第五讲叶片式流体机械欧拉方程 Euler Equation of Vane Type Fluid Machinery 1、叶片式流体机械欧拉方程 Euler Equation of Vane Type Fluid Machinery 2、理论扬程（水头） Theory head 3、第二欧拉方程 The second Euler Equation 4、反作用度（反击度） Reaction ratio 5、有限叶片数对能量转换的影响 Slip effects 2008-5-1
2008-5-1 1 第五讲 叶片式流体机械欧拉方程 叶片式流体机械欧拉方程 Euler Equation of Vane Type Fluid Machinery Euler Equation of Vane Type Fluid Machinery 1、叶片式流体机械 、叶片式流体机械欧拉方程 Euler Equation of Vane Type Fluid Machinery Euler Equation of Vane Type Fluid Machinery 2、理论扬程（水头） 理论扬程（水头） Theory head Theory head 3、第二欧拉方程 、第二欧拉方程 The second Euler Equation The second Euler Equation 4、反作用度（反击度） 反作用度（反击度） Reaction ratio Reaction ratio 5、有限叶片数对能量转换的影响 有限叶片数对能量转换的影响 Slip effects Slip effects
1、叶片式流体机械欧拉方程 Euler Equation of Vane Type Fluid Machinery ■动量矩定律： 控制体雨的单位时间动量矩的增量+单住时间 肉从控制体表面流出的动量矩三作用在孩控制 体的外力矩7%。Moment conservation) 2008-51 2
2008-5-1 2 1、叶片式流体机械欧拉方程 、叶片式流体机械欧拉方程 Euler Equation of Vane Type Fluid Machinery Euler Equation of Vane Type Fluid Machinery 动量矩定律： 控制体内的单位时间动量矩的增量＋单位时间 内从控制体表面流出的动量矩＝作用在该控制 体的外力矩M。(Moment conservation)
1、叶片式流体机械欧拉方程 Euler Equation of Vane Type Fluid Machinery 取一控制体如图：轴对称旋转体1-2(Fixed control volume) ■控制体内单位时间动量矩增量（考虑到定常流）： △L=0 ■单位时间内从控制体表面流出的动量矩： L=p∫rC-p∫C. 7=-p0Ca7,-C) For turbine? 2008-5-1
2008-5-1 3 1、叶片式流体机械欧拉方程 、叶片式流体机械欧拉方程 Euler Equation of Vane Type Fluid Machinery Euler Equation of Vane Type Fluid Machinery 取一控制体如图：轴对称旋转体 取一控制体如图：轴对称旋转体1-2 (Fixed control volume) (Fixed control volume) 控制体内单位时间动量矩增量（考虑到定常流）： 控制体内单位时间动量矩增量（考虑到定常流）： 单位时间内从控制体表面流出的动量矩： 1 ∆L = 0 2 1 1 2 2 2 2' 1 1' ( ) L u u u u ρ ρ rC dq rC dq ρQ C r C r − − ∆ = − = − − ∫ ∫ For turbine?
1、叶片式流体机械欧拉方程（续一） Euler Equation of Vane Type Fluid Machinery 力矩： 控制体表面力(force on surface)的力矩（水压力轴对称，表面切 应力很小不计)：M,=0 重力(gravity)的力矩：M2=0 叶片对流体的作用力矩(acting force from blades))的力矩： -工作机：M,= -原动机： N M, th ⊙ 2008-5-1
2008-5-1 4 1、叶片式流体机械欧拉方程（续一） 、叶片式流体机械欧拉方程（续一） Euler Equation of Vane Type Fluid Machinery Euler Equation of Vane Type Fluid Machinery 力矩： •控制体表面力 (force on surface) (force on surface)的力矩（水压力轴对称，表面切 的力矩（水压力轴对称，表面切 应力很小不计）： 应力很小不计）： •重力 (gravity) (gravity)的力矩： •叶片对流体的作用力矩 叶片对流体的作用力矩(acting force from blades) (acting force from blades)的力矩： –工作机： –原动机： M1 = 0 M2 = 0 ω ρ ω M N gQHth 3 = − = − ω ρ ω th N gQH M 3 = =
1、叶片式流体机械欧拉方程（续一） Euler Equation of Vane Type Fluid Machinery 由动量矩定理得： PQ(Cai-C2)=±P8On五 基本方程（第一欧拉方程）为： (Euler Equation) (水轮机取正，水泵取负) C-C25=±8Hh 2008-5-1 5
2008-5-1 5 1、叶片式流体机械欧拉方程（续一） 、叶片式流体机械欧拉方程（续一） Euler Equation of Vane Type Fluid Machinery Euler Equation of Vane Type Fluid Machinery 由动量矩定理得： 由动量矩定理得： 基本方程（第一欧拉方程）为 基本方程（第一欧拉方程）为： （Euler Equation Euler Equation） （水轮机取正，水泵取负） （水轮机取正，水泵取负） 1 1 2 2 ( ) th u u gQH Q C r C r ρ ρ ω − = ± 1 1 2 2 th u u gH C r C r ω − = ±
