第2-2_课 教学课型：理论课☑实验课口习题课口 实践课口技能课口其它口 主要教学内容（注明：*重点#难点）： 向量的线性运算，向量空间，子空间. 重点： 向量的线性运算，向量空间 难点： 理解向量空间的概念 教学目的要求： (1)会计算向量的线性运算： (2)理解向量空间、子空间的概念 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 第54页第1题(1)(2). 参考资料： 同济大学编《线性代数》 高等教育出版社
第 2-2 课 教学课型：理论课 实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 向量的线性运算，向量空间，子空间. 重点： 向量的线性运算,向量空间. 难点： 理解向量空间的概念. 教学目的要求： （1）会计算向量的线性运算； （2）理解向量空间、子空间的概念. 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 第 54 页第 1 题（1）（2）. 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社
§2.2向量及其线性运算 本节本节把解析几何中已学过二维、三维向量及其线性运算推广到n维空间 上。 定义1n个有顺序的数a,a,.,a,组成的有序数组 a=(a,a2,.,an） 叫做n维向量.数a,a2,.,an叫做向量a的分量（或坐标），a,（j=l,2,.n) 叫做α的第j个分量（或坐标）. 若以R表示全体实数的集合，分量a,∈R(j=l,2,.n)的向量a=（a, a,.,an)称实向量.本章只讨论定义在R上的向量 例如，n元线性方程组 [ax+ax++aux=b: azx+azx2+.+aznxn=b2, am+am22+.+amx=bm 中第i(1sism)个方程 anx+an2x2++am x=b 的系数和常数项对应着一个n+1维向量 (aa,a2,.,am,b）. 而该方程的一个解xC,x2=C2,.,xn=cn可用一个n维向量 来表示.方程组(2-2)的解构成的n维向量叫做该方程组的解向量 向量相等：设a=(a,a,.，a,B=(6,6,.,b.)都是n维 向量.当且仅当分量a,=b,(j=1,2,.n)时，称向量u与B相等，记作a=B, 零向量：分量都是0的向量叫做零向量，记作0，即 0=(0,0,.,0)
§2.2 向量及其线性运算 本节本节把解析几何中已学过二维、三维向量及其线性运算推广到 n 维空间 上。 定义 1 n 个有顺序的数 1 a ， 2 a ，. ，an 组成的有序数组 =（ 1 a ， 2 a ，. ，an ） 叫做 n 维向量.数 1 a ， 2 a ，. ，an 叫做向量 的分量（或坐标）， a j （ j =1,2,. n ） 叫做 的第 j 个分量（或坐标）. 若以 R 表示全体实数的集合，分量 a j R （j=1,2,. n ）的向量 =（ 1 a ， 2 a ，. ， an ）称实向量.本章只讨论定义在 R 上的向量. 例如， n 元线性方程组 . . . . , . , 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 中第 i (1 i m )个方程 i1 a 1 x + i2 a 2 x +.+ in a n x = i b 的系数和常数项对应着一个 n +1 维向量 （ i1 a ， i2 a ，. ， in a ， i b ）. 而该方程的一个解 1 x = 1 c ， 2 x = 2 c ，.， n x = n c 可用一个 n 维向量 （ 1 c ， 2 c ，.， n c ） 来表示.方程组（2-2）的解构成的 n 维向量叫做该方程组的解向量. 向量相等：设 =（ 1 a ， 2 a ，. ，an ）， =（ 1 b ， 2 b ，.， n b ）都是 n 维 向量.当且仅当分量 a j = j b （ j =1,2,. n ）时，称向量 与 相等，记作 = . 零向量：分量都是 0 的向量叫做零向量，记作 0，即 0=（0，0，.,0）
