第二章矩阵与向量 同步训练 1.填空题 (1)已知向量组，=(1,2，-1，)，a2=(2,0,10),a=(0,-4,5,-2)的秩为2， 则t= (2)已知向量组a1=(1,2,3,4),a2=(2,3,4.5),a=(3,4,56),a4=(4,5,6,7), 则该向量组的秩是 (3)已知向量组a=(1,-1,2,4),a2=(0,3,12)，43=(3,0,7,14), a4=(1-2,20),a=(2,15,10)则该向量组的一个极大无关组是 （4)设a=(0,1),4=1,2,3)，a=3,),则—时， a,a2,4线性相关，t= 时，a,a2,a线性无关 (5)向量组a1,a,线性无关，则向量组 a1-C2,2-3,C3-a4,a4-1 线性 (6)设向量组I的秩为r向量组Ⅱ的秩为5，且I可由II线性表示， 则片，5的关系是 (7)设a1=1l,l),a2-(a,0,b),3=(,3,2),若a1,a2,a3线性相关，则 a,b满足关系式 (8)设 abab2.abn 4= a2bazb2.azbn a,b a,bz.ab. 其中a,≠0，b,≠0，则R()=
第二章 矩阵与向量 同步训练 1.填空题 （1） 已知向量组 (1,2, 1,1) 1 , (2,0, ,0) 2 t , (0, 4,5, 2) 3 的秩为 2， 则 t =_. （2） 已知向量组 (1,2,3,4) 1 , (2,3,4,5) 2 ， (3,4,5,6) 3 , (4,5,6,7) 4 , 则该向量组的秩是_. （3） 已知向量组 (1, 1,2,4) 1 , (0,3,1,2) 2 ， (3,0,7,14) 3 ， (1, 2,2,0) 4 ， (2,1,5,10) 5 则该向量组的一个极大无关组是_. （4） 设 (1,1,1) 1 , (1,2,3) 2 ， (1,3, ) 3 t , 则 t=_时， 1 2 3 , , 线性相关，t =_时， 1 2 3 , , 线性无关 （5） 向量组 1 2 3 4 , , , 线性无关，则向量组 1 2 2 3 3 4 4 1 , , , 线性_. （6） 设向量组 I 的秩为 1r 向量组 II 的秩为 2r ，且 I 可由 II 线性表示， 则 1r , 2r 的关系是_. （7） 设 (1,1,1) 1 , ( ,0, ) 2 a b ， (1,3,2) 3 ，若 1 2 3 , , 线性相关，则 a,b满足关系式_. （8） 设 n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b A . . . . . . . 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 ， 其中 0, 0 i i a b , 则 R(A) = _. （9） 矩阵 A = s n ij a 与 B = s n r I 0 0 0 等价，则 R(A) = _
[a[] ax+by+c=0 o- 三条直线 ar+6y+G2=0交 a」 与一点的充要条件是 2.选择题 (1)设向量组 (I)a=(a.az,a).a2=(b.b.b3).a3 =(ci.c2.c3). (II)）月=(a,a2,a,ab月2=(6，b,b,bbB3=(G,c2,c3,c 则 (a)(I)线性相关，则(ID线性相关： (6)(I)线性无关，则(II)线性无关： (c)(II）线性无关，则(I)线性无关 (d)(I)线性无关的充分必要条件是(II)线性无关 (2)n维向量组线性无关的充要条件是 (a)4,4,a,.,a,均不为零向量 (⑥)a,a,a,.,&,中任意两个向量的分量不成比例： (C),42,4,.,g,中任意一个向量不能由其余s-1个向量线性表示； (da,a,a,.,C,中有一部分向量组线性无关. (3)如果向量B可有向量组a,a2,.,&,线性表示，则 (a)存在一组不全为零的数k1,k2,k,使等式 B=ka++.+k,a; 成立： (b)对B的线性表示不唯一 (@)存在一组B,a,a,a,线性相关： (d)存在一组全为零的数k,k2,k,使B=ka+ka+.+k,a (4)设A为n阶矩阵，且A的行列式A=0则在A中 (a)必有一列元素全为零 (6)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (c)必有一列向量是其余列向量的线性组合
