第四章线性方程组 1.填空题 (1)设任意一个n维向量都是下列齐次线性方程组的解向量 a+++=0 az+azx++az=0 an1+and2+.+axn=0 则RA)= (2)若非齐次线性方程组Ax=b有解，则它有唯一解的充要条件是 (3)设矩阵 「12-2] A=413 3-11 B为三阶非零矩阵，且AB=0,则1= (4)设n元非齐次方程组r=b有解，其中A为(n+1)×n矩阵，则 A=A指的是A的列再加上列向量b构成的n+1阶矩阵的行列式) (5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为m1,则方程组 Ax=0的通解为」 2.选择题 (1)设A为n阶方阵，若RA)=m-2,则AK=0的基础解系所含向量的个数 是 (@)0个(b1个(c)2个(dn个 (2)设A为n阶方阵，且R4)=m-1,a,a2是r=0的两个不同的解向量， 则Ar=0的通解为 (a)ka:(b)ka:(c)k(a-az):(d)k(a+a). (③)已知月，月，是非齐次线性方程组=b的两个不同的解，a,&是对 应的齐次线性方程组杯=0的基础解系k,k为任意常数，则方程A红=b的通 解必是 (aka+k(a,+a)+(B-B)/2
第四章 线性方程组 1. 填空题 （1）设任意一个 n 维向量都是下列齐次线性方程组的解向量 . 0 . . 0 . 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 则 R(A) =_. （2） 若非齐次线性方程组 Ax b 有解，则它有唯一解的充要条件是 _. （3） 设矩阵 3 1 1 4 3 1 2 2 A t , B 为三阶非零矩阵，且 AB =0 ，则 t =_. （4） 设 n 元非齐次方程组 Ax b 有解，其中 A 为 (n 1) n 矩阵，则 A b _( A b 指的是 A 的列再加上列向量b 构成的 n +1 阶矩阵的行列式). （5） 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 A 的秩为 n-1，则方程组 Ax 0的通解为_. 2. 选择题 (1) 设 A 为 n 阶方阵，若 R(A)=n-2 ，则 Ax 0的基础解系所含向量的个数 是_. (a) 0 个 (b)1 个 (c)2 个 (d)n 个 (2) 设 A 为 n 阶方阵，且 R(A)=n-1, 1 2 , 是 Ax 0的两个不同的解向量， 则 Ax 0的通解为_. (a) 1 k ； (b) 2 k ； (c) ( ) 1 2 k ； (d) ( ) 1 2 k . (3) 已知 1 2 , 是非齐次线性方程组 Ax b 的两个不同的解， 1 2 , 是对 应的齐次线性方程组 Ax 0 的基础解系 1 2 k , k 为任意常数，则方程 Ax b 的通 解必是_. (a) ( ) ( )/ 2 11 2 1 2 1 2 k k
()ka+k,(a-a2)+(B+B)/2 (C)ka,+k(B+B)+(B-B)/2 (dka,+k(B-B)+(B+B)/2 (4)若方程ax-+ax-2+.+an-x+an=0有n个互不相等的实根，则必 有 (q）a,a,an,a。全为零 ()a,4a-1,an不全为零 (ga,a,an,an全不为零 (da,4,a-l,an为任意常数 (⑤)设A为n阶奇异方阵，A中有一元素a的代数余子式A不为零，则齐 次线性方程组Ax=0的基础解系中有向量个数为 (ai个：(b)j个： (c)1个：(d0n个. 2.证明与计算 (1)如果齐次线性方程组Ar=0的解均为另一齐次线性方程组B=0的解， 试证明R(4)≥R(B). (2)设线性方程组 ax1+a2x2+.n+anx。=b az+ax2+.+aznx=b2 (1) ax+anx2+.+amx=b 4x+A2x3++Anx。=G (Ⅱ) An+An2++4m=Cm 其中，4，为a,在行列式4=a,中的代数余子式， b=1,23n,ci=1,2,3,nm） 不全为零，试证明方程(】)有唯一解的充要条件是方程组（Ⅱ）有唯一解。 (3)设A为n阶实矩阵，证明R(4)=RA). (4)设线性方程组为
