《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）第四章 线性方程组 4-1 线性方程组的解的判别

第四章线性方程组 Ch4 线性方程组 §4.1线性方程组的解的判别 §4.2齐次线性方程组解的结构 ●§4.3非齐次线性方程组解的结构

第四章 线性方程组 Ch4 线性方程组 §4.2 齐次线性方程组解的结构 §4.1 线性方程组的解的判别 §4.3 非齐次线性方程组解的结构

第四章线性方程组 §4.1线性方程组的解的判别 >一、线性方程组的表示形式 。二、线性方程组的解的判别 三、小结

第四章 线性方程组 §4.1 线性方程组的解的判别 一、线性方程组的表示形式 二、线性方程组的解的判别 三、小结

第四章线性方程组 、 线性方程组的表示形式 n元线性方程组 011火1+412X2+.+01mXn=b1 021X1+422X2+.+2nXn=b2 (4-1) amix+am22++amnx=bm 记 41 42 42n b 1 ,A- z n A= x= b= o

第四章 线性方程组 n 元线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (4 1) n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                       11 12 1 11 12 1 1 21 22 2 21 22 2 2 1 2 1 2 , n n n n m m mn m m mn m a a a a a a b a a a a a a b A A a a a a a a b                                  记一、线性方程组的表示形式 1 1 2 2 , . n m x b x b x b x b                    

第四章线性方程组 非齐次方程组可以用矩阵形式表示 Ax=b (4-2) 若a,表示其第j个未知量的系数构成的m维列 向量，表示常数项组成的向量，即 4 b uj C= j=1,2,n B= 方程组(4-1)的向量形式为 1C1+x202+.+xn0n=B (4-3)

第四章 线性方程组 Ax = b 非齐次方程组可以用矩阵形式表示 方程组(4-1)的向量形式为 x11  x2 2  xn n   若 αj表示其第 j 个未知量的系数构成的m维列 向量，β表示常数项组成的向量,即      mj j j j a a a 2 1         mb b b 2 1  (4-3) (4-2)

第四章线性方程组 由第二章知，方程组(4-1)与增广矩阵具有一一 对应 对方程组进行初等变换，就相当于对其增广 矩阵进行初等行变换 线性方程组解有下面三种情况之一：有唯一 解、有无穷多解或无解

第四章 线性方程组 由第二章知, 方程组(4-1)与增广矩阵具有一一 对应. 线性方程组解有下面三种情况之一：有唯一 解、有无穷多解或无解 . 对方程组进行初等变换，就相当于对其增广 矩阵进行初等行变换

第四章线性方程组 二、线性方程组解的判别 定理4.1.1线性方程组(4-1)有解的充分必要条件是 它的系数矩阵4与增广矩阵有相同的秩，即R()=R(). 证对于一般线性方程组(4-1)，设 w 2 b W 2 01= ,02= ,“,0n= ,B= m2」 mn」 b

第四章 线性方程组 二、线性方程组解的判别 4.1.1 (4 1) A A , R(A) R(A).   线性方程组 有解的充分必要条件是 它的系数矩阵 与增广矩阵 有相同的秩 即 定理 证 对于一般线性方程组(4-1), 设 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 , , , , n n n m m mn m a a a b a a a b a a a b                                                           

第四章线性方程组 则线性方程组(4-1)可写为 1C1+x2C2+.+xnan=B(4-3) 并且 A=[aa,.an] A=[aa.an] 必要性 若方程组有解，则(4-3)知B可由a,a2,an线性 表示，于是向量组a1,c2,an与向量组C,2,Cn,月 等价.由性质2.3.1知秩{a1,a2,an}=秩{ag1,C2,an,] 所以R(A)=R(A):

第四章 线性方程组 则线性方程组(4-1)可写为 1 1 2 2 (4 3) n n x   x     x     1 2 1 2 n n A A                  并且 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (4 3) , , , , , , , , , , . 2.3.1 , , , , , , ( ) ( ). n n n n n R A R A                          若方程组有解，则由 知 可由 线性 表示，于是向量组 与向量组 等价由性质 知秩{ }=秩{ , }, 所以 必要性

第四章线性方程组 充分性 若R(A)=R(A), 则向量组%，a2,an与向量组a,2, .,an,有相同的秩，所以向量组a,%,a,的最大无关 组一定是%，4，0an,的最大无关组，因此B可由向量组 a,02,n线性表示.由(4-3)知方程组(4-1)有解 推论1当R(A)≠R(A)时，方程组(4-1)无解. 推论2如果方程组(4-1)有解，则它有惟一解的 充分必要条件是R(A)=R(A)=n

第四章 线性方程组 充分性 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) , , , , , , , , , , , , , , , , . (4 3) (4 1) . n n n n n R A R A                           若 ，则向量组 与向量组 有相同的秩，所以向量组 的最大无关 组一定是 , 的最大无关组，因此 可由向量组 线性表示由 知方程组 有解 推论1 当R(A)  R(A)时，方程组(4  1)无解. (4 1) ( ) ( ) . 2 R A R A n    如果方程组 有解，则它有惟一解的 充分必要条件是 推论

第四章线性方程组 推论2证明充分性 若方程组(4-1)有解，由(4-3)式可知B可由向 量组C1,2,an线性表示.又R4)=n,故向量组 a1,2,a线性无关，由定理2.3.2知，B可由向量 组a1,2,n线性表示且表示式唯一，即方程组 (4-1)有唯一解

第四章 线性方程组 推论2证明 充分性 若方程组(4-1)有解,由(4-3)式可知β可由向 (4-1)有唯一解. 量组α1 ,α2 ,.,αn线性表示. 又R(A)=n,故向量组 α1 ,α2 ,.,αn线性无关,由定理2.3.2知, β可由向量 组α1 ,α2 ,.,αn线性表示且表示式唯一, 即方程组

第四章线性方程组 必要性反证.假设R(4A)=R(①=r<,不妨设A的前r列 线性无关，对A作初等行变换化为行最简形，其对应的方 程组为 =d -cir+r+.-Cinxm =d2-Cr+r+.-c2nXm (4-4) x =dr-Cr+xr+.-Cmxn 若给定x+,xm一组确定的数，由(4-4)式可得方程 组(4-1)的一组解，当x+1,xn取两组不同的数时，便得 到方程组(4-1)的两组不同的解，这与方程组(4-1)由唯 的解矛盾，故r=n

第四章 线性方程组 必要性 反证. 假设R(A)=R(Ā)=r<n,不妨设A的前r列 线性无关, 对Ā作初等行变换化为行最简形, 其对应的方 程组为 若给定xr+1 ,., xn一组确定的数, 由(4-4)式可得方程 组(4-1)的一组解, 当xr+1 ,.,xn取两组不同的数时, 便得 到方程组(4-1)的两组不同的解, 这与方程组(4-1)由唯一 的解矛盾, 故 r = n. (4-4)                       r r rr r rn n r r n n r r n n x d c x c x x d c x c x x d c x c x 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1