（10）设 , 3 2 1 1 a a a , 3 2 1 2 b b b , 3 2 1 3 c c c 则三条直线 0 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c a x b y c 交 与一点的充要条件是_. 2. 选择题 （1）设向量组 （I） ( , , ), 1 1 2 3 a a a ( , , ), 2 1 2 3 b b b ( , , ), 3 1 2 3 c c c (II) ( , , , ), 1 1 2 3 4 a a a a ( , , , ), 2 1 2 3 4 b b b b ( , , , ), 3 1 2 3 4 c c c c 则 (a) （I）线性相关，则(II)线性相关； (b) （I）线性无关，则(II)线性无关； (c) (II) 线性无关，则（I）线性无关 (d) （I）线性无关的充分必要条件是(II)线性无关 （2） n 维向量组线性无关的充要条件是_. (a) s , , , , 1 2 3 均不为零向量 (b) s , , , , 1 2 3 中任意两个向量的分量不成比例； (c) s , , , , 1 2 3 中任意一个向量不能由其余 s -1 个向量线性表示； (d) s , , , , 1 2 3 中有一部分向量组线性无关. （3）如果向量 可有向量组 s , , , , 1 2 3 线性表示，则_. (a) 存在一组不全为零的数 s k , k ,., k 1 2 使等式 s s k11 k2 2 k 成立; (b) 对 的线性表示不唯一; (c) 存在一组 , s , , , , 1 2 3 线性相关; (d) 存在一组全为零的数 s k , k ,., k 1 2 使 s s k11 k2 2 k . （4）设 A为n 阶矩阵，且 A的行列式 A 0 则在 A中_. (a)必有一列元素全为零 (b)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (c)必有一列向量是其余列向量的线性组合
(d)任一列向量是其余列向量的线性组合 (5)设n阶矩阵A的秩r<n,则在A的n行向量中 (a)必有r个行向量线性无关； (6)任意r个行向量均可构成极大无关组 (c)任意r个行向量均线性无关 ()任意行向量均可由其它r个行向量线性表示 3.判断是非 (1)若向量组a,a凸，.，an线性相关，则a可由a,a,.,an线性表示 (2)如果向量组a1,42,.,a,线性无关，向量a1不能由a1,a2,a,线 性表示，那么向量组a,a2.,a,a1线性无关. (3)若向量组a1,a2,.,an线性相关，向量组B,B2,.,Bn亦线性相关， 则有不全为零的数，2，.，乙.，使得 a1+a2+.+nam=0 2,B+元3B2+.+2nBn=0 同时成立 (4)设向量组a,a2,.,am线性相关，B,B2,Bn亦线性相关，那么 a1+B,a2+B2,.,am+Bn亦线性相关. (5)设向量组a1,a2,.,an中任意两个向量组成的部分组线性无关，则 ,2,.,am线性无关 (6)线形相关向量组的任意部分组必线性无关 (7)等价向量组含有相同个数的向量 (8)秩相同的两个向量组等价。 (9)若向量组a,a2,.,an的部分组a,a2,a(r<m)线性无关，且 a,a2,.,a,a4线性无关，则a1,a2,a,为向量组a1,a,.,an的一个最大无 关组 (10)若向量组可由a1,a2,a,线性表示，但不能由a1,a2,.,a,-线 性表示，那么向量组a,a,a,a,与向量组a,a,aa等价. 4.计算与证明
