第四章线性方程组 线性方程组的理论是线性代数中的重要内容之一，它是解决很多实际间题的有力工 具，在工程技术，经济活动分析以及许多科学技术领域中都有广泛的应用，本章将讨论 的方程组比第一章利用克莱姆法则求解的方程组更具有一般性，即方程的个数与未知数 的个数不一定相等；即使它们相等，方程组的系数行列式也不一定不等于零 §4.1线性方程组解的判别 对于n元线性方程组 aux taxz+.+tax=b Q2+azx2++a2mxm=b2 (4-1) 利用矩阵的乘法，可以把(41)表示为 Ax=b. (4-2) 其中 [aa2. A= . am a2.am 「b b= b 而(41)的增广矩阵 4= a21az.a2mb2 Lam1am2.dan b 由第二章的讨论可知，方程组(41)与增广矩阵一一对应，若A经过有限次初等行变换变 为
第四章 线性方程组 线性方程组的理论是线性代数中的重要内容之一，它是解决很多实际问题的有力工 具，在工程技术，经济活动分析以及许多科学技术领域中都有广泛的应用.本章将讨论 的方程组比第一章利用克莱姆法则求解的方程组更具有一般性，即方程的个数与未知数 的个数不一定相等；即使它们相等，方程组的系数行列式也不一定不等于零. §4.1 线性方程组解的判别 对于 n 元线性方程组 . , , 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 m m nn n m m nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b (4-1) 利用矩阵的乘法，可以把(4-1)表示为 Ax b . (4-2) 其中 m m mn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 n x x x x 2 1 , mb b b b 2 1 . 而(4-1)的增广矩阵 m m mn m n n a a a b a a a b a a a b A 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 由第二章的讨论可知，方程组(4-1)与增广矩阵一一对应.若 A 经过有限次初等行变换变 为
[au a.anb A= b . A对应的方程组 au+azx2+.+aix=b a21x+a2n3+.+anx,=b am+am+.+am=b 与方程组(4)同解，因此求解方程组的问题就可以转化为矩阵的初等行变换问题. 由第二章第一节知，方程组(41)的向量形式为 x a+xa+.+xa=B 其中，表示其第j个未知量的系数构成的m维列向量，即 「a, 「b (j=1,2,.,n2B= Lb」 方程组(4-)是否有解的问题就转化为向量B是否可由向量a,C1,a2,an线性表示.由 于B是否可由向量，a1,02,an线性表示共有三种情况，因此，线性方程组(41)的解 可能会出现三种情况：有唯一解、有无穷多解或无解.有下面结论 定理1线性方程组(4-1)有解的充分必要条件是它的系数矩阵A与增广矩阵A有相 同的秩，即R(A)=R(A) 证对于一般线性方程组(4-1)，设 b a,= a b. 则线性方程组(41)与
A1 = ' ' ' 2 ' 1 '2 '2 '22 '21 '1 '1 '12 '11m m mn m n n a a a b a a a b a a a b . A1 对应的方程组 ' ' 2 ' 1 2 ' 1 '2 ' 2 2 ' 1 22 '21 '1 ' 2 1 ' 1 12 '11 m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 与方程组(4-1)同解，因此求解方程组的问题就可以转化为矩阵的初等行变换问题. 由第二章第一节知，方程组(4-1)的向量形式为 x11 x2 2 xn n 其中， j 表示其第 j 个未知量的系数构成的m 维列向量，即 j j j j a a a 3 2 1 ( j 1,2,,n ), 3 2 1 b b b . 方程组(4-1)是否有解的问题就转化为向量 是否可由向量 n , , , 1 2 线性表示.由 于 是否可由向量 n , , , 1 2 线性表示共有三种情况，因此，线性方程组(4-1)的解 可能会出现三种情况：有唯一解、有无穷多解或无解.有下面结论. 定理 1 线性方程组(4-1)有解的充分必要条件是它的系数矩阵 A 与增广矩阵 A有相 同的秩，即 R(A) R(A) . 证 对于一般线性方程组（4-1），设 1 21 11 1 m a a a ， 2 22 12 2 m a a a ，. mn n n n a a a 2 1 , mb b b 2 1 则线性方程组(4-1)与
