《数学分析》课程教学课件（讲稿）定积分求弧长

§3平面曲线的孤长与曲率 本节定义光滑曲线的弧长，并用定积分给出弧长计 算公式 一、平面曲线的孤长 定义1设平面曲线C由以下参数方程表示： x=x(t),y=y(t),tela,B]. 如果x(t)与y(t)在a,B]上连续可微，且x'(t)与y(t) 不同时为零，则称C为一光滑曲线 前 返回

前页 后页 返回 定义1 设平面曲线 C 由以下参数方程表示: x x t y y t t = =  ( ), ( ), [ , ].   如果 x t y t x t y t ( ) ( ) [ , ] , ( ) ( ) 与 在   上连续可微 且   与 不同时为零，则称 C 为一光滑曲线. §3 平面曲线的弧长与曲率 本节定义光滑曲线的弧长,并用定积分给出弧长计 算公式. 一、平面曲线的弧长 返回

定义2设平面曲线C由参数方程 x=x(t),y=y(t),tela,B] 表示.对[a,B]的一个分割 T:a=to<<.<t=B,T=max(At) 相应地对C有一个分割，即C上有分点 A=P,P1,.,Pn=B. 若HmP.引=s存在，则称曲线C是可求长的， 并定义该极限值s为曲线C的弧长： 前顶

前页 后页 返回 定义2 设平面曲线 C 由参数方程 x x t y y t t = =  ( ), ( ), [ , ]   0 1 : , max(Δ ) n i i T t t t T t   =    = = ， 1 0 1 lim , , n i i T i 若 P P s C − 存在 则称曲线 是可求长的 → =  = 表示.对[ , ]   的一个分割 相应地对 C C 有一个分割,即 上有分点 0 1 , , , . A P P P B = = n 并定义该极限值 s C 为曲线 的弧长

注可以证明，极限im∑PP引与参数方程的表 i1 示方式无关 定理10.1（光滑曲线弧长公式）设曲线C由参数方 程x=x(t),y=y(t),t∈[a,B]表示.若C为一光滑 曲线，则C是可求长的，且弧长为 s=∫2x20+y20d6. 前页 返回

前页 后页 返回 曲线, 则 C 是可求长的, 且弧长为 2 2 s x t y t t ( ) ( ) d .   = +    定理10.1 (光滑曲线弧长公式)设曲线 C 由参数方 1 0 1 , lim n i i T i P P− → = 注 可以证明 极限  与参数方程的表 示方式无关. 程 x x t y y t t = =  ( ), ( ), [ , ] .   表示 若C为一光滑

证设[a,B]的任一分割 T:a=t<t1<.<tn-1<tn=阝. 在1，]上由微分中值定理， x,=x(G)-x(t-)=x'(5),5:∈x-1,x, y:=y(t)-y(t)=y'(n)△t,7:∈x-1,x 于是 2PP=立a+a9 前页 返

前页 后页 返回 Δ 1 1 ( ) ( ) ( )Δ , [ , ]. i i i i i i i i y y t y t y t x x = − =  − −    于是 2 2 1 1 1 n n i i i i i i P P x y − = =  =  +  : . T  = t 0  t 1  tn−1  tn =  证 设[ , ]   的任一分割 1 [ , ] , i i t t 在 − 上由微分中值定理 Δ 1 1 ( ) ( ) ( )Δ , [ , ], i i i i i i i i x x t x t x t x x   − − = − =  

-2r+n -2)++ 5)+r产0422+94 由于Vx2()+y()在a,1上连续，从而可积， 因此 传)+J2⑤出=-0+y阳m 前页 返回

前页 后页 返回 2 2 1 ( ) ( )Δ n i i i i x y t   =    +    2 2 1 ( ) ( )Δ . n i i i i x y t   =  − +      2 2 由于 x t y t   ( ) ( ) [ , ] + 在   上连续,从而可积， = =  +   n i i i i x y t 1 2 2 ( ) ( ) =   +   + = n i i i i x y t 1 2 2 ( ) ( ) 因此 2 2 2 2 0 1 lim ( ) ( )Δ ( ) ( ) d . n i i i T i x y t x t y t t     → =      + = + 