(d)任一列向量是其余列向量的线性组合 （5）设n 阶矩阵 A的秩r n ，则在 A的n 行向量中_. (a)必有r 个行向量线性无关； (b)任意r 个行向量均可构成极大无关组 (c)任意r 个行向量均线性无关 (d)任意行向量均可由其它r 个行向量线性表示 3. 判断是非 （1） 若向量组 m , , , 1 2 线性相关，则1可由 m , , , 2 3 线性表示 （2） 如果向量组 r , , , 1 2 线性无关，向量 r1不能由 r , , , 1 2 线 性表示，那么向量组 r , , , 1 2 , r1线性无关. （3） 若向量组 m , , , 1 2 线性相关，向量组 m , , , 1 2 亦线性相关， 则有不全为零的数 m , , , 1 2 ,使得 0 11 2 2 m m 0 11 2 2 m m 同时成立. （4） 设向量组 m , , , 1 2 线性相关， m , , , 1 2 亦线性相关，那么 m m , , , 1 1 2 2 亦线性相关. （5） 设向量组 m , , , 1 2 中任意两个向量组成的部分组线性无关，则 m , , , 1 2 线性无关. （6） 线形相关向量组的任意部分组必线性无关. （7） 等价向量组含有相同个数的向量. （8） 秩相同的两个向量组等价. （9） 若向量组 m , , , 1 2 的部分组 r , , , 1 2 ( r m )线性无关，且 r , , , 1 2 , r1线性无关，则 r , , , 1 2 为向量组 m , , , 1 2 的一个最大无 关组.（10） 若向量组 可由 r , , , 1 2 线性表示，但不能由 1 2 1 , , , r 线 性表示，那么向量组 1 2 1 , , , r , r 与向量组 1 2 1 , , , r , 等价. 4. 计算与证明
(1)设a,a2,a是线性无关的，试证明： )B,=a1+a2-2a;,B2=a1-a2-a,B3=a,+a2线性无关： b)B,=2a1+a2+3a,B2=a1+a2,B,=a3+a2线性相关. (2）已知向量组（I）a,2,a:（Ⅱ)a,4,a3,a4；()4,2,a3,a5 如果各向量组的秩分别R(I)=R(Ⅱ)=3，R(Ⅲ)=4，试证明：向量组 a1,02,a3,a5-a4的秩为4. (3)a1=11,2,3).02=1,-1,11.a3=(1,3,3,5,a4=(4-2,5,6).a5=(3,1,5,7)求 该向量组的秩，并确定一个极大无关组，将其余向量用该极大无关组线性表示。 (4) 设有三维列向量 问1取何值时， (a)B可由a1,42,a,线性表示，且表达式唯一？ (b)B可由a1,a2,a,线性表示，且表达式不唯一？ (c)B不能由a1,a2,a线性表示？ 答案与提示 1.填空题 (1)t=3:(2)2:(3)a1,a2,a4,a1,a3,a,或a1,a4,a5:(4t=5,t≠5： (5)相关：(6)r≤5(7)a=2b(8)R(A)=1(9)R(A)=r(10)a1,a2,a 线性相关a1,Q2线性无关 2.选择题 (1)(b):(2)(c):(3)(c):(4)(c):(5)(a): 3.判断是非 (1)错误：(2)正确：(3)错误：(4)错误：(5)错误：(6)错误：(7) 错误；(8)错误：(9)错误：(10)正确。 4.计算与证明 (1)证明a),设有k,k2,k使kB,+kB,+kB,=0
(1) 设 1 2 3 , , 是线性无关的，试证明： a) 1 1 2 3 2 ， 2 1 2 3 3 1 2 , 线性无关； b) 2 3 , 1 1 2 3 , 2 1 2 3 3 2 线性相关. (2) 已知向量组（Ⅰ） 1 2 3 , , ；（Ⅱ） 1 2 3 , , , 4 ;（Ⅲ） 1 2 3 , , ,5 . 如果 各向 量组 的秩 分别 R (Ⅰ )= R (Ⅱ )=3, R ( Ⅲ)=4, 试证 明: 向量 组 1 2 3 , , ,5 4 的秩为 4. (3) (1,1,2,3), (1, 1,1,1), (1,3,3,5), (4, 2,5,6), (3,1,5,7) 1 2 3 4 5 求 该向量组的秩,并确定一个极大无关组,将其余向量用该极大无关组线性表示. (4) 设有三维列向量 2 0 , 1 1 1 , 1 1 1 , 1 1 1 1 2 3 问 取何值时, (a) 可由 1 2 3 , , 线性表示,且表达式唯一? (b) 可由 1 2 3 , , 线性表示,且表达式不唯一? (c) 不能由 1 2 3 , , 线性表示? 答案与提示 1. 填空题 （1）t=3；（2）2；（3） 1 2 4 , , ， 1 3 4 , , 或 1 4 5 , , ；（4）t=5，t 5； （5）相关；（6） 1 2 r r （7）a=2b（8）R（A）=1（9）R（A）=r（10） 1 2 3 , , 线性相关 1 2 , 线性无关 2．选择题 （1）（b）；（2）（c）；（3）（c）；（4）（c）；（5）（a）； 3．判断是非 （1）错误；（2）正确；（3）错误；（4）错误；（5）错误；（6）错误；（7） 错误；（8）错误；（9）错误；（10）正确. 4. 计算与证明 （1）证明 a)，设有 1 2 3 k , k , k 使 0 k11 k 22 k33