注意维数不同的零向量不相等.如a,=(0,0),a2=(0,0,0)都是零向量，但 a,≠a2.因为它们的维数不同. 负向量：向量(-a,-a,.，-an)称为向量a=（a,a2,.,an) 的负向量，记作-.显然，向量a也可称为向量-α的负向量. 1.向量的加法运算 定义2设a=(a,a2,.,an),B=(b,b,.,bn)都是n维向量. 向量（a+6,a+h,an+b)称为向量a与B的和，记作a+B,即 a+B=(a+b,az+b2,.a+b). 由负向量即可定义向量的减法： a-B=a+(-B)=(a1-b,a2-b,.,a.-bn）. 2.向量的数乘运算 定义3设a=(a1,a2,.,an)为n维向量，元eR.向量（元a1,元a2,., 1an)叫做数1与向量a的乘积，记作1a,即 元a=(2a,a2,.，元an）. 根据定义3，有 0a=0: (-1)a=-a: 10-0. 如果1≠0，a≠0，那么1a≠0. 数与向量的乘法运算简称为向量的数乘运算， 向量的相加及数乘两种运算，统称为向量的线性运算.它满足以下八条运算 规律（设a、B、y都是n维向量，A、HeR): (1)a+B=B+a: (2)(a+B)+y=a+(B+y): (3)a+0-a: (4)a+(-a)=0: (5)1a=a; (6)元(4a)=(24)a:
注意维数不同的零向量不相等.如 1 a =（0，0）， 2 a =（0，0，0）都是零向量，但 1 a 2 a .因为它们的维数不同. 负向量：向量（- 1 a ，- 2 a ，. ， -an ）称为向量 =（ 1 a ， 2 a ，. ，an ） 的负向量，记作- .显然，向量 也可称为向量- 的负向量. 1.向量的加法运算 定义 2 设 =（ 1 a ， 2 a ，. ，an ）， =（ 1 b ， 2 b ，.， n b ）都是 n 维向量. 向量（ 1 a + 1 b ， 2 a + 2 b ，., an + n b ）称为向量 与 的和，记作 + ，即 + =（ 1 a + 1 b ， 2 a + 2 b ，., an + n b ）. 由负向量即可定义向量的减法： - = +（- ）=（ 1 a - 1 b ， 2 a - 2 b ，.， an - n b ）. 2. 向量的数乘运算 定义 3 设 =（ 1 a ， 2 a ，. ，an ）为 n 维向量， R.向量（ 1 a ， 2 a ，. ， an ）叫做数 与向量 的乘积，记作 ，即 =（ 1 a ， 2 a ，. ， an ）. 根据定义 3，有 0 =0； （-1） =- ； 0=0. 如果 0， 0，那么 0. 数与向量的乘法运算简称为向量的数乘运算. 向量的相加及数乘两种运算，统称为向量的线性运算.它满足以下八条运算 规律（设 、 、 都是 n 维向量， 、 R）： （1） + = + ； （2）（ + ）+ = +（ + ）； （3） +0= ； （4） +（- ）=0； （5）1 = ； （6） （ ）=( ) ；
(7)1(a+B)=1a+1B;(8)(1+μ)a=1a+1a. 在数学中，把具有上述八条规律的运算称为线性运算.其中规律(3)与(4) 保证加法有逆运算，即若a+B=y,则y+(-B)=a:(5)与(6)保证乘非零 数有逆运算，即当元+0时，若入a=y,则y=a。 例1设a=(1,3,-2,2),B=(5,1,-2,0).若已知a+2y=3B,向 量y. 解由a+2y=3B,得 78B-a)15.3.60-4,322] 号14,0，-4，-2)=7,0，-2，-0 定义1是将n维向量写成行的形式，即a=(a,a,a,).但有时也 写成列的形式： a La.] 作为向量，写成行（行向量）还是写成列（列向量）只是写法上的不同而没有 本质的区别. 3 例2已知向量4，= 3 3a1-4a2=17, 求向量2%1+3a2. -2 解由 「31 -7 3,-4、=17 -2 8 得
（7） （ + ）= + ； （8）（ + ） = + . 在数学中，把具有上述八条规律的运算称为线性运算.其中规律（3）与（4） 保证加法有逆运算，即若 + = ，则 +（- ）= ;（5）与（6）保证乘非零 数有逆运算，即当 0 时，若 = ，则 1 = . 例1 设 =（1，3，-2，2）， =（5，1，-2，0）.若已知 +2 =3 ，向 量 . 解 由 +2 =3 ,得 = 2 1 （3 - ）= 2 1 [（15，3，-6，0）-（1，3，-2，2）] = 2 1 （14，0，-4，-2）=（7，0，-2，-1）. 定义 1 是将 n 维向量写成行的形式，即 =（ 1 a ， 2 a ，. ，an ）.但有时也 写成列的形式： = n a a a 2 1 . 作为向量， 写成行（行向量）还是写成列（列向量）只是写法上的不同而没有 本质的区别. 例 2 已知向量 4 2 3 1 5 1 ， 8 2 17 7 3 3 4 1 2 ，求向量 21 3 2 . 解 由 8 2 17 7 3 3 4 1 2 ， 得
