《线性代数》课程电子教案（C）第二章 矩阵与向量 2-1 消元法与矩阵的初等变换

第2-1课 教学课型：理论课☑实验课口习题课口 实践课口技能课口其它口 主要教学内容（注明：*重点#难点）： 线性方程组得同解，矩阵的初等变换、阶梯形、行最简形、标 准形，矩阵等价 重点： 矩阵的初等变换，矩阵等价与方程组同解」 难点： 矩阵的初等变换，矩阵等价与方程组同解。 教学目的要求： (1)熟悉矩阵的初等变换： (2)会把矩阵化成阶梯形、行最简形、标准形：· (3)理解矩阵等价与方程组同解的关系 教学方法和教学手段 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 第54页第1题(1)(2). 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教有出版社

第 2-1 课 教学课型：理论课  实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 线性方程组得同解，矩阵的初等变换、阶梯形、行最简形、标 准形，矩阵等价. 重点： 矩阵的初等变换，矩阵等价与方程组同解. 难点： 矩阵的初等变换，矩阵等价与方程组同解. 教学目的要求： （1）熟悉矩阵的初等变换； （2）会把矩阵化成阶梯形、行最简形、标准形；. （3）理解矩阵等价与方程组同解的关系. 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 第 54 页第 1 题（1）（2）. 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社

2.1消元法与矩阵的初等变换 中学里，同学们学习过线性方程组的求解。大家回想一下：当时我们是用 什么方法来求解方程组的？ 我们是利用消元法（包括代入消元法、加减消元法）来求解线性方程组的。 大家是否思考过：我们求解线性方程组的主要思想是什么？是消掉未知量， 让未知量的个数减少，对吧？ 例如，二元一次方程组，可以通过消元法，消掉一个未知量，就可以求出 另一个未知量的值，将其代入原方程组，就可以求出所消掉的未知量的值，因此， 方程组所有未知量就求出来了，即方程组也就解出来了。 如果线性方程组所含未知量的个数很多时，用消元法来求解方程组就显得 很麻烦。对未知量个数比较多的线性方程组怎样来求解呢？ 大家思考一下，求解方程组的宗旨是什么？我们在求解方程组的过程中， 对方程组每进行一次变形，所得到新的方程组与原来方程组是否是同解的？ 那么，有哪些变换能将一个线性方程组化为与其同解的方程组？ 1.方程组中某一个方程的两边同乘以一个非零的数，其它方程不动： 2.某一个方程的两边同乘以一个数加到另一个方程上，其它方程不动： 除了这两种变换外，还是否有其它变换？大家想一下：如果把方程组中， 某两个方程交换一下位置，所得的方程组与原方程组是否同解呢？很显然是同解 的. 以上三种变换都可以将线性方程组变为与其同解的方程组，我们将这三种 变换称为线性方程组的初等变换。即： 下面三种变换称为线性方程组的初等变换： 1.交换方程组中某两个方程的位置； 2.某一个方程的两边同乘以一个非零的数： 3.某一个方程的两边同乘以一个数加到另一个方程上 我们在对线性方程组进行初等变换时，每进行一次变换，只有方程组的系 数与常数项发生变化，我们设想一下：如果把方程组的系数与常数项的位置固定， 把“+”、“=”隐裁，则下面一般形式的方程组

2.1 消元法与矩阵的初等变换 中学里，同学们学习过线性方程组的求解。大家回想一下：当时我们是用 什么方法来求解方程组的？ 我们是利用消元法（包括代入消元法、加减消元法）来求解线性方程组的。 大家是否思考过：我们求解线性方程组的主要思想是什么？是消掉未知量， 让未知量的个数减少，对吧？ 例如，二元一次方程组，可以通过消元法，消掉一个未知量，就可以求出 另一个未知量的值，将其代入原方程组，就可以求出所消掉的未知量的值，因此， 方程组所有未知量就求出来了，即方程组也就解出来了。 如果线性方程组所含未知量的个数很多时，用消元法来求解方程组就显得 很麻烦。对未知量个数比较多的线性方程组怎样来求解呢？ 大家思考一下，求解方程组的宗旨是什么？我们在求解方程组的过程中， 对方程组每进行一次变形，所得到新的方程组与原来方程组是否是同解的？ 那么，有哪些变换能将一个线性方程组化为与其同解的方程组？ 1.方程组中某一个方程的两边同乘以一个非零的数，其它方程不动； 2.某一个方程的两边同乘以一个数加到另一个方程上，其它方程不动； 除了这两种变换外，还是否有其它变换？大家想一下：如果把方程组中， 某两个方程交换一下位置，所得的方程组与原方程组是否同解呢？很显然是同解 的. 以上三种变换都可以将线性方程组变为与其同解的方程组,我们将这三种 变换称为线性方程组的初等变换。即： 下面三种变换称为线性方程组的初等变换： 1.交换方程组中某两个方程的位置； 2.某一个方程的两边同乘以一个非零的数； 3.某一个方程的两边同乘以一个数加到另一个方程上. 我们在对线性方程组进行初等变换时，每进行一次变换，只有方程组的系 数与常数项发生变化，我们设想一下：如果把方程组的系数与常数项的位置固定， 把“+”、“=”隐藏，则下面一般形式的方程组

