材料力学一学习指导及习题答案第一章绪论1-1图示圆截面杆，两端承受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴线且大小均为M的力偶作用。试问在杆件的任一横截面m-m上存在何种内力分量，并确定其大小。mMM推MM解：从横截面m-m将杆切开，横截面上存在沿轴线的内力偶矩分量Mx，即扭矩，其大小等于M。1-2如图所示，在杆件的斜截面m-m上，任一点A处的应力p=120MPa，其方位角0=20°，试求该点处的正应力α与切应力T。60解：应力p与斜截面m-m的法线的夹角a=10°，故g=pcosα=120Xcos10°=118.2MPaT=psin a=120X sin10°=20.8MPa1-3图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面项边各点处的正应力均为αmax=100MPa，底边各点处的正应力均为零。试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其大小。图中之C点为截面形心
材料力学-学习指导及习题答案 第 一 章 绪论 1-1 图示圆截面杆，两端承受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴线且大小均为 M 的力偶作用。 试问在杆件的任一横截面 m-m 上存在何种内力分量，并确定其大小。 解：从横截面 m-m 将杆切开，横截面上存在沿轴线的内力偶矩分量 Mx，即扭矩，其大小等 于 M。 1-2 如图所示，在杆件的斜截面 m-m 上，任一点 A 处的应力 p=120 MPa，其方位角θ=20°， 试求该点处的正应力σ与切应力τ。 解：应力 p 与斜截面 m-m 的法线的夹角α=10°，故 σ＝pcosα=120×cos10°=118.2MPa τ＝psinα=120×sin10°=20.8MPa 1-3 图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的正应力 均为σmax=100 MPa，底边各点处的正应力均为零。试问杆件横截面上存在何种内力分量， 并确定其大小。图中之 C 点为截面形心
40X100解：将横截面上的正应力向截面形心C简化，得一合力和一合力偶，其力即为轴力FN=100X10°×0.04X0.1/2=200X10°N=200kN其力偶即为弯矩M=200×(50-33.33)X10=3.33kN·m1-4板件的变形如图中虚线所示。试求棱边AB与AD的平均正应变及A点处直角BAD的切应变。yC10.2DI0.24DC100B'+01LtxAB10.1100解AB-AB/100.13 + 0.12-100=0.001EABAB100AB'-AB100.1-100或EAB=0.001100ABAD'-AD100.2-100=0.002BADAD1000.20.19.97×10-4YEAD=-ZD'AD+ZB'ABs100.2100.1
解：将横截面上的正应力向截面形心 C 简化，得一合力和一合力偶，其力即为轴力 FN=100×106×0.04×0.1/2=200×103 N =200 kN 其力偶即为弯矩 Mz=200×(50-33.33)×10-3 =3.33 kN·m 1-4 板件的变形如图中虚线所示。试求棱边 AB 与 AD 的平均正应变及 A 点处直角 BAD 的切 应变。 解 ：
第二章轴向拉压应力2-1试计算图示各杆的轴力，并指出其最大值。RFFF4-十1-CABABC(a)(b)3RN2RN2RN3KNIKN2RN1TCBACDBA(c)(d)解：(a)FNAB-F,FNBC=O,FN.max=FFN,max=F(b) FNAB=F,FNBC=-F,(c) FNAB=—2 kN,FN2BC-1 kN,FNCD=3 kN,FN, max=3 kNFN, max=1 kN(d) FNAB=1 kN,FNBC=-1 kN,2-2图示阶梯形截面杆AC，承受轴向载荷F=200kN与F2-100kN，AB段的直径di=40mm。如欲使BC与AB段的正应力相同，试求BC段的直径。F2MABCFmFFn2Fi+F,即元d元d元di元d4444由此求得dz=49.0mm解：因BC与AB段的正应力相同，故FaFimFF+F即元起元a元Q元d4444由此求得dz=49.0mm