X a+xa2+.+xa=B (4-3) 等价.并且 A=a1a2.a], A=a14.a。 必要性若方程组有解，则由(4-3)式知B可由a,a2,an线性表示，于是向量 组41，a2,a。与向量组41，a2a。,B等价.由第二章第3节性质1知 秩{a1,a2,an}=秩a1,a2,an,B} 所以R(A)=R(④. 充分性若R(4)=R(),则向量组a,2,an与向量组a,42,n,B有相同的 秩，又向量组a,a,a,可由向量组a,a,a,B线性表示，所以向量组a,a,a 的最大无关组一定是向量组a,☑2，a,B的最大无关组，因此B可由向量组 a,a2,an线性表示.由(4-3)式知，方程组(4-1)有解. 推论1R(4)≠R(充分必要条件是方程组(4)无解 推论2如果方程组(41)有解，则它有唯一解的充分必要条件是 R(A)=R(A)=n. 证充分性若方程组(4-1)有解，由(4-3)式可知B可由a,a2,an线性表示.又 R(4)=n,故a,a2an线性无关，由第二章第3节定理2知B由a,a2,an线性 表示的表示式唯一，即方程组(41)有唯一解. 必要性若方程组有解，假设R()=R(A)=r<n,对A作初等行变换化为行最 简形后对应的同解方程组为
x11 x2 2 xn n (4-3) 等价.并且 A 1 2 n ， A 1 2 n . 必要性 若方程组有解，则由（4-3）式知 可由 n , , , 1 2 线性表示，于是向量 组 n , , , 1 2 与向量组1 , 2 ,, an , 等价.由第二章 第 3 节性质 1 知 秩 n , , , 1 2 =秩1 , 2 ,, n , ， 所以 R(A) R(A) . 充分性 若 R(A) R(A) ,则向量组 n , ,, 1 2 与向量组1 , 2 ,, n , 有相同的 秩，又向量组 n , ,, 1 2 可由向量组1 , 2 ,, n , 线性表示，所以向量组 n , ,, 1 2 的最大无关组一定是向量组 1 , 2 ,, n , 的最大无关组，因此 可由向量组 n , ,, 1 2 线性表示.由（4-3）式知，方程组(4-1)有解. 推论 1 R(A) R(A) 充分必要条件是方程组(4-1)无解. 推论 2 如果方程组(4-1)有解，则它有唯一解的充分必要条件是 R(A) R(A) n . 证 充分性 若方程组(4-1)有解，由(4-3)式可知 可由 n , 1， 2， 线性表示.又 R(A) n，故 n , 1， 2， 线性无关，由第二章第 3 节定理 2 知 由 n , 1， 2， 线性 表示的表示式唯一，即方程组(4-1)有唯一解. 必要性 若方程组有解，假设 R(A) R(A) r n ，对 A 作初等行变换化为行最 简形后对应的同解方程组为
=d -cirel -.-CInx X2 =d-c2r-.-C2nX。 (4-4) X,=d,-.-Cmx 若给定x,1,x。一组确定的数，由(44)式可得方程组(41)的一组解，当x1,xn取 两组不同的数时，便得到方程组(4-1)的两组不同的解，这与方程组(4-)由唯一的解矛盾， 故r=n. 例1判断方程组 x1-2x2+3x,-x4=1 3x,-x2+5x-3x4=2 2x1+x2+2x3-2x4=3 是否有解】 解对方程组的增广矩阵A施行初等行变换， [0-23-115-3[-23-11] a3-15-32、05-40-1 212-235-2斯05-401 「1-23-111 5-505-40-1 ~00002 可见R(4)=2,R(=3,由定理知方程组无解 例2非齐次线性方程组 [-2x1+x2+x3=-2 x1-2x,+X:=2 (x+x2-2x=28 当元取何值时有解？并求出它的全部解. 解对增广矩阵进行初等行变换 -211-2]