a+a2x2+.+ax=b, a2+a22x2+.+aznxn=b2 am+amx2+.+amn xn=ba 就变成 a21a2.a2mb2 amam2.am bu 这就是由元素构成的一个表格，这种形式的表格，就称为炬阵 下面给出矩阵的定义 定义1：由m×n个数a,=12,mj=1,2,m)排成的m行n列的数表 aa12.aum A=a1a2.an (2-1) dm dm2.amJ 叫做m行n列矩阵，简称m×n矩阵.这m×n个数叫做矩阵A的元素，ag叫 做矩阵A的第1行第j列元素.元素是实数的矩阵称实矩阵，元素是复数的矩阵 称复矩阵 本书中的矩阵除特别说明外，都指实阵.(2-1)式也简记为A=(a)mm或 A=(a)m×n矩阵A也记做Anm·当m=n时，A称为n阶方阵. 例如，一般n元线性方程组 a1x1+a1z2+.+a1nm=b, a21+a222+.+a2mxm=b2, (2-2) am+am2x2+.+aamxn=bm 的未知量的系数可以用矩阵A=(a,)mm来表示，此时称A为方程组的系数矩阵

                   . . . . , . , 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 就变成             m m mn m n n a a a b a a a b a a a b . . . . . . . . 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 这就是由元素构成的一个表格，这种形式的表格，就称为矩阵. 下面给出矩阵的定义. 定义 1：由 mn 个数 ij a (i 1,2,  ,m; j 1,2,  ,n) 排成的 m 行 n 列的数表              m m mn n n a a a a a a a a a A . . . . . . . 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 （2-1） 叫做 m 行 n 列矩阵，简称 mn 矩阵.这 mn 个数叫做矩阵 A 的元素， ij a 叫 做矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素.元素是实数的矩阵称实矩阵，元素是复数的矩阵 称复矩阵. 本书中的矩阵除特别说明外，都指实阵.（2-1）式也简记为 A  aij mn ( ) 或 ( ) A  aij . mn 矩阵 A 也记做 Amn .当 m  n 时， A 称为 n 阶方阵. 例如，一般 n 元线性方程组                    . . . . , . , 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b （2-2） 的未知量的系数可以用矩阵 A  aij mn ( ) 来表示，此时称 A 为方程组的系数矩阵

方程组的系数和常数项可以用一个m×(+1)矩阵 a11az.amb1 7a1a2.an62 ” Lam am.dm b 来表示，并称A为线性方程组(2-2)的增广矩阵 总结：给出一个线性方程组，就可以写出它的增广矩阵：反过来，给定一个 矩阵，我们以它为增广矩阵，就可以写出一个线性方程组。因此，线性方程组与 矩阵建立了一一对应关系。 增广矩阵完全可以确定线性方程组，因此可以利用矩阵来研究线性方程组 由于线性方程组作初等变换就相当于对它的增广矩阵的行作相应的变换，于是有 下面的定义 定义2下列三种变换称为矩阵的初等行变换： (1)对调两行（对调1，j两行，记作r←分r,): (2)以非零数k桑以某一行的所有元素（第i行）乘以数k,记作r×k): (3)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应元素上去（第j行的k倍加到 第i行上去，记作r+k1,), 以上我们由线性方程组的初等变换，引出了矩阵及其初等变换的概念。 数学中的许多概念都是由实际问题引出的，如果了解每个概念的来源背景， 就不会感到它的抽象以及莫名其妙，就会觉得概念的引入合情合理，很自然。我 们在学习中，要了解概念的引入背景，降低理论概念的抽象性，激发我们学习的 兴趣与主动性。 有了矩阵初等行变换的定义，下面来对矩阵做进一步的研究。 把定义2中的“行”换成“列”，即得初等列变换的定义（所用记号是把“，” 换成“c”).矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换，统称为矩阵的初等变换 今后我们将会看到，矩阵的初等变换是用以揭示线性方程组中各种关系的一个重 要方法。 注意：由于矩阵的初等变换对应于线性方程组的初等变换，因此，若矩阵A