k(a1+a2-2a)+k2(a1-a2-a3)+k(a1+a2)=0 也就是 (k+k3+k3)a1+(k-k2+k3)a2+(-2k-k3)a3=0 由a,a,a,的线性无关性得： [k+k2+k=0 k-k2+k=0 -2k1-k2=0 由于该方程组的系数行列式为 111 D=1-11=-4≠0 -2-10 故方程组仅有零解k=k=k=0所以B,B2,B,线性无关 b).设有数k,k2,k,使kB,+kB2+kB=0, 即 k(2a1+a2+3a)+k2(a1+a)+k,(a2+a3)=0 也就是 (2k+k,)a1+(k+k3)a2+(3k+k2+k)a3=0 由a1,2,a的线性无关得： [2k1+k=0 {k+k=0 3k,+k2+k=0 系数行列式为 210 101=0 311 故方程组有非零解，所以B,B2,B,线性相关. (2)只要证明a1,a2,a,a,-a4线性无关即可.因为R(I)=R(I)=3,所以 a1,a2,a3线性无关，而a1,2,a,a,线性相关，故存在数k1,k2,k,k4,使得 k1+k,a2+ka3+k,(a5-a4)=0
即 2 0 k1 1 2 3 k2 1 2 3 k3 1 2 , 也就是 （ 1 2 3 k k k ）1 +（ 1 2 3 k k k ）2 +（ 1 2 2k k ）3 =0. 由 1 2 3 , , 的线性无关性得： 2 0 0 0 1 2 1 2 3 1 2 3 k k k k k k k k 由于该方程组的系数行列式为 4 0 2 1 0 1 1 1 1 1 1 D 故方程组仅有零解 0 k1 k 2 k3 所以 1 2 3 , , 线性无关. b)．设有数 1 2 3 k , k , k ，使 0 k11 k 22 k33 , 即 2 3 0 k1 1 2 3 k2 1 3 k3 2 3 也就是 （ 1 2 2k k ）1 +（ 1 3 k k ）2 +（ 1 2 3 3k k k ）3 =0 由 1 2 3 , , 的线性无关得： 3 0 0 2 0 1 2 3 1 3 1 2 k k k k k k k 系数行列式为 0 3 1 1 1 0 1 2 1 0 故方程组有非零解，所以 1 2 3 , , 线性相关. （2）只要证明 1 2 3 , , ，5 4 线性无关即可.因为 R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3，所以 1 2 3 , , 线性无关，而 1 2 3 , , ，4 线性相关，故存在数 1 2 3 4 k , k , k , k ,使得 ( ) 0 k11 k 22 k33 k 4 5 4
由已知得 k-k,=0 k2-2k=0 k,-k=0 k,=0 得k=k2=k=k4=0,故a,a2,a,45-a4线性无关，其秩为4. (3)将a1,42,a,a,a,为列向量构成矩阵A,对施行初等行变换，将其 化为阶梯形矩阵，求得a1,a2,a3,a4,a,的秩为2，取a1,a,为其极大无关组，且 a3=2a1-a2,a4=a1+302,a5=2a1+a2 (4)a)1≠0，且1=-3：b)1=0:c)1=-3
由已知得 0 0 0 0 4 3 3 4 2 2 4 1 1 4 k k k k k k k 得 0 k1 k 2 k3 k 4 ，故 1 2 3 , , ，5 4 线性无关，其秩为 4. (3) 将 1 2 3 , , ， 4 5 , 为列向量构成矩阵 A，对施行初等行变换，将其 化为阶梯形矩阵，求得 1 2 3 , , , 4 5 , 的秩为 2，取 1 2 , 为其极大无关组，且 3 1 2 4 1 2 5 1 2 2 , 3 , 2 (4）a) 0,且 3； b) 0 ；c) 3