面向21世纪课程教材 Textbook Series for 21st Century 数学分析 第四版下册 华东师范大学数学系编 静高等教育少肤社
内容提要 本书是普通高等教育“十一五“国家级规划散材。内容包括数项级数、函数列与函数项 级数、幂级数、傅里叶级数、多元函数的极限与连续、多元函数微分学、隐函数定理及其应用、 含参量积分、曲线积分、重积分、曲面积分、向量函数的微分学等。 本次修订认真总结了前三版的编写经验，特别对第三版的内容进行了细致的分析，听取 了部分使用学校的意见，对第三版的部分内容作了适当调整：实数理论基本定理出现的先后 次序作了一些变化：增加了内闭一致收敛的概念，调整了与之有关的内容：适当增加了一些技 巧性要求较高的例题，以方便学生学习。第四版仍然保持了教材前三版“内容选取适当，深 人浅出，易出易教”的特点。 本书可作为高等学校数学类专业的教材使用。 图书在版编目(C亚)数据 数学分析.下册/华东师范大学数学系编。一4版。 北京：高等教育出版社，2010.6 ISBN978-7-04-029567-2 I.①数.Ⅱ.①华.Ⅲ.①数学分析-高等学校 教材V.①017 中国版本图书馆CP数据核字(2010)第067245号 出版发行高等数育出版社 书热线010-58581118 社址北京市西城区德外大街4号 咨询电话 400-810-0598 邮政编码100120 http://www.hep.edu.cn http://www.hep.com.cn 网上订购 http://www.landraco.com 经销蓝色畅想图书发行有限公司 http://www.landraco.com.cn 刷山东湾杰印务集团有限公司 畅想教育 http://www.widedu.com 版 次2001年6月第1版 开 本787×9601/16 2010年6月第4版 印 张24 印 次2010年6月第1次印刷 染 数440000 定 价32.50元 本书如有缺页、倒页、脱页等质量问题，请到所购图书销售部门联系调换。 版权所有侵权必究 物料号29567-00
目 录 第十二章数项级数. §1级数的收敛性 多2正项级数 正项级数收敛性的一般判别原则. 二比式判别法和根式判别法.。 0 三积分判别法，： 14 ·四拉贝判别法. 5 §3一般项级数 交错级数. 18 二绝对收敏级数及其性质. 19 三阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 23 第十三章函数列与函数项级数 28 多1一致收敛性. 28 函数列及其一致收敛性. 28 二函数项级数及其一致收敏性. 33 三函数重级数的一致收敛性判别法： 82 一致收敛函数列与函数项级数的性质.39 第十四章幂级数 &1幂级数 47 幂级数的收敛区间. 47 二幂级数的性质. .51 三幂级数的运算. 53 2 函数的幂级数展开 55 泰勒级数.55 二 初等函数的幂级数展开式： 57 ·83复变量的指数函数·欧拉公式 .64 第十五章，傅里叶级数 67 §1傅里叶级数. -*.67 三角级数·正交函数系 67 以2为周期的函数的傅里叶级数. 69
目录 三收敛定理. .70 §2以21为周期的函数的展开式 以21为周期的函数的傅里叶级数 77 二偶函数与奇函数的傅里叶级数： .79 3收敛定理的证明 84 第十六章多元函数的极限与连续 .92 §1平面点集与多元函数. .g2 平面点集， 2 R2上的完备性定理 .95 三 二元函数. *97 四n元函数 99 82 二元函数的极限 二元函数的极限 101 累次极限 104 3 二元函数的连续性 108 二元函数的连续性概念 二有界闭城上连续函数的性质 110 第十七章多元函数微分学 115 81可微性 可微性与全徽分 115 二偏导数 116 三可微性条件 四可徽性几何意义及应用 20 S2复合函数微分法. 126 一复合质数的求导法则 *·126 二 复合函数的全微分 131 83 方向导数与梯度 133 员4泰勒公式与极值问题 高阶偏导数. .136 中值定理和泰物公式 142 =极值问题 145 第十八章隐函数定理及其应用. 154 1隐函数. 154 隐函数的概念 154 二隐函数存在性条件的分析. 55 三隐函数定理. 15 四隐函数求导举例 .159
目录 员2隐函数组. 隐函数组的概念 163 二 隐函数组定理. 反函数组与坐标变换 . 166 几何应用. .170 平面曲线的切线与法线 170 空间曲线的切线与法平面 171 三曲面的切平面与法线 173 §4条件极值. .176 第十九章含参量积分 185 1 含参量正常积分 185 52 含参量反常积分 192 一致收敛性及其判别法 2 二含参量反常积分的性质 196 §3欧拉积分 .202 函数. .203 二B函数. 205 三「函数与B函数之间的关系 .206 第二十章曲线积分. 20g 1第一型曲线积分. 209 一 第一型曲线积分的定义 209 第一型曲线积分的计算 多2第二型曲线积分. 214 第二型曲线积分的定义 214 第二型曲线积分的计算 216 三 两类曲线积分的联系 .220 第二十一章积分. 223 81 二重积分的概念 223 平面图形的面积. 223 二重积分的定义及其存在性 225 =一面积分的件质 228 82 直角坐标系下二重积分的计算 230 83 格林公式·曲线积分与路线的无关性 4236 格林公式· .236 二 曲线积分与路线的无关性 .240 54 二重积分的变量变换 245 二重积分的变量变换公式 .245