(b) ( ) ( )/ 2 11 2 1 2 1 2 k k (c) ( ) ( )/ 2 11 2 1 2 1 2 k k (d) ( ) ( )/ 2 11 2 1 2 1 2 k k (4) 若方程 . 0 1 2 2 1 1 n n n n a x a x a x a 有 n 个互不相等的实根，则必 有_. (a) n n a , a ,., a , a 1 2 1 全为零 (b) n n a , a ,., a , a 1 2 1 不全为零 (c) n n a , a ,., a , a 1 2 1 全不为零 (d) n n a , a ,., a , a 1 2 1 为任意常数 (5) 设 A 为 n 阶奇异方阵，A 中有一元素 ij a 的代数余子式 Aij 不为零，则齐 次线性方程组 A x 0 * 的基础解系中有向量个数为_. (a)i 个； (b) j 个； (c)1 个； (d)n 个. 2. 证明与计算 (1) 如果齐次线性方程组 Ax 0的解均为另一齐次线性方程组 Bx 0的解， 试证明 R(A) R(B). (2) 设线性方程组 n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b . . . . 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 （Ⅰ） n n nn n n n n n n A x A x A x c A x A x A x c A x A x A x c . . . . 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 （Ⅱ） 其中, Aij 为 ij a 在行列式 ij A a 中的代数余子式， b (i 1,2,3,., n),c (i 1,2,3,., n) i i 不全为零，试证明方程（Ⅰ）有唯一解的充要条件是方程组（Ⅱ）有唯一解. （3） 设 A 为 n 阶实矩阵，证明 R(A)=R( / A A). （4） 设线性方程组为
x+2+2x+3x=1 x1+3x2+6x3+x4=3 3x-x2-k+15x4=3 x-5x2-10x3+12x4=k 问k,k各取何值，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？有无穷多解时，求 其一般解 (5)已知下列非齐次线性方程组(*)，(*》 x+x2-2x4=-6 4x-2-x=1 (*) 3x1-x2-x3=3 名+m2-X3-x4=-5 2-x3-2x4=-11 (**) x3-2x4=-1+1 (a)求解方程组(*)，用其导出组的基础解系，表示通解； (b)当方程组(*)中参数m,n,1为何值时，方程组(*)与(*)同解
1 2 3 4 2 1 2 1 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 10 12 3 15 3 3 6 3 2 3 1 x x x x k x x k x x x x x x x x x x 问 1 2 k , k 各取何值，方程组无解?有唯一解?有无穷多解?有无穷多解时，求 其一般解. （5） 已知下列非齐次线性方程组（*）,（**） 3 3 4 1 2 6 1 2 3 1 2 3 4 1 2 4 x x x x x x x x x x （*） 2 1 2 11 5 3 4 2 3 4 1 2 3 4 x x t nx x x x mx x x （**） （a）求解方程组（*），用其导出组的基础解系，表示通解； （b）当方程组（**）中参数 m , n , t 为何值时，方程组（*）与（**）同解
答案与提示 1.填空题 (1)R(A)=0: (2)仅有零解： (3)t=-3:(4)0: 1) 1 (5)k 1 2.选择题 (1)(c):(2)(c):(3)6):(4(a):(⑤)(c). 3.证明与计算 (1)证显然A,B的列数相同，设为n.又设R4=,RB)=S,则Ar=0的 基础解系含有n-r个解向量，Bx=0的基础解系中含有n-s个解向量.因Ar=0的 解均为Br=0的解，所以n-r≤m-s,即r2s，故 R(A)zR(B). (2)证方程组(I)有唯一解的充要条件是 4=.≠0 方程组（Ⅱ）有唯一解的充要条件是 .≠0 因为 B、4A.4414.n =(Ay= LAAn.Am」 AnA2.An」 A'==4r 所以
