第2-3节 教学课型：理论课☑实验课口习题课口 实践课口技能课口其它口 主要教学内容（注明：*重点#难点）： 向量的线性表示，向量组的线性相关、线性无关，向量组间的表示、等价 关系，向量组的最大无关组与秩，等价的向量组秩的关系：矩阵的秩的概念， 矩阵的秩与其行（列）向量组秩的关系。 重点： 向量组的线性相关、线性无关，等价向量组的秩的关系，矩阵的秩与其行 (列)向量组秩的关系 难点： 理解向量组的线性相关、线性无关的概念，会证明向量组的线性相关或线 性无关，等价向量组的秩的关系，矩阵的秩与其行（列）向量组秩的关系. 教学目的要求： (1)理解向量组线性相关与其中一向量可由其余向量线性表示的等价关 (2)理解向量组的线性相关、线性无关的概念：· (3)会判断向量组的线性相关或线性无关： (4)理解向量组间的表示、等价关系，向量组的最大无关组与秩等概念： (5)理解矩阵的秩的概念，矩阵的秩与其行（列）向量组秩的关系： (6)会求向量组的最大无关组与秩、向量组秩： 教学方法和教学手段 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 第55页第4题(1)(2)(3)，第5题，第6题，第7题： 第56页第8题，第9题，第11题(3)，第12题，第14题(1). 参考资料： 同济大学编《线性代数》高等教育出版社
第 2-3 节 教学课型：理论课 实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 向量的线性表示，向量组的线性相关、线性无关，向量组间的表示、等价 关系，向量组的最大无关组与秩，等价的向量组秩的关系；矩阵的秩的概念， 矩阵的秩与其行（列）向量组秩的关系. 重点： 向量组的线性相关、线性无关，等价向量组的秩的关系，矩阵的秩与其行 （列）向量组秩的关系 难点： 理解向量组的线性相关、线性无关的概念，会证明向量组的线性相关或线 性无关，等价向量组的秩的关系，矩阵的秩与其行（列）向量组秩的关系. 教学目的要求： （1）理解向量组线性相关与其中一向量可由其余向量线性表示的等价关 系； （2）理解向量组的线性相关、线性无关的概念；. （3）会判断向量组的线性相关或线性无关； （4）理解向量组间的表示、等价关系，向量组的最大无关组与秩等概念； （5）理解矩阵的秩的概念，矩阵的秩与其行（列）向量组秩的关系； （6）会求向量组的最大无关组与秩、向量组秩； 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 第 55 页 第 4 题（1）（2）（3），第 5 题，第 6 题，第 7 题； 第 56 页 第 8 题，第 9 题，第 11 题（3），第 12 题，第 14 题（1）. 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社
§2.3向量组的线性相关性 在向量线性相关的基础上，本节来讨论向量之间的关系 向量组：维数相同的向量所组成的集合称为向量组 一、向量的线性组合（线性表示） 定义1对于向量，a,a2,0m,如果有一组数，2，使 a=1凸+2a2+.+元m0m,则称向量a是向量a,2,am的线性组合， 或称可由，C%2,&m线性表示 注：1.向量a是向量C,a1,a2,am的线性组合，是指a可由C,2,am 经线性运算得到， 2.显然，零向量是任何一组向量线性组合 3.向量a是与向量组4，a2,am的关系有且仅有以下三种情况之一： ①向量C可由C1,C2,Cm线性表示且表示式唯一； ②向量a可由a1,C2,am线性表示，但表示式唯一； ③向量a不能由必1,2，Cm线性表示。 对于n元线性方程组 ax+a2x2 +.+ainx=b, azx+az2x2+.+aznxn =bz (1) am +am2x2+.+ammxn =bm 若以，表示其第j个未知量的系数构成的m维列向量，即 「a a,= ，j=12,.,n, 且令
§2.3 向量组的线性相关性 在向量线性相关的基础上，本节来讨论向量之间的关系. 向量组：维数相同的向量所组成的集合称为向量组. 一、向量的线性组合（线性表示） 定 义 1 对于向 量 m , , , 1 2 ，如果有 一组 数 m , , , 1 2 ，使 11 22 m m ，则称向量 是向量 m , , 1 2 的线性组合， 或称 可由 m , , 1 2 线性表示. 注：1.向量 是向量 m , , , 1 2 的线性组合，是指 可由 m , , 1 2 经线性运算得到. 2. 显然，零向量是任何一组向量线性组合. 3. 向量 是与向量组 m , , 1 2 的关系有且仅有以下三种情况之一： ①向量 可由 m , , 1 2 线性表示且表示式唯一； ②向量 可由 m , , 1 2 线性表示，但表示式唯一； ③向量 不能由 m , , 1 2 线性表示。 对于 n 元线性方程组 . . . . , . , 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b （1） 若以 j 表示其第 j 个未知量的系数构成的 m 维列向量，即 j j j j a a a 3 2 1 ， j 1,2, ,n , 且令
