十二五”普通高等教育本科国家级规划教材 线性代数 学习指导 (第二版) 孟昭为赵文玲 孙锦萍徐峰张永凤 主编 曾里斜学女发社
第二版前言 本书是《线性代数（第三版）》（孟昭为等，科学出版社）的配套辅导教材.书中设 有基本要求、内容提要、典型例题解析、习题选解等板块，每章后有自测题，对教材 中选编的全国硕士研究生入学考试线性代数试题作了详细的分析与解答 作为教材的完善和补充，本书对教材的内容进行归纳总结，对典型例题给出一 种或多种求解分析，并对教材中大部分习题给出详细的解答.相信会对教师教学和 学生深入学习提供指导。 本书被列入“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材，并再次出版得到科 学出版社，山东理工大学的领导和教师们的大力支持与帮助，在此深表感谢. 参加本书编写的有孟昭为、赵文玲、孙锦萍、徐峰、张永凤等.朱训芝、张超也参 加了再版工作 编者 2015年6月
目 录 第二版前言 第1章行列式.1 第2章矩阵与向量.35 第3章矩阵的运算.69 第4章线性方程组.110 第5章相似矩阵与二次型.139 第6章线性空间与线性变换. .199 全国硕士研究生入学考试线性代数试题解.219 部分自测题参考答案.242
第1章行列式 一、基本要求 (1)理解行列式的定义，熟悉元素的余子式、代数余子式的含义. (2)熟练掌握行列式的性质和行列式按行（列）展开定理，掌握利用行列式的 性质和定理计算低阶和高阶行列式的方法， (3)掌握应用克拉默(Cramer)法则求解线性方程组， 二、内容提要 1.概念 1)行列式的概念 n阶行列式 aua2a am a2.am 的定义有两种方式 定义1.1n=2时，定义二阶行列式 D:= an anz =a1a2-a12a21, a21a2 假设n一1阶行列式已经定义，则定义n阶行列式 a1a42.a1n a21a2.a2n D=:: (-1)aM an an?.aw -. 其中M,是元素a,的余子式，Ay=(一1)1+M,为元素ay(=1,2,.,n)的代数 余子式
·2 线性代数学习指导 定义1.2n阶行列式可表示为如下形式 aaa1n D.= anan = 其中pp.p,为自然数1,2，.，n的一个排列，∑表示对n个自然数1,2.， n所有排列之和. 定义1.2和定义1.1等价.定义1.1是采用归纳定义，用低阶行列式表示高阶 行列式，展示了行列式计算的思维方法.定义1.2说明n阶行列式是n!项的代数 和，每一项是位于不同行、不同列的”个元素的乘积，若行标按从小到大的标准次 序排列，列标为偶排列时，该项前面取正号：列标为奇排列时，该项前面取负号. 2)余子式、代数余子式的概念 定义1.3把n阶行列式中元素a,所在的第i行和第j列元素删去后留下的 n一1阶行列式称为元素a,的余子式，记为M,即 M,=a-.a-la-m.an a4+i1.a+1y1a+i+1.a+1w al.aay.a 并称 A=(-1)'*M, 为元素a,的代数余子式 2.行列式的性质 性质1.1行列式D与它的转置行列式D'相等，即D=D 性质1.2互换行列式两行（列）的元素，行列式变号 性质1.3行列式中某一行（列）的所有元素都乘以同一个数k,等于用数k乘 以此行列式，即 a12 d1 a1a12 kaa k an ae ae
第1章行列式 ·3· 性质1.4若行列式中某一行（列）的元素a,都可分解为两元素b,与c,之和， 即a,=b,十c,()=1,2,.,n,1≤i≤n),则该行列式可分解为相应的两个行列式 之和，即 a b1+c1ba+c2.b。+ca a2。 a1a2.a1nana12.an =b1ba.bn+cc2.cn alae.am ada.a 性质1.5把行列式任一行（列）的各元素同乘以一个常数k加到另一行（列） 对应的元素上，行列式的值不变，即 an an a11 a12 a十anaa+a.am十a an a a d 3.定理 利用行列式的定义1.1和行列式的性质可得到n阶行列式按任一行（列）展开 的定理 定理L.1n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式 的乘积之和，即 D=aA1十aaA+.+aAn=∑a4AtG=1,2,0） D=aAy+A++aA=AG=12,m 定理1.2行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子