第 二 章 轴向拉压应力 2-1 试计算图示各杆的轴力，并指出其最大值。 解：(a) FNAB=F, FNBC=0, FN，max=F (b) FNAB=F, FNBC=－F, FN，max=F (c) FNAB=－2 kN, FN2BC=1 kN, FNCD=3 kN, FN，max=3 kN (d) FNAB=1 kN, FNBC=－1 kN, FN，max=1 kN 2-2 图示阶梯形截面杆 AC，承受轴向载荷 F1=200 kN 与 F2=100 kN，AB 段的直径 d1=40 mm。 如欲使 BC 与 AB 段的正应力相同，试求 BC 段的直径。 解：因 BC 与 AB 段的正应力相同，故
2-3图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500mm2，载荷F=50kN。试求图示斜截面m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。mFF740m解：F横截面上的应力T:=100MPa斜截面上的正应力.=cos?α=100×cos 500=41.3MPaa斜截面上的切应力sin2α=50×sin100°=49.2MPaT.2杆内的最大正应力Cmax==100MPaa杆内的最大切应力=50MPaTaax22一4（2-11）图示桁架，由圆截面杆1与杆2组成，并在节点A承受载荷F=80kN作用。杆1、杆2的直径分别为d=30mm和dz=20mm，两杆的材料相同，屈服极限=320MPa，安全因数ns=2.0。试校核桁架的强度。Fn1 sin 30°= Fna sin 4508Famcos30°+Fincos45°=F解：由A点的平衡方程Fn sin30°=Fm sin45°Fin cos30° + Fm cos45°-F可求得1、2两杆的轴力分别为Fm = 58.564 kN,Fm= 41.411kN[0] -= -160 MPa 杆的许用应力n,Fa1 =82.9 MPa<[α]两杆的应力C:AFrm22=131.8 MPa<[0]d2A由此可见，桁架满足强度条件
2-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积 A=500 mm2，载荷 F=50 kN。试求图示斜截面 m-m 上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。 解： 2－4（2-11） 图示桁架，由圆截面杆 1 与杆 2 组成，并在节点 A 承受载荷 F=80kN 作用。 杆 1、杆 2 的直径分别为 d1=30mm 和 d2=20mm，两杆的材料相同，屈服极限σs=320MPa， 安全因数 ns=2.0。试校核桁架的强度。 解：由 A 点的平衡方程 可求得 1、2 两杆的轴力分别为 由此可见，桁架满足强度条件
2一5（2-14）图示桁架，承受载荷F作用。试计算该载荷的许B用值[F]。设各杆的横截面面积均为A，许用应力均为[]。4T平件解由C点的衡条：EF,=0,Fm sin 45°=FMFn=2F(拉)EF,=0,Fm=Fmcos45°=F(压)452A由B点的平衡条件FEF,=0,Fn =Fm cos45°=F(压)1杆轴力为最V2FFa=≤[q]AAV2[0]A得[F] -2大，由其强度条件2一6（2-17）图示圆截面杆件，承受轴向拉力F作用。设拉杆的直径为d，端部墩头的直径为D，高度为h，试从强度方面考虑，建立三者间的合理比值。已知许用应力[o]=120MPa，许用切应力[]=90MPa，许用挤压应力[bs]=240MPa。hAdtDF=[q]TF元d3- []元dh(2)(1)由切应力强度条件4解：由正应力强度条件由挤压强度条件F=[0bs]Cbs =元(D2-α)D=/15=1.2254(3)式(1)：式(3)得d式(1)：式(2)得h1= 0.333d-3故D:h:d=1.225:0.333:1
2－5（2-14） 图示桁架，承受载荷 F 作用。试计算该载荷的许 用值[F]。设各杆的横截面面积均为 A，许用应力均为[σ]。 解 ： 由 C 点 的 平 衡 条 件 由 B 点的平衡条件 1 杆轴力为最 大，由其强度条件 2－6（2-17） 图示圆截面杆件,承受轴向拉力 F 作用。设拉杆的直径为 d，端部墩头的直径 为 D，高度为 h，试从强度方面考虑，建立三者间的合理比值。已知许用应力[σ]=120MPa， 许用切应力[τ]=90MPa，许用挤压应力[σbs]=240MPa。 解：由正应力强度条件 由切应力强度条件 由挤压强度条件 式 (1) ： 式 (3) 得 式 (1) ： 式 (2) 得 故 D：h：d=1.225：0.333：1