方程组的系数和常数项可以用一个 m(n 1) 矩阵 _ A =                     m m mn m n n a a a b a a a b a a a b 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 来表示，并称 _ A 为线性方程组（2-2）的增广矩阵. 总结：给出一个线性方程组，就可以写出它的增广矩阵；反过来，给定一个 矩阵，我们以它为增广矩阵，就可以写出一个线性方程组。因此，线性方程组与 矩阵建立了一一对应关系。 增广矩阵完全可以确定线性方程组，因此可以利用矩阵来研究线性方程组. 由于线性方程组作初等变换就相当于对它的增广矩阵的行作相应的变换，于是有 下面的定义. 定义 2 下列三种变换称为矩阵的初等行变换： （1）对调两行（对调 i, j 两行，记作 i r  j r ）; （2）以非零数 k 乘以某一行的所有元素（第 i 行）乘以数 k ，记作 i r k ）； （3）把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应元素上去（第 j 行的 k 倍加到 第 i 行上去，记作 i r + k j r ）. 以上我们由线性方程组的初等变换，引出了矩阵及其初等变换的概念。 数学中的许多概念都是由实际问题引出的，如果了解每个概念的来源背景， 就不会感到它的抽象以及莫名其妙，就会觉得概念的引入合情合理，很自然。我 们在学习中，要了解概念的引入背景，降低理论概念的抽象性，激发我们学习的 兴趣与主动性。 有了矩阵初等行变换的定义，下面来对矩阵做进一步的研究。 把定义 2 中的“行”换成“列”，即得初等列变换的定义（所用记号是把“ r ” 换成“ c ”）.矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换，统称为矩阵的初等变换. 今后我们将会看到，矩阵的初等变换是用以揭示线性方程组中各种关系的一个重 要方法. 注意：由于矩阵的初等变换对应于线性方程组的初等变换，因此，若矩阵 A

只经过有限次初等行变换变成矩阵B,则A与B对应的线性方程组同解：但如果 对线性方程组的增广矩阵进行初等列变换，所得到的矩阵对应的方程组与原方程 组就不再同解了。 一个矩阵经过初等变换后，就变成了另一个矩阵，如果矩阵A经过有限次初 等变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B等价，记作A)B. 由于矩阵的初等变换对应于线性方程组的初等变换，因此，若矩阵A只经过 有限次初等行变换变成矩阵B,则A与B对应的线性方程组同解 例1对矩阵A作初等行变换如下： 「2-114] 「11217 1121 ←→2-124 4142 4142 「11217 ←-20-4→0-3-22 0-3-4-2 「11211 ←-5→0-3-22 00-2-4 「110-37 ←n-n4n→0-306 00-2-4 ←的00-1门 →010-2=B 0012 则A、B分别所对应的方程组是同解的 形如

只经过有限次初等行变换变成矩阵 B ，则 A 与 B 对应的线性方程组同解；但如果 对线性方程组的增广矩阵进行初等列变换，所得到的矩阵对应的方程组与原方程 组就不再同解了。 一个矩阵经过初等变换后，就变成了另一个矩阵.如果矩阵 A 经过有限次初 等变换变成矩阵 B ，就称矩阵 A 与矩阵 B 等价，记作 A  B . 由于矩阵的初等变换对应于线性方程组的初等变换，因此，若矩阵 A 只经过 有限次初等行变换变成矩阵 B ，则 A 与 B 对应的线性方程组同解. 例1 对矩阵 _ A 作初等行变换如下： _ A =            4 1 4 2 1 1 2 1 2 1 1 4 r1r2            4 1 4 2 2 1 2 4 1 1 2 1 r2 2r1 ,r3 4r1                0 3 4 2 0 3 2 2 1 1 2 1 r3r2               0 0 2 4 0 3 2 2 1 1 2 1 r2 r3 ,r1r3               0 0 2 4 0 3 0 6 1 1 0 3       ) 2 1 ), ( 3 1 , ( 3 1 1 2 2 3 r r r r  B             0 0 1 2 0 1 0 2 1 0 0 1 . 则 A 、 B 分别所对应的方程组是同解的. 形如

