§3一般项级数 由于非正项级数（一般项级数）的收敛性问题 要比正项级数复杂得多，所以本节只对某些特 殊类型级数的收敛性问题进行讨论. 一、交错级数 二、绝对收敛级数及其性质 三、阿贝尔判别法和狄利克香判别法 前 了
前页 后页 返回 §3 一般项级数 三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 返回 由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问题 要比正项级数复杂得多, 所以本节只对某些特 殊类型级数的收敛性问题进行讨论. 一、交错级数 二、绝对收敛级数及其性质
一、交错级数 若级数的各项符号正负相间，即 41-42+43-44+L+(-1)"wn+L (1) (um>0,n=1,2,), 则称为交错级数 定理12.11（莱布尼茨判别法）若交错级数(1)满足： ()数列{wn}单调递减； (ii)limu,=0, n®￥ 则级款()收做
前页 后页 返回 一、交错级数 若级数的各项符号正负相间, 即 则称为交错级数. 定理12.11 (莱布尼茨判别法) 若交错级数(1)满足: 则级数(1)收敛
证考察交错级数()的部分和数列{S),它的奇数项 和偶数项分别为 S2m-1=41-(42-43）-L-(2m-2-42m-1) S2m=(41-2)+(43-u4)+L+(42m-1-42m): 由条件（①，业迷雨式中各个据号内的数都是非负的， 从而数列{S2m}是递减的，而数列{S2m}是递增的. 又由条件()知道 0<S2m-1-S2m=42m®0(m®￥)， 从而{[S2mS2ml}是一个区间套.由区间套定理，存
前页 后页 返回 证 考察交错级数(1)的部分和数列{Sn },它的奇数项 和偶数项分别为 由条件(i), 上述两式中各个括号内的数都是非负的, 从而{ [S2m, S2m-1 ] }是一个区间套.由区间套定理,存
在惟一的实数S,使得 lim S2m=lim S2m=S. m®￥ m®￥ 所以数列{S}收敛，即级数(1)收敛 推纶若级数()满足莱布尼茨判别法的条件，则收做 级散()的余项估外式为 Rn￡un1 前页
前页 后页 返回 推论 若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件, 则收敛 级数(1)的余项估计式为 在惟一的实数 S, 使得
例1判别级数 解：Q a vr c -(1+x) x1。 u,+1, n 又li4,=li =0. 原级数收敛， n®￥ ®￥n-1 前页
前页 后页 返回 解: 原级数收敛
Ex:验证下列级数为莱布尼茨型级数，从而皆收敛 niey号2iram3ir0 n=l n=1 n=1 1↓+}L+(1y11+L (2) 23 n+1 1.1+11 3!5!7! +L+1),1+L;(3) (2n-1)H 1.2+3.4 000诗L-少'0.④ 前顶
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注：莱布尼茨审敛法中，"4，一"的条件不能去掉如 11 11 +L+- +L·(*) V2-1V2+1 n-1 vn+1 其通项4，®0，但不满足条件"4，一"， 于是，部分和子列： 11 V2-1V2+1 n-1o 、{s,n无上界，lims2,不存在，故级数(*)发散 前页
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二、绝对收敛级数及其性质 若级数 u +u,+L +u,+L (5) 各项绝对值组成的级数 4,+42+L+4n+L (6) 收敛，刚称原级数（⑤）为绝对收做级数 定理12.12绝对收敛的级数是收敛的. 证由于级数(6)收敛，根据级数的柯西收敛准则，对 于任意正数e,总存在正数N,使得对n>N和任意正
前页 后页 返回 收敛, 则称原级数(5)为绝对收敛级数. 各项绝对值组成的级数 定理12.12 绝对收敛的级数是收敛的. 证 由于级数(6)收敛,根据级数的柯西收敛准则,对 二、绝对收敛级数及其性质 若级数
整数，有 um+um2+L+umr <e 电于 4m1十n2+L+4mr ￡|lum+4nmr2+L+amr <e 因此由柯西准则知级款（⑤）也收数. 对于级数（⑤）是否绝对收敛，可引用正项级数的各种 判别法对级数(6)进行考察
前页 后页 返回 由于 因此由柯西准则知级数(5)也收敛. 对于级数(5)是否绝对收敛,可引用正项级数的各种 判别法对级数(6)进行考察. 整数 r, 有
(法2)记p,=a+4,b9,=(u-4) \4n=pn-qn,0￡pn￡l4n,0￡qn￡4n Qa<￥bap,<￥且8g.<￥ pa4,-a,-<￥ n=1 推论：当au<￥时， n= ￥ u,的和数、-它的所有正项组成的级数的和数， n= 减去它的所有负项的绝对值组成的级数的和数
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