「51「3 [121「3 1 ,-4 - -8 22 4 8 14 所以 「10] 91 [191 2a1+3a2- 4 6 ol 3 11 3.向量空间 定义4设V为n维向量集合.如果V非空，且V对于向量的加法及数与向 量的乘法预算封闭，那么就称集合V为向量空间。 所谓集合V对于向量的加法及数与向量的乘法运算封闭是指，若∈V,BeV 则a+BeV,以及若a∈V,eR,则a∈. 例3集合 V,={X=(0,x2,.,Xn)lx2,.,xn∈R 是一个向量空间.因为若a=(0,a2,an)e,B=(0,b2,b)eK,则 a+B=(0az +ba.a.+b)vi,a=(0az.a)EV. 例4集合 V2=x=(R) 不是向量空间.因为若a=(1,a2,an)∈2，则2a=(2,2a2,2an)E 全体n维实向量构成的集合记作R”,即 R0={x=(6,x2,x川x,2,xn∈R}. 容易验证，R”是一向量空问. 设有向量空间及'2，若Vc2,则称是'的子空间. 例5设
1 2 2 1 3 4 8 8 4 12 4 1 ) 8 2 17 7 3 4 2 3 1 5 (3 4 1 2 . 所以 11 10 0 1 19 3 6 6 3 9 8 4 6 2 10 2 3 1 2 . 3.向量空间 定义 4 设 V 为 n 维向量集合.如果 V 非空，且 V 对于向量的加法及数与向 量的乘法预算封闭，那么就称集合 V 为向量空间. 所谓集合 V 对于向量的加法及数与向量的乘法运算封闭是指，若 V, V, 则 V，以及若 V， R,则 V. 例 3 集合 V 1 ={ x =(0,x 2 ,.，x n )|x 2 ,.，x n R} 是 一 个 向 量 空 间 . 因为若 2 1 (0,a ,,an )V ， 2 1 (0,b ,,bn )V ， 则 2 2 1 (0,a b ,,an bn )V ， 2 1 (0,a ,,an )V . 例 4 集合 { (1, , , } V2 x x2 xn R 不是向量空间.因为若 (1, , , ) , a2 an V2 则 2 2 2 (2,2a ,,2an )V . 全体 n 维实向量构成的集合记作 n R ，即 { ( , , , ) | , , , } R x x1 x2 xn x1 x2 xn R n . 容易验证， n R 是一向量空间. 设有向量空间 V1 及 V2 ，若 V1 V2 ，则称 V1 是 V2 的子空间. 例 5 设
V={x=(x,x2,0)川x,x2∈R, R3-{x=(x,x2,x3)川x,x2,x3∈R} 显然，V与R都是向量空间且VCR,所以V是R的一个子空间. 向量的应用是广泛的.几何、物理以及国民经济等问题中都经常用到它.在解 析几何中，以坐标原点0为起点，以任一点P(x,八，)为终点的有向线段与3维向 量OP={x,八，}对应.那时为了分清点(xy,)与向量x,八，故用两种不同的括 号以示区别.n维向量是3维向量的推广，只是当n>3时，n维向量就没有直观 的几何意义了. 在形式上，向量与矩阵之间也有一定的联系.如m×n矩阵A的每一行可以看 成是”的一个向量，反之，一个行（列）向量亦可看作一个只有一行（列）的矩 阵
{ ( , ,0) | , } V x x1 x2 x1 x2 R ， { ( , , ) | , , } 1 2 3 1 2 3 3 R x x x x x x x R ， 显然,V 与 3 R 都是向量空间且 3 V R ，所以 V 是 3 R 的一个子空间. 向量的应用是广泛的.几何、物理以及国民经济等问题中都经常用到它.在解 析几何中，以坐标原点 O 为起点，以任一点 P(x, y,z) 为终点的有向线段与 3 维向 量 OP {x, y,z} 对应.那时为了分清点 (x, y,z) 与向量 {x, y,z} ，故用两种不同的括 号以示区别. n 维向量是 3 维向量的推广，只是当 n 3 时， n 维向量就没有直观 的几何意义了. 在形式上，向量与矩阵之间也有一定的联系.如 mn 矩阵 A 的每一行可以看 成是 n R 的一个向量.反之，一个行（列）向量亦可看作一个只有一行（列）的矩 阵