·4 线性代数学习指导 式乘积之和等于零，即 aA+aAa++aA=2aAa=0G≠j=12.m 或 aAy十aA++aA=2aA=0i≠j=1,2m 综合定理1.1和定理1.2，对于代数余子式有如下重要结论： 月Au=n 或 Au-Do 其中 1,i=j=12. m=0,i≠j 4.几个特殊行列式 (1)上三角行列式 |ana2.am 0a2z.a2m 00.am (2)下三角行列式 |am0. a21a22. an dre.am (3)对角形行列式 a0. 0a2. =a1a22.am 0 0
第1章行列式 ·5· (4)n阶范德蒙德(Vandermonde)行列式(n≥2) 11.1 x1x2. x V.= . Ⅱ(x,-x) x1.x (5) an .a 0. 0 . a 0 . a1.ab.b . an a bn.bm cl.cb.b 5.行列式的计算 行列式的计算是本章的重点，常用的方法有以下几种： (1)利用行列式的性质将行列式某一行（列）只保留一个非零元素，其余元素 化为零，然后按该行（列）展开，通过降阶计算行列式的值。 (2)利用行列式的性质将行列式化为上（下）三角行列式，其结果为对角线上 元素的连乘积 (3)把行列式拆成几个行列式之和，再降阶求行列式的值， (4)找递推公式.对于n阶行列式D。,若不能直接利用行列式的性质求出行 列式的值，可建立D,与D,(i<n)的关系式，再由这个关系式解出所求的行列式 D. (5)升阶法（加边法）.通过增加行列式D,的一行和一列后，对高一阶行列式 借助某种特殊的行列式求解. (6)数学归纳法. 6.克拉默法则 对于含有？个未知量”个方程的线性方程组 ax1十a1g2十.+a1xn=h, anx1十a2x十.十a2xm=b ax十a2x十.十anxm=bn 若其系数行列式D≠0，则该线性方程组有唯一解
6 线性代数学习指导 -D (G=1,2,.,n) 其中D,是把系数行列式D中第j列元素用常数项b1,b2,.,b代替后所得到的n 阶行列式，即 a.a-ba+.a D,= au.a2y-1bhag+l.a2 al.any-ba an+H.am 若线性方程组的常数项b1=2=.=b.=0,即 [a1x1+a12x+.+a1xw=0, a1x1十a2x2十.十a2xw=0, 年年年年 a1x1+am2x2+.十amx。=0, 称该线性方程组为齐次线性方程组，若系数行列式D≠0，则齐次线性方程组仅有 零解 x1=x2=.=x=0, 因此齐次线性方程组有非零解的充要条件是该方程组的系数行列式为零，即D=Q,. 三、典型例题解析 例1证明在一个n阶行列式中，如果等于零的元素个数大于2一n,那么这 个行列式等于零. 证因为n阶行列式中共有n2个元素，若等于零的个数大于n2一n,则不等于 零的元素的个数小于n,因此行列式中至少有一行元素全为零，则该”阶行列式 为零 例2写出四阶行列式中所有带负号且包含因子aa的项 解四阶行列式中所有包含aa的项 (-1)h3hh'ain axsasn ain, 其中p,pp,取1,2,4三个数中的一个，即p,3p1p,的可能排法有6种：1324， 1342,2314,2341,4321,4312,且x(1324)=1,x(2341)=3,x(4312)=5为奇排列. 故四阶行列式中所有带负号且包含因子a的项为 -ananasau. -andzanae. 例3设行列式 130 40 D 2222 0-700 53-22
第1章行列式 7 求行列式第4行各元素余子式之和M1十Me十M十M:. 分析这是考察基本概念的题目，知道余子式的概念就不难写出M,M2, M:,M,的值.从而求出其和，另一方面也可利用行列式展开定理来解决 解解法一 040 340 Mn= 222=-56,M2=222=0, -700 000 1300 304 M=222=42,M:=222=-14 0-70 0-70 所以 M1+M2+Mg+M:=-28. 解法二由于 2-1rM,=2A=D, 所以构造4阶行列式 3040 H- 2222 0-700 -11-11 H的前3行与行列式D的前3行相同，因此H的第4行各元素的余子式与D的 第4行各元素的余子式相同.所求H的第4行元素的余子式之和即为D的第4行 元素的余子式之和.按H的第4行展开，得 H=-An+A2-Au+Au =(-1)(-1)M:+(-1)2M2+(-1)(-1)+Mg+(-1)HM Ma +Mi +Mus +Mu. 而 340 H=7222=-28. -1-11 所以M1+M2+M:+M.=-28