第二章综合练习题 一、判断题：（判断下列命题的对错，并在题后括号内标记√或X) 1.线性相关的向量组的任意部分组一定线性相关(） 2.设A为6阶方阵，且R(4)=5,则A的6个行向量组中的任意5个行向量组成 的向量组一定线性无关( 二、填空题 1.已知a1=(5,-1,3,2,4),a2=(3,l-2,2,1),则2a1+3a2=。 2.若向量组%1=(2，l,-1),a2=(0,2),3=（4,0,5线性相关，则1= 3.设B,a,a,线性相关，B,a,a,线性无关，则B,4,a2-a,线性关 「2-311 4.设A=1a1的秩为2，则a= 503 「1101 5.设矩阵A=0a-1的秩为2，则a= 1 0 a 6.设向量组a=10,0a,=←13a,=(0,24)线性相关，则常数 k= 7.设向量组a,a2,a线性无关，则向量组a-a2,a2-a,a-a线 性」 8.设a1,a2是n维向量，令B=2a2-a,B2=a+a2,月=a4-a2,则向量组 B,B,B,的线性相关性是 三、选择题 1.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则A的秩为( A.1 B.2 C.3 D.4 2.若向量组a,b,g线性无关，a,b,x线性相关，则() A、a必能由b,g,x线性表示 B、b必不能由a,g,x线性表示 C、x必能由a,b,g线性表示 D、x必不能由a,b,g线性表示 3.设向量组A可由向量组B线性表示，则(
第二章 综合练习题 一、判断题：(判断下列命题的对错，并在题后括号内标记√或╳) 1.线性相关的向量组的任意部分组一定线性相关( ) 2.设 A 为 6 阶方阵，且 R(A)=5，则 A 的 6 个行向量组中的任意 5 个行向量组成 的向量组一定线性无关( ) 二、填空题 1.已知1 5，-1，3，2,4， 2 3,1，- 2,2,1，则 21 3 2 。 2.若向量组1 2,1，-1， 2 0,2，t ， 3 - 4,0,5线性相关，则t 。 3.设 1 2 , , 线性相关, 1 3 , , 线性无关,则 1 2 3 , , 线性 _关。 4．设 2 3 1 1 1 5 0 3 A a 的秩为 2，则a = . 5.设矩阵 a A a 1 0 0 1 1 1 0 的秩为 2，则a = . 6. 设 向 量 组 1 2 3 a = (1,0,0),a = (- 1,3, k),a = (0,2,4) 线 性 相 关 ， 则 常 数 k = . 7. 设 向 量 组 1 2 3 , , 线 性 无 关 , 则 向 量 组 1 2 2 3 3 1 , , 线 性 . 8.设 1 2 , 是 n 维向量 ，令 1 2 1 2 1 2 3 1 2 2 , , ，则向 量组 1 2 3 , , 的线性相关性是 . 三、选择题 1．已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则 A 的秩为（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.若向量组a ,b , g 线性无关，a ,b ,x线性相关，则( ) A、a 必能由b ,g,x 线性表示 B、b 必不能由a ,g,x线性表示 C、x 必能由a ,b , g 线性表示 D、x 必不能由a ,b , g 线性表示 3.设向量组 A 可由向量组 B 线性表示，则（ ）
A.R(A)<R(B):B.R(A)=R(B):C.R(B)<R(A):D.R(B)<R(A). 4.设a,4,a,a,是一组n维向量，其中a,a2,a,线性相关，则( Aa,a,a,a必线性相关 B.a,a4,必线性相关 C.a2,a必线性无关 D.a,42,a中必有零向量 5.a,a2,a,线性无关，a2,a,a,线性相关，则(） A.a3一定可以由a,a2,a,线性表示B.a2一定可以由a1,a,a,线性表示 C.a1一定可以由a2,a,a线性表示D.a4一定可以由a1,a2,a线性表示 6.矩阵A适合条件( )时，它的秩为r。 A.A中任何r+1个列向量线性无关 B.A中任何r个列向量线性相关 C.A中有r个列向量线性无关，A中任何r+1个列向量线性相关 D.A中线性无关的列向量最多有r个 7.n阶矩阵A中有一个r阶子式D,≠0，且有一个含D,的r+1阶子式等于零，则 有( A.R(A)<r B.R(A)zr C.R(A)=r D.R(A)=r+1 8.向量组%1，C2,.,C,(s≥3)线性无关的充分必要条件是(). A.a,42,.,a,都不是零向量： B.a,a,.,a,中任意两个向量线性无关 C.4,a2,“,a,每一个向量均不可由其余向量线性表示： D.4,a,.,a,至少有一个向量不可由其余向量线性表示 四、计算题 1.求向量组a=1,2,-12y,4,=(3-1,46,a=(-11,55a,=0,3,0,47的秩，并求 出一个最大线性无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示. 2.设向量组a1=(1,1,-1),a2=(3,4,-2),a3=(2,4,0)',a4=(0,1,1) 试求此向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示