C2.CrCl.Cm 0 .C2n . 0 0 .Cm 0 0 . 0 0 . 0 . . . 00 0 0 0 的矩阵称为行阶梯形矩阵，简称阶梯形矩阵，其特点为：每层阶梯只有一行；元 素不全为零的行（非零行）的第一个非零元素所在列的下标随着行标的增大而严 格增大（列标一定不小于行标）：元素全为零的行（如果有的话）必在矩阵的最 下面几行， 例如 「10-17 「121-121 「012-11 021 00102 0001 00023 0000 003 0000 均为阶梯形矩阵 定理1任一矩阵可经有限次初等行变换化成阶梯形矩阵， 在阶梯形矩阵中，若非零行的第一个非零元素全为1，且非零行的第一个元 素1所在列的其余元素全为零，就称该矩阵为行最简形 如例1中的矩阵 「100-17 「10] 010-2 01 [101 0012 00 01-1 都是行最简形 由定理1，容易推得以下常用结论. 推论1任一矩阵可经有限次初等行变换化成行最筒形， 例2用初等行变换化矩阵

                                                 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 r r r r r n r r n r r n c c c c c c c c c c c c 的矩阵称为行阶梯形矩阵，简称阶梯形矩阵,其特点为：每层阶梯只有一行；元 素不全为零的行（非零行）的第一个非零元素所在列的下标随着行标的增大而严 格增大（列标一定不小于行标）；元素全为零的行（如果有的话）必在矩阵的最 下面几行. 例如            0 0 3 0 2 1 1 0 1 ，            0 0 0 2 3 0 0 1 0 2 1 2 1 1 2 ，              0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 1 均为阶梯形矩阵 定理 1 任一矩阵可经有限次初等行变换化成阶梯形矩阵. 在阶梯形矩阵中，若非零行的第一个非零元素全为 1，且非零行的第一个元 素 1 所在列的其余元素全为零，就称该矩阵为行最简形. 如例 1 中的矩阵             0 0 1 2 0 1 0 2 1 0 0 1 ,           0 0 0 1 1 0 ，       0 1 1 1 0 1 都是行最简形. 由定理 1，容易推得以下常用结论. 推论 1 任一矩阵可经有限次初等行变换化成行最简形. 例2 用初等行变换化矩阵

「1122 17 0215-1 A= 203-13 1124-1 为阶梯形矩阵及行最简形. 「112217 02 A←-0-2 15 ~1 -1-5 1 0002-2 「112211 「112211 0215-1 0215-1 00000 0002-2 0002-2 00000 继续进行初等行变换，可得 「112211 「112217 0215-1 4 ⅓ 0215-1 0002-2 →0001-1 00000 00000 [112037 02104 0001-1 00000 0 1 4,01 202 0001-1 00000 矩阵Am经过初等行变换可化为阶梯形矩阵以及行最筒形.若再经过初等

                1 1 2 4 1 2 0 3 1 3 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 A 为阶梯形矩阵及行最简形. 解 A r3 2r1 ,r4r1                  0 0 0 2 2 0 2 1 5 1 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 r3r2               0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 r3r4               0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 继续进行初等行变换，可得 A                0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1    2 1 3 r               0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 r1 2r3 ,r2 5r3              0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 1 0 4 1 1 2 0 3     2 1 , 2 1 1 2 2 r r r                  0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 2 1 0 1 0 1 2 3 1 0 . 矩阵 Amn 经过初等行变换可化为阶梯形矩阵以及行最简形.若再经过初等

列变换，还可化为以下的最简形式： 「10.00.01 01.00.0 . 00.10.0 00.00.0 . 00.00.0 矩阵Imxn称为矩阵Amn的标准形 定理2任一矩阵可经有限次初等变换化为标准形. 求例2中矩阵A的标准形 103 017 10031 A010250102 0061-1 0010-1 00000 00000 「10000 01000 -→00100 00000

列变换，还可化为以下的最简形式： m n I  =                                               0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 . 矩阵 m n I  称为矩阵 Amn 的标准形. 定理 2 任一矩阵可经有限次初等变换化为标准形. 求例 2 中矩阵 A 的标准形. 解 A                   0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 2 1 0 1 0 1 2 3 1 0 c3c4                  0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 2 1 0 1 0 1 2 3 1 0 0  4  1  2 5  1 2 2  3 , 2 1 2 3 c c c c c c c             0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 = I