2-7（2-18）图示摇臂，承受载荷Fi与F2作用。试确定轴销B的直径d。已知载荷Fi=50kN，F2=35.4kN，许用切应力[]=100MPa，许用挤压应力[bs]=240MPa。D-DF1解：摇臂ABC受FI、F2及B点支座反力FB三力作用，根据三力平衡汇交定理知FB的方向ZMc=0,F40/2=F40F = 35.36 kN如图（b）所示。由平衡条件由切应力强度条件EF2≤[t]得d≥15.0mmT=元d?A4由挤压强度条件F=≤[α］得d≥14.7mmC"0.01d故轴销B的直径d=15.0mm第三章轴向拉压变形
2－7（2-18）图示摇臂，承受载荷 F1与 F2作用。试确定轴销 B 的直径 d。已知载荷 F1=50kN， F2=35.4kN，许用切应力[τ]=100MPa，许用挤压应力[σbs]=240MPa。 解：摇臂 ABC 受 F1、F2及 B 点支座反力 FB三力作用，根据三力平衡汇交定理知 FB的方向 如图（b）所示。由平衡条件 由切应力强度条件 由挤压强度条件 故轴销 B 的直径 第 三 章 轴向拉压变形
3-1图示硬铝试样，厚度8=2mm，试验段板宽b=20mm，标距[=70mm。在轴向拉F=6kN的作用下，测得试验段伸长△/=0.15mm，板宽缩短△b=0.014mm。试计算硬铝的弹性模量E与泊松比μ。试验段标距！7b4b2rb=0.327F1FI47eA1 =XE=70GPa1EAA.A解：由胡克定律3-2(3-5)图示架，在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为e,=4.0×104与ε2=2.0×104。试确定载荷F及其方位角0之值。已知杆1与杆2的横截面面积Ai=A2=200mm2，弹性模量Ei=E2=200GPa。4解：杆1与杆2的轴力（拉力）分别为F=E,e,A,=16kN,F=E,,A=8kN由A点的平衡条件(1)F,=0,Fsin=Fnsin30°-Frmsin300ZF, =0, Fcos8=Fnn cos30°+Fn cos300(2)(1)2+(2)2并开根，便得F=Fm+Fim+2FimFim(cos300-sin30°)=21.2kN式(1)：式(2)得Fon sin 300-Fin sin 300tang=Funco 30 + Pm cos 30 = 0.1925, = 10.90
3-1 图示硬铝试样，厚度δ=2mm，试验段板宽 b=20mm，标距 l=70mm。在轴向拉 F=6kN 的作用下，测得试验段伸长Δl=0.15mm，板宽缩短Δb=0.014mm。试计算硬铝的弹性模量 E 与泊松比μ。 解：由胡克定律 3-2(3-5) 图示桁架，在节点A处承受载荷F 作用。从试验中测得杆1与杆 2的纵向正应变分别为ε1=4.0 ×10-4 与ε2=2.0×10-4。试确定载荷 F 及其方位角θ之值。已知杆 1 与杆 2 的横截面面积 A1=A2=200mm2，弹性模量 E1=E2=200GPa。 解：杆 1 与杆 2 的轴力（拉力）分别为 由 A 点的平衡条件 (1)2+(2)2并开根，便得 式(1)：式(2)得
3-3(3-6）图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。试计算板的轴向变形。已知板的厚度为8，长为1，左、右端的宽度分别为bl与b2，弹性模量为E。206Ax解：FIFdxFdxA1 =EA(x)b2(b2-b1x+blE8(b2-b)InOE.Tb1J3-43-11）图示刚性横梁AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即产生单位轴向变形所需之力）为k，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。5O解：设钢丝绳的拉力为T，则由横梁AB的平衡条件ZM=0, Ta+T(α+b)=F(2a+b)T=FFAl =k由图（b）可以看出，C点铅垂位移为△1/3，D点铅垂位移为2△1/3，钢丝绳伸长量FAByk_3-5(3-12）试计算图示桁架节点A的水平与铅垂位移。则B点铅垂位移为△1,即设各杆各截面的拉压刚度均为EA