由第一章§1习题6可知 Vx2(传)+y(7)-2(5)+y()≤5)-y(n) 又y'(t)在a,B]上连续，从而在[a,β]上一致连续， 因此对任意ε>0，存在6>0，当T<δ时， 5-g2112 于是，2+)-+专u 2ra)-Jt5A<6 前页 后顶 返回

前页 后页 返回 由第一章§1习题6 可知 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 2 2 2 2 i i i i i i x   + y   − x   + y    y   − y   又 y t ( ) [ , ] , [ , ] 在     上连续 从而在 上一致连续, 因此对任意       0, 0, , 存在 当 T 时 ( ) ( ) , 1, 2, , . i i y y i n        −  = − 于是, ( ) 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) Δ n i i i i i i x y x y t     =      + − + 1 ( ) ( )Δ , n i i i i y y t    =  −    

即 肥46+)+4 =0, 从而 o0. 前页 返回

前页 后页 返回 即 ( ) 2 2 2 2 0 1 lim ( ) ( ) ( ) ( ) 0, n i i i i i i i i i T i x y x y t      → =       + − +     =  从而 2 2 1 0 1 lim ( ) ( ) d . n i i T i s P P x t y t t   − → = = = +    

注1若曲线C由直角坐标方程y=f(x),x∈[a,b] 表示，则C亦可看作x=x,y=f(x),x∈[a,b]: 因此当f在[，b]上连续可微时， s=+()dx. 注2若曲线C由极坐标方程r=r(0),0∈a,β]表 示，则C又可看作 x=r(e)cose,y=r(e)sine,ela,B]. 由于 前页 返回

前页 后页 返回 因此当 f 在 [a, b] 上连续可微时, 2 1 ( ) d . b a s f x x = +   示,则 C 又可看作 x r y r = =  ( )cos , ( )sin , [ , ].        注1 若曲线 C 由直角坐标方程 y f x x a b =  ( ), [ , ] 表示,则 C 亦可看作 x x y f x x a b = =  , ( ), [ , ]. 注2 若曲线 C 由极坐标方程 r r =  ( ), [ , ]     表 由于

x'(0)=r'(0)cos0-r(0)sin8, y'(0)=r'(0)sin0+r(0)cos0, x2(0)+y2(0)=r2(0)+r2(0), 若r'(0)在[a,B]上连续，且r(0)与r'(0)不同时为零， 则 s=VFP0+r产(0d0. 前页 返回

前页 后页 返回 ( ) ( ) ( ) ( ), 2 2 2 2 x  + y  = r  + r  若 r r r   ( ) [ , ] , ( ) ( )      在 上连续 且 与 不同时为零, 2 2 s r r ( ) ( )d .   = +      则 y( ) = r( )sin + r( )cos, x r r   ( ) ( )cos ( )sin ,      = −

例1求星形线x=acos3t,y=asin3t,t∈0,2 的周长 x'(t)=-3acos2tsint, y'(t)=3asin2tcost. 因此s=42Vx0+y0d -3acos tsint)+(asin'teost)dr -12sintenstde-12 6a. 2 前页

前页 后页 返回 解 2 x t a t t ( ) 3 cos sin , = − 2 y t a t t ( ) 3 sin cos . = π 2 2 2 0 s x t y t t = + 4 ( ) ( )d   因此  ( ) ( ) π 2 2 2 2 2 0 = − + 4 3 cos sin 3 sin cos d a t t a t t t  π 2 0 = 12 sin cos d a t t t  π 2 2 0 sin 12 2 t =  a = 6a. 例1 3 3 求星形线 x a t y a t t = =  cos , sin , [0,2π] 的周长. x y O a