r r rr rn n r n n r n n x d c c x x d c c x x d c c x 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 (4-4) 若给定 r n x ,, x 1 一组确定的数，由(4-4)式可得方程组(4-1)的一组解，当 r n x , , x 1 取 两组不同的数时，便得到方程组(4-1)的两组不同的解，这与方程组(4-1)由唯一的解矛盾， 故r n . 例 1 判断方程组 2 2 2 3 3 5 3 2, 2 3 1, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 是否有解. 解 对方程组的增广矩阵 A施行初等行变换， 2 1 2 2 3 3 1 5 3 2 1 2 3 1 1 A 3 1 2 1 2~ 3 r r r r 0 5 4 0 1 0 5 4 0 1 1 2 3 1 1 ~ 3 2 r r 0 0 0 0 2 0 5 4 0 1 1 2 3 1 1 可见 R(A) 2 , R(A) 3,由定理知方程组无解. 例 2 非齐次线性方程组 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 , 2 2, x x x x x x x x x 当 取何值时有解？并求出它的全部解. 解 对增广矩阵进行初等行变换. 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 A ~ 1 3 r r 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2
5-111-221 0-331-2 5+2503-1-2+22~000-2+1+8 当-2+元+2=0，即1=-2时，(4)=R(④=2，方程组有解. 当1=1时， 11-25x(10-1 A、0-330~ 01-10 0000片-50000 与原方程组同解的方程组为 x-x3=1 x2-x3=0. 即 =+1 X2=X3 因此，当几=1时，原方程组的全部解可表示为 其中k是任意数.容易看出 分别是此方程组对应的齐次方程组的一个非零解与它的一个解 当元=-2时， [11-2415x(-10-12] A~0-33-601-12 0000」5-50000 与原方程组同解的方程组为
3 1 2 1 r 2r r r ~ 2 2 2 0 3 1 2 2 0 3 3 1 1 2 ~ 3 2 r r 2 2 2 0 0 0 2 0 3 3 1 1 2 ， 当 2 0 2 ，即 2 时， R(A) R(A) 2 ,方程组有解. 当 =1 时， 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 3 1 0 0 0 0 0 3 3 0 1 1 2 1 1 2 2 r r r A ~ ( ) ~ 与原方程组同解的方程组为 0. 1, 2 3 1 3 x x x x 即 2 3. 1 3 1 x x x x 因此,当 1时，原方程组的全部解可表示为 0 0 1 1 1 1 1 3 2 1 k k k k x x x ， 其中 k 是任意数.容易看出 0 0 1 , 1 1 1 分别是此方程组对应的齐次方程组的一个非零解与它的一个解. 当 2时， 0 0 0 0 0 1 1 2 1 0 1 2 - 3 1 0 0 0 0 0 3 3 6 1 1 2 4 1 2 2 r r r A ~ ( ) ~ 与原方程组同解的方程组为
x1-x3=2, (53-x3-2 即 x1=x3+2 x2=x.+2 因此，当=2时，原方程组的全部解可表示为 其中k是任意数.容易看出 [ 是此方程组的一个解，而 是此方程组所对应的齐次方程组 [-2x1+x2+x3=0, x1-2x,+x1=0 x+x2-2x=0 的一个非零解
2. 2, 2 3 1 3 x x x x 即 2 2 2 3. 1 3 x x x x 因此，当 =2 时，原方程组的全部解可表示为 2 0 0 1 1 1 2 3 2 1 k k k k x x x ， 其中 k 是任意数.容易看出 2 0 0 是此方程组的一个解,而 1 1 1 是此方程组所对应的齐次方程组 2 0 2 0, 2 0, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 的一个非零解