A. R(A) R(B)； B. R(A) R(B) ； C. R(B) R(A)； D. R(B) R(A)。 4.设 1 2 3 4 , , , 是一组n维向量,其中 1 2 3 , , 线性相关, 则( ) A. 1 2 3 4 , , , 必线性相关 B. 1 2 , 必线性相关 C. 2 3 , 必线性无关 D. 1 2 3 , , 中必有零向量 5. 1 2 3 a ,a ,a 线性无关， 2 3 4 a ,a ,a 线性相关，则 ( ) A. a 3 一定可以由 1 2 4 a ,a ,a 线性表示 B. 2 a 一定可以由 1 3 4 a ,a ,a 线性表示 C. 1 a 一定可以由 2 3 4 a ,a ,a 线性表示 D. 4 a 一定可以由 1 2 3 a ,a ,a 线性表示 6.矩阵 A适合条件( )时,它的秩为r 。 A. A 中任何r 1个列向量线性无关 B. A 中任何r 个列向量线性相关 C. A中有r 个列向量线性无关， A中任何r 1个列向量线性相关 D. A中线性无关的列向量最多有r 个 7. n阶矩阵 A 中有一个r 阶子式 Dr 0 ，且有一个含 Dr 的r 1阶子式等于零，则 有 ( ) A． R(A) r B. R(A) r C. R(A) r D. R(A) r 1 8.向量组 1 2 , , , s (s 3)线性无关的充分必要条件是( ). A. 1 2 , ,.,s 都不是零向量； B. 1 2 , ,.,s 中任意两个向量线性无关； C. 1 2 , ,.,s 每一个向量均不可由其余向量线性表示； D. 1 2 , ,.,s 至少有一个向量不可由其余向量线性表示. 四、计算题 1.求向量组 1 2 3 4 (1,2, 1,2) , (3, 1,4,6) , ( 1,1,5,5) (1,3,0,4) T T T T 的秩，并求 出一个最大线性无关组, 并将其余向量用最大无关组线性表示. 2.设向量组 1 2 3 4 (1,1, 1) , (3, 4, 2) , (2, 4, 0) , (0,1,1) T T T T ， 试求此向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示
3.求向量组a1=0,2,1，a2=12,0,1，a=(2,13,0，a4=(2,5,-l,4的 秩及其一个最大线性无关组，并将其余向量用最大线性无关组线性表示。 五、证明题 1.设向量组a1,a203线性无关，向量B能由01，C2.a3线性表示， 向量B2不能由%，C2.&线性表示，证明：向量组41，a2.4,月+B2也线 性无关。 3.设向量组a,2,线性无关，证明：4+a42,a+a,a+a4也线性无 关. 5.已知向量月=41+a2,B2=a2+a,B=a3+a4,B,=,+a,B=+%: 证明：向量组%1，a2,a,线性无关的充分必要条件是向量组B,B2,.,B,线性无 关
3.求向量组 T 1 1,0,2,1 ， T 2 1,2,0,1 ， T 3 2,1,3,0 ， T 4 2,5,1,4 的 秩及其一个最大线性无关组，并将其余向量用最大线性无关组线性表示. 五、证明题 1.设向量组 1 2, 3 , 线性无关 , 向量 1 能由 1 2, 3 , 线性表示 , 向量 2不能由 1 2, 3 , 线性表示，证明: 向量组 1 2, 3 1 2 , , 也线 性无关。 3. 设向量组 1 2 3 , , 线性无关, 证明:1 2 , 2 3 ,3 1 也线性无 关. 5.已知向量 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 1 , , , , ， 证明：向量组 1 2 5 , ,, 线性无关的充分必要条件是向量组 1 2 5 , ,, 线性无 关
第二章综合练习题答案 一、判断题：1.×；2.× 二、填空题： 1.(19,1,0,10,11)；2.5:3.无关：4.6：5.1或-1： 6.6:7.线性无关；8.线性相关. 三、选择题： 1.C:2.C;3.A:4.A;5.D:6.C;7.B;8.C
第二章 综合练习题答案 一、判断题：1.×； 2.× 二、填空题： 1.(19,1,0,10,11)； 2. 5； 3.无关； 4. 6； 5. 1 或-1； 6. 6； 7.线性无关； 8.线性相关. 三、选择题: 1.C ； 2.C ； 3. A； 4. A； 5. D； 6.C ； 7. B ；8.C