公 且录 二用极坐标计算二重积分 249 85 三重积分 255 三重积分的概念 255 化三重积分为厚次积分 9 三 三重积分换元法 260 ⑧6重积分的应用 .265 曲面的面积.：*** 6的 质心 es 268 三转动惯量. 270 四引力. 272 ·7n重积分 274 ·8反常二重积分. 279 一无界区城上的二量积分 279 无界函数的二量积分 284 ·S9在一般条件下重积分变量变换公式的证明 285 第二十二章 曲面积分 293 §1第一型曲面积分 .293 一第一型曲面积分的概念 293 二第一型曲面积分的计算 293 S2第二型曲面积分 296 一曲面的侧. 296 第二型曲面积分的概念 297 三第二型曲面积分的计算 299 四两类曲面积分的联系 302 83高斯公式与斯托克斯公式 305 高折公式.305 二新托克斯公式 307 ·号4场论初步 场的概念 ,312 二梯度杨. 312 三散度场 .314 四旋度场. 316 五管量场与有势场 . .318 ·第二十三章向量函数微分学 .321 &1n维欧氏空间与向量函数 *321 n维欧氏空间 .321 二 向量函数. .323
录 三向量函数的极限与连续 .324 82向量函数的微分 可徽性与可微条件 .328 可撒函数的性质 .331 三黑赛矩阵与极值.心 .334 83反函数定理和隐函数定理 337 一反函数定理 337 二赡函数定理. 340 三拉格朗日乘数法. 343 习题答寨 .347 帝 引 366 人名索引. 370
第十二章数项级数 ⑧1级数的收敛性 初等数学知识告诉我们，有限个实数山1，“2，“，“，相加，其和一定存在并且 是一个实数，而无限个实数相加会出现什么结果呢？例如，在第二章提到《庄 子·天下篇》“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的例中，把每天截下那一部分的 长度“加”起来： 之+京+宁+.+分+. 这就是“无限个数相加”的一个例子.从直观上可以看到，它的和是1.再如下面 由“无限个数相加”的表达式 1+(-1)+1+（-1)+. 中，如果将它写作 (1-1)+(1-1)+（1-1)+.=0+0+0+., 其结果无疑是0，如写作 1+[(-1)+1]+[(-1)+1]+.1+0+0+0+., 其结果则是1，因此两个结果完全不同.由此提出这样的问题：“无限个数相加” 是否存在“和”；如果存在，“和”等于什么？可见，我们对有限和的认识是无法完 全移植到“无限和”的，需要建立“无限和”自身的理论。 定义1给定一个数列{“.}，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 弘1+2+.+4+. (1) 称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数），其中“，称为数项级数(1)的 通项或一般项。 数项级数()也常写作名“，或筒单写作Σ 数项级数(1)的前n项之和，记为 及=店4=出+%+.+品， (2) 称它为数项级数(1)的第n个部分和，也简称部分和
2 第十二章数项级数 定义2若数项级数(1)的部分和数列{S,}收敛于S(即1imS。=S),则称 数项级数(1)收敛，称S为数项级数(1)的和，记作 S=41+42+.+4.+.或S=∑u, 若{S}是发散数列，则称数项级数(1)发散. 例1讨论等比级数（也称为几何级数） a+ag+ag2+.+aq°+. (3) 的收敛性(a≠0) 解q≠1时，级数(3)的第n个部分和 1-g 因此， 0当111时，=8=哥高兵时复()收敏，兴和为号 (i)当|g>1时，lms=m,级数(3)发散. (i)当9=1时，S=na,级数发散. 当g=-1时，S24=0,S2=a,k=0,1,2,.,级数发散. 总之，|g|<1时，级数(3)收敛；|g|≥1时，级数(3)发散. 例2讨论数项级数 12+23+.+n(n+1万+. (4) 的收敛性。 解级数(4)的第n个部分和 s品2+2++n0+n 1 》+(分》++（侣+动 1n+ 由于 8=1, 因此级数(4)收敛，且 2+2·3+.+n(n+i万+=1. 0 由于级数(1)的收敛或发散（简称敛散性）是由它的部分和数列{S.}来确 定，因而也可把级数(1)作为数列{S.}的另一种表现形式.反之，任给一个数列
多1级数的收敏性 3 {a},如果把它看作某一数项级数的部分和数列，则这个数项级数就是 含.=4+(%-a)+(a-)++a.-t5 这时数列1a,!与级数(5)具有相同的敛散性，且当{a.}收敛时，其极限值就是级 数(5)的和. 基于级数与数列的这种关系，读者不难根据数列极限的性质推出下面有关 级数的一些定理。 定理12,1（级数收敛的柯西准则）级数(1)收敛的充要条件是：任给正数 e,总存在正整数W,使得当m>N以及对任意的正整数P,都有 m+l+um2+.tunpN)和Po,有 uo+1+uo*2+.+up0|≥E0: (7) 由定理12.1立即可得如下推论，它是级数收敛的一个必要条件 推论若级数(1)收敛，则 im“,=0. 当一个级数“，的一般项“，不收敛于零时，由推论可知该级数发散因 此，上述推论常用来判断级数的发散.但推论只是级数收敛的必要条件，不是充 分条件，即当一般项“。→0时，不能得出该级数收敛的结论.请看下例， 例3证明调和级数 1+分++.++ 是发散的 证由 4.==0, 无法用推论推出调和级数发散.但令P=m时，有 |n+a+.+-n++2+.+品 ≥六+六+.+六 1 因此由定理12.1，取。=2，对任何正整数N,只要m>N和p=m就有(7)式成