答案与提示 1．填空题 （1）R(A)=0； （2）仅有零解； （3）t=-3 ； （4）0 ； （5）k 1 . . .1 1 2．选择题 (1) (c)； (2)(c)； (3)(b)； (4)(a)； (5)(c). 3. 证明与计算 （1）证 显然 A , B 的列数相同，设为 n .又设 R(A)=r, R(B)=s，则 Ax 0 的 基础解系含有 n-r 个解向量，Bx 0 的基础解系中含有 n-s 个解向量.因 Ax 0 的 解均为 Bx 0 的解，所以 n–r n-s, 即 r s ，故 R(A) R(B). （2）证 方程组（Ⅰ）有唯一解的充要条件是 0 . . . . . 1 11 1 n nn n a a a a A 方程组（Ⅱ）有唯一解的充要条件是 0 . . . . . 1 11 1 n nn n A A A A B 因为 / 1 2 11 12 1 * / 1 2 11 12 1 . . . . . . ( ) . . . . . . n n nn n n n nn n A A A A A A A A A A A A A B 而 1 * 1 , * A A A A A A 所以
B(Y=(4Y-. 即=4故命题成立 (3)只须证Ar=0与A4x=0同解即可。 设5是Ar=0的解，则A5=0.于是A5=A0=0,故5是AA=0的解. 设n是AA=0的解，即AAn=0,7AAn=0=0,(A(A)=0于是 An=0,即n是A=0的解，从而Ax=0与AAx=0同解. (4)对增广矩阵施行初等行变换化阶梯形 「1120-k2-41 [112311 7= 13613 0120-(k2+8) 3-1-153P002-片0-) 1-5-1012kJ 0001-(k,+2) 可见，当k=2且k≠1时：R(0=3.而R(A)=4,此时方程组无解： 当k≠2时R(A)=RA)F4此时方程组有唯一解： 当k=2且k=1时，R(A尸R(A=3<4此时方程组有无穷多解，通解为 x3 (5)设方程组(*)的系数矩阵A增广矩阵A, [110-2-6][100-1-2 A=4-1-1-11→010-1-4 3-1-103001-2-5 由于R(AFR(A)=3<4,故方程组有无穷多解，其通解为 11「-21 -4 x=k 2-5 将x代入方程组(*)中分别得m=2,n=4,1=6,即当m=2,n=4,1=6时，方程
1 / / 1 / * ( ) B A A A A A , / 1 1 n B A A A 即 1 n B A 故命题成立. （3）只须证 Ax 0 与 0 / A Ax 同解即可。 设 是 Ax 0的解，则 A 0 .于是 0 0 / / A A A , 故 是 0 / A Ax 的解. 设 是 0 / A Ax 的解，即 0 / A A ， 0 0 / / / A A ， ( ) ( ) 0 / A A 于是 A 0，即 是 Ax 0的解，从而 Ax 0 与 0 / A Ax 同解. （4） 对增广矩阵施行初等行变换化阶梯形 0 0 0 1 ( 2) 0 0 2 0 (1 ) 0 1 2 0 ( 8) 1 1 2 0 4 1 5 10 12 3 1 15 3 1 3 6 1 3 1 1 2 3 1 2 1 3 2 2 3 1 2 1 3 2 2 1 _ k k k k k k k A 可见，当 2 k1 且 1 k2 时；R(A)=3,而 R( _A )=4，此时方程组无解； 当 2 k1 时 R(A)=R( _A )=4 此时方程组有唯一解； 当 2 k1 且 1 k2 时，R(A)=R( _A )=3<4 此时方程组有无穷多解，通解为 2 0 3 8 0 1 2 0 4 3 2 1 k x x x x . （5） 设方程组（*）的系数矩阵 A1增广矩阵 _ A1 ， 0 0 1 2 5 0 1 0 1 4 1 0 0 1 2 3 1 1 0 3 4 1 1 1 1 1 1 0 2 6 _ A1 由于 R( _ A1 )=R( _ A1 )=3<4，故方程组有无穷多解，其通解为 0 5 4 2 1 2 1 1 x k 将 x 代入方程组（**）中分别得 m =2, n =4, t =6，即当 m =2, n =4, t =6 时，方程
组(*)的解全部是(*)的解.这时，方程组(*)化为 x+2x2-x-X=-5 4x-x3-2x4=-11 -2x=-5 解得 「-2 r- - 1 从而(*)与(*)同解
组（*）的解全部是（**）的解.这时，方程组（**）化为 2 5 4 2 11 2 5 3 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x 解得 0 5 4 2 1 2 1 1 x k 从而（*）与（**）同解