Advanced mathematics 第七章 高等数学 多元函数积分学 人民邮电出版社
1 第七章 多元函数积分学 第七章 人民邮电出版社 Advanced mathematics 高等数学 多元函数积分学
第七章 内容导航 第一节二重积分的概念、计算和应用 第二节三重积分的概念、计算和应用 第三节对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分 第四节对面积的曲面积分与对坐标的曲面积分 第五节格林公式、高斯公式和斯托克斯公式
2 第七章 多元函数积分学 第七章 内容导航 第二节 三重积分的概念、计算和应用 第三节 对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分 第四节 对面积的曲面积分与对坐标的曲面积分 第一节 二重积分的概念、计算和应用 第五节 格林公式、高斯公式和斯托克斯公式
导读 在学习定积分的时候我们知道，如果函 f() y=f(x) 数y=f(x)在[a,b]上连续且f(x)≥0，那么 对于直线x=a,x=b,x轴以及曲线y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积，可以通过对区间 的任意划分，将曲边梯形分成若干个部分小 的曲边梯形，然后以小矩形来近似替代小的曲 0 -x a X1 X2 Xi Sixit xu1b 边梯形，得到曲边梯形面积的近似值（见图7 1), 图7-1
导 读 3 图 7-1 在学习定积分的时候我们知道，如果函 数 y f x = ( ) 在[ , ] a b 上连续且 f x( ) 0 ， 将曲边梯形分成若干个部分小 的曲边梯形，然后以小矩形来近似替代小的曲 边梯形，得到曲边梯形面积的近似值（见图 7- 1）， 那 么 对于直线 x a x b = = , ，x 轴以及曲线 y f x = ( ) 所围成的曲边梯形的面积，可以通过对区间 的任意划分， y O x a x1 x2 xi i f ( i ) y= f (x) xi+1 xu-1 b
导读 最后，将区间“无限细分”取极限得到曲边梯形面积的精确值 即通过划分、近似、求和、取极限所得结果就是定积分「”f(x)dx的 值（见图7-2）. Sm()Axf()dx y=f(x) P S 图7-2 a bx
导 读 4 最后，将区间“无限细分”取极限得到曲边梯形面积的精确值. 即通过划分、近似、求和、取极限所得结果就是定积分 ( )d b a f x x 的 值（见 图 7-2）. O S y=f (x) a b x y S=lim f ( i xi= b a f (x)dx n i=1 图 7-2 ▲▲▲
导读 作为一元函数的定积分有许多应用但仍有许多问题无法处理 比如，在定积分的应用中，我们计算了旋转体的体积、并作了已知 截面求体积.但对一般形状的物体，用定积分求其体积就显得困难， 因此我们需要用二重积分或三重积分来解决此类问题
导 读 5 作为一元函数的定积分有许多应用，但仍有许多问题无法处理， 比如，在定积分的应用中，我们计算了旋转体的体积、并作了已知 截面求体积.但对一般形状的物体，用定积分求其体积就显得困难. 因此我们需要用二重积分或三重积分来解决此类问题
导读 在学习二重积分的时候，注意和定积分的相关概念之间的区别 与联系.与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的， 它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式 的极限”.所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是 一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的 一个区域.它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来 计算
导 读 6 在学习二重积分的时候，注意和定积分的相关概念之间的区别 与联系. 与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的， 它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式 的极限”. 所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是 一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的 一个区域. 它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来 计算
一、二重积分的概念和性质 第七章多元函数积分学 第一节二重积分的概念、计算及应用 一、 二重积分的概念和性质 二、直角坐标系下二重积分的计算 三、极坐标系下二重积分的计算 四、二重积分的还元法 五、二重积分的应用
7 第七章 多元函数积分学 四、二重积分的还元法 一、二重积分的概念和性质 二、直角坐标系下二重积分的计算 第一节 二重积分的概念、计算及应用 一､二重积分的概念和性质 五、二重积分的应用 三、极坐标系下二重积分的计算
二重积分的概念和性质 第七章多元函数积分学 本节将由曲顶柱体的体积公式引入二重积分的概念，并且研究二重积分的相 关性质， 柱体体积=底面积×高 特点：平顶 z=f(x,y) 曲顶柱体： 以连续曲面z=fx,y)为顶，以该曲面在x0y 面上投影区域D为底的柱体
8 第七章 多元函数积分学 柱体体积=底面积×高 特点：平顶. 一､二重积分的概念和性质 本节将由曲顶柱体的体积公式引入二重积分的概念，并且研究二重积分的相 关性质. 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) D 曲顶柱体: 以连续曲面z=f(x, y)为顶，以该曲面在xoy 面上投影区域D为底的柱体
第七章多元函数积分学 1.曲顶柱体的体积 类似于曲边梯形面积的求法我们采取“分割”、 AZ “近似”、“求和”、“取极限”的步骤来求曲顶柱 z=f(xy) 体的体积 图7-3 (1)分割△D,△D2,.△Dn△g1,△c2,△0m f(xy) (2)近似 任取一点(x,)≈f(x,y)△o (3)求和 ∑f,yWAa i= (4)取极限 ∑f,y)△g
9 第七章 多元函数积分学 1. 曲顶柱体的体积 类似于曲边梯形面积的求法，我们采取“分割”、 “近似”、“求和”、“取极限”的步骤来求曲顶柱 体的体积. D f (xi,yi) z=f (x ,y ) x O y (x i ,y i ) ▲▲▲ 图 7 - 3 (1)分割 (2)近似 (3)求和 (4)取极限
1、曲顶主体的体积 第七章多元函数积分学 上面的问题把所求量归结为和式的极限.由于在物理、力学、几何和工程中 技术中，许多的物理量和几何量都可以用这样的和式的极限来表示，所以有必 要研究这种和式的极限的一般形式，我们从上述从表达式中抽象出下面的二重积 分的定义
10 第七章 多元函数积分学 上面的问题把所求量归结为和式的极限. 1､曲顶主体的体积 所以有必 要研究这种和式的极限的一般形式，我们从上述从表达式中抽象出下面的二重积 分的定义. 由于在物理、力学、几何和工程中 技术中，许多的物理量和几何量都可以用这样的和式的极限来表示