3-3(3-6) 图示变宽度平板，承受轴向载荷 F 作用。试计算板的轴向变形。已知板的厚度为δ， 长为 l，左、右端的宽度分别为 b1与 b2，弹性模量为 E。 解： 3-4(3-11) 图示刚性横梁 AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即 产生单位轴向变形所需之力）为 k，试求当载荷 F 作用时端点 B 的铅垂位移。 解：设钢丝绳的拉力为 T，则由横梁 AB 的平衡条件 钢丝绳伸长量 由图（b）可以看出，C 点铅垂位移为Δl/3，D 点铅垂位移为 2Δl/3， 则 B 点铅垂位移为Δl，即 3-5(3-12) 试计算图示桁架节点 A 的水平与铅垂位移。 设各杆各截面的拉压刚度均为 EA
C3CF(b)(a)各杆轴力及伸长缩短量)分别为解：C(a)Fn4 = -~/2 FFm = Fn2 =F, Fns =0,F（伸长)，2F1(缩短）A14A, = N ==0,EAEA因为3杆不变形，故A点水平位移为零，铅垂位移等于B点铅垂位移加2杆的伸长量，即AAx = 0FI4 = B, + Al, = 2(1 + /2),(山)EA(b)各杆轴力及伸长分别为Fn2 =0Fn=F,FIA, :A,= 0EAA点的水平与铅垂位移分别为（注意AC杆轴力虽然为零，但对A位移有约束)FIF1)AAx =A, :AAy =AlEAEA3-6(3-14）图a所示桁架，材料的应力-应变关系可用方程α"=Bε表示（图b），其中n和B为由实验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。设各杆的横截面面积均为A。an-Bec(a)(b)
解 ： (a) 各 杆 轴 力 及 伸 长 （ 缩 短 量 ） 分 别 为 因为 3 杆不变形，故 A 点水平位移 为 零 ， 铅 垂 位 移 等 于 B 点 铅 垂 位 移 加 2 杆 的 伸 长 量 ， 即 (b) 各 杆 轴 力 及 伸 长 分 别 为 A 点的水平与铅垂位移分别为(注意 AC 杆轴力虽然为零，但对 A 位移 有约束) 3-6(3-14) 图 a 所示桁架，材料的应力-应变关系可用方程σn=Bε表示（图 b）， 其中 n 和 B 为由实验测定的已知常数。试求节点 C 的铅垂位移。设各杆的横截面 面积均为 A。 (a) (b)
FFN2cosa解：2根杆的轴力都为2根杆的伸长量都为FF"!o"广2 coso.Al =I8=1BBA2"A"Bcos"α则节点C的铅垂位移F"1A(l)Ac2"ABcos"αcosα3-7(3-16）图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在梁的中点C承受集中载荷F作用。试计算该点的水平与铅垂位移。已知载荷F=20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm2，弹性模量E=200GPa，梁长/=1000mm。45CBD1/21/23FFn2 = 0Fn = Fs =2'F1N2=0A = /3=2EA'解：各杆轴力及变形分别为梁BD作刚体平动，其上B、C、FI=0.5mmAc=Acy= l=2EAD三点位移相等3-8(3-17）图示桁架，在节点B和C作用一对大小相等、方向相反的载荷F。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点B和C间的相对位移4BIC
解：2 根杆的轴力都为 2 根杆的伸长量都为 则节点 C 的铅垂位移 3-7(3-16) 图示结构，梁 BD 为刚体，杆 1、杆 2 与杆 3 的横截面面积与材料均相同。在梁的 中点 C 承受集中载荷 F 作用。试计算该点的水平与铅垂位移。已知载荷 F=20kN，各杆的横 截面面积均为 A=100mm2，弹性模量 E=200GPa，梁长 l=1000mm。 解：各杆轴力及变形分别为 梁 BD 作刚体平动，其上 B、C、 D 三点位移相等 3-8(3-17) 图示桁架，在节点 B 和 C 作用一对大小相等、方向相反的载荷 F。设各杆各截面的拉压刚度均为 EA，试计算 节点 B 和 C 间的相对位移ΔB/C