − =              3 2 1 3 2 1 x x x x x x