1、叶片式流体机械欧拉方程（续二） Euler Equation of Vane Type Fluid Machinery 基本方程的其他形式： ±gHh=C,U1-C2U2 主8-G-r） 2元 或（对通风机械） ±为-C-C-2-) 2008-5-1 6
2008-5-1 6 1、叶片式流体机械欧拉方程（续二） 、叶片式流体机械欧拉方程（续二） Euler Equation of Vane Type Fluid Machinery Euler Equation of Vane Type Fluid Machinery 基本方程的其他形式： 基本方程的其他形式： 或（对通风机械） 或（对通风机械） ： th u1 1 u2 2 ±gH = − C U C U ( ) 2 ± = Γ1 − Γ2 π ω gHth ： 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) 2 th u u p C U C U ω ρ π ± = − = Γ − Γ
2、理论扬程（水头） Theory head (假设无泄漏的条件下) -流体的能量： Nr=PgOH qePur -由轴输出（水轮机）或输入（水泵）的能量： N=PgOH=4ePuFth 一水力效率 N 水轮机（原动机）：= Ho= P Fth N H P N H 水泵（工作机）： P Fth -理论水头或扬程（水轮机取正、水泵取负）》 Hi=H(m) 2008-5-1 7
2008-5-1 7 2、理论扬程（水头） 、理论扬程（水头） Theory head Theory head （假设无泄漏的条件下） （假设无泄漏的条件下） –流体的能量： –由轴输出（水轮机）或输入（水泵）的能量： 由轴输出（水轮机）或输入（水泵）的能量： –水力效率 •水轮机（原动机）： 水轮机（原动机）： •水泵（工作机）： 水泵（工作机）： –理论水头或扬程（水轮机取正、水泵取负） 理论水头或扬程（水轮机取正、水泵取负） N g f QH c tF = = ρ q p N gQHth c tFth = = ρ q p tF th tFth f h p p H H N N η = = = tFth tF th f h p p H H N N η = = = 1 ( )± Hth = H ηh
讨论 讨论： (1)叶片式流体机械的基本方程（欧拉方程），实质是能量平 衡问题。即在不考虑损失的情况下，每单位重量的流体从叶 片所获得的能量或者传递给叶片的能量。 (2) 流体流经叶片，若获得能量（工作机），速度矩增加：若 减少能量（原动机），速度矩减少。若h三0，即外力矩皰 M=0,表明没有叶片作用，此时流体的速度矩保持常数。因 此基本方程建立了流体能量和运动参数之间的关系。 (3)由基本方程可见，动叶片与流体交换的能量，与叶片进出 品速度觀男兔2沉亮漫家 为离心流动，2>r1;原动多为问心流动，r1> 2。对于轴流式机组，r1=2,能量的转换取决于周向速度的 增减。 2008-5-1 8
2008-5-1 8 讨论 讨论： （1）叶片式流体机械的基本方程（欧拉方程），实质是能量平 衡问题。即在不考虑损失的情况下，每单位重量的流体从叶 片所获得的能量或者传递给叶片的能量。 （2）流体流经叶片，若获得能量（工作机），速度矩增加；若 减少能量（原动机），速度矩减少。若Hth=0,即外力矩 M=0，表明没有叶片作用，此时流体的速度矩保持常数。因 此基本方程建立了流体能量和运动参数之间的关系。 （3）由基本方程可见，动叶片与流体交换的能量，与叶片进出 口速度矩的差值及角速度有关。所以对于径流或混流式机 组，工作机多为离心流动, r2 >r1; 原动机多为向心流动， r1> r2。对于轴流式机组， r1= r2，能量的转换取决于周向速度的 增减
3、第二欧拉方程 The second Euler Equation 利用速度三角形的关系： w2 =U2+C2-2UC cosa=U2+C2-2UC, UC.-C+U-W) 得第二欧拉方程： H。=S-C+-+-2) 2g 2g 2008-5-1 9
2008-5-1 9 3、第二欧拉方程 、第二欧拉方程 The second Euler Equation The second Euler Equation 利用速度三角形的关系： 利用速度三角形的关系： 得第二欧拉方程： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 1 ( ) 2 u u W U C UC U C UC UC C U W = + − α = + − = + − Cu G UG C G W G Cm G α β 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 ( ) 2 2 2 th C C U U W W H g g g − − − = ± + +
3、第二欧拉方程 The second Euler Equation H。=S-C,-L+形- 2g2g 2g 该式表明理论扬程包含两部分： (1)动水头(+)或动扬程(-)：(Dynamic head) l,=4G-G (2)静水头(+)或静扬程(-)：(Potential head) H,=-U+- 2g 2g 2008-5-1 10
2008-5-1 10 3、第二欧拉方程 、第二欧拉方程 The second Euler Equation The second Euler Equation 2 2 2 2 2 2 C C− − U U W −W 该式表明理论扬程包含两部分： 该式表明理论扬程包含两部分： （1）动水头（+）或动扬程（-）：(Dynamic head) (Dynamic head) （2）静水头（+）或静扬程（-）：(Potential head) (Potential head) ) 2 2 ( 2 1 2 2 2 2 2 1 g W W g U U H p − + − = ± 1 2 1 2 2 1 ( ) 2 2 2 Hth g g g = ± + + 2 2 1 2 ( ) 2 V C C H g− = ±