「b1 B= 那么，方程组(1)可以表示为 a+x2a2+.+x,a=B 于是，方程组(1)是否有解的问题就转化为向量B是否可由向量a,凸1,2Cn 线性表示.当B能由向量C,C心1,2，&n线性表示且表达式唯一时，方程组(1) 有解且解唯一 问题转化：方程组求解的问题就转化为一个向量是否可由一组向量线性表 示的问题.（看学生上课状态，可以讲个小故事：专家提问数学家与物理学家 一烧水的程序) 例1设n维向量 61=(1,0,0),62=(01,.,0),.,6n=(0,0,.,1).称61,62，6n为 n维单位坐标向量组。 考虑任意一个n维向量a=(a,a2,an).由于 a=a E+a82 +.+a,En. 所以，α是61,62，6n的线性组合，也就是说任意一个n维向量都可以由 6,62,8n来线性表示 例2证明向量u=(0,4,2)是向量a1=(1,2,3),a2=(2,3,1), a3=(3,12)的线性组合，并将a用41，a2,03线性表示 解先假定a=2a1+入2a2+入3a3,即 (0,4,2)=元(1,2,3)+元(2,3,1)+1(3,1,2) =(0+22+323,21+323+3,31+3+223), 因此
3 2 1 b b b ， 那么，方程组（1）可以表示为 x11 x22 xnn . 于是，方程组（1）是否有解的问题就转化为向量 是否可由向量 n , , , 1 2 线性表示.当 能由向量 n , , , 1 2 线性表示且表达式唯一时，方程组（1） 有解且解唯一. 问题转化：方程组求解的问题就转化为一个向量是否可由一组向量线性表 示的问题.（看学生上课状态，可以讲个小故事：专家提问数学家与物理学家— —烧水的程序） 例1 设 n 维向量 (1,0, ,0) 1 ， (0,1, ,0) 2 ，.， (0,0,,1) n .称 n , , , 1 2 为 n 维单位坐标向量组. 考虑任意一个 n 维向量 ( , , , ) a1 a2 an . 由于 a a an n 1 1 2 2 ， 所以， 是 n , , , 1 2 的线性组合，也就是说任意一个 n 维向量都可以由 n , , , 1 2 来线性表示. 例2 证明向量 (0,4,2) 是向量 (1,2,3) 1 ， (2,3,1) 2 ， (3,1,2) 3 的线性组合，并将 用 1 2 3 , , 线性表示. 解 先假定 11 2 2 33 ，即 (0,4,2) (1,2,3) (2,3,1) (3,1,2) 1 2 3 ( 2 3 ,2 3 ,3 2 ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ， 因此
[1+2元3+323=0， 2元+312+元3=4， 32+元2+2元=2. 由于该线性方程组的系数行列式 123到 231=-18≠0， 312 由克莱姆法则知，方程组有唯一的解，可以求出入1=1，入2=1，入3=-1.于是C 可表示为a1,a2,a3的线性组合，且表示式为Q=a,+a2-a3 问题转化：求向量可由一组向量线性表示的问题转化为一类特殊方程组求解 问题 二、向量组的线性相关性 定义2设有n维向量组 a,a2.m (2) 如果存在不全为零的m个数k1,k2,km,使 k a+kaz+.kmam=0, (3) 则称向量组(2)是线性相关的.否则称向量组(2)是线性无关的，如果不存在 不全为零的m个数使得上式成立，也就是说，当且仅当k=k2==km=0时， (3)式成立，那么称向量组(2)是线性无关的 一个向量组不是线性相关，就是线性无关在向量组线性无关的定义中，要 特别注意“仅当”两个字.例如a1=(1,0),a2=(2,0),当k1=k2=0时， k%,+k,心2=0.但不能由此推出向量组%1，C2线性无关.因为没有证明仅当 k1=k2=0时，等式k1+k2C2=0才成立.事实上，当k1=2,k2=-1时， 上面等式也成立.所以向量组a1,心2线性相关 注：1.当零向量可由1,2，Cm线性表示，而表示式不唯一时，则 C,a2,Cm是线性相关的：当零向量可由必，C%2,Cm线性表示且表示式唯
3 2 2. 2 3 4, 2 3 0, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 由于该线性方程组的系数行列式 18 0, 3 1 2 2 3 1 1 2 3 由克莱姆法则知，方程组有唯一的解，可以求出 1 1,2 1,3 1.于是 可表示为 1 2 3 , , 的线性组合，且表示式为 1 2 3 . 问题转化：求向量可由一组向量线性表示的问题转化为一类特殊方程组求解 问题. 二、向量组的线性相关性 定义 2 设有 n 维向量组 m , , 1 2 ， （2） 如果存在不全为零的 m 个数 m k , k , , k 1 2 ，使 k11 k22 km m 0， （3） 则称向量组（2）是线性相关的. 否则称向量组（2）是线性无关的，如果不存在 不全为零的 m 个数使得上式成立，也就是说，当且仅当 k1 k2 km 0 时， （3）式成立，那么称向量组（2）是线性无关的. 一个向量组不是线性相关，就是线性无关.在向量组线性无关的定义中，要 特别注意“仅当”两个字.例如 (1,0) 1 ， (2,0) 2 ，当 k1 k2 0 时， k11 k2 2 0 .但不能由此推出向量组 1 2 , 线性无关.因为没有证明仅当 k1 k2 0 时，等式 k11 k2 2 0 才成立.事实上，当 k1 2 ，k2 1 时， 上面等式也成立.所以向量组 1 2 , 线性相关. 注：1. 当零向量可由 m , , 1 2 线性表示，而表示式不唯一时，则 m , , 1 2 是线性相关的；当零向量可由 m , , 1 2 线性表示且表示式唯
一时，则a1,C2,anm是线性无关的 2.由向量组线性相关、线性无关的定义，容易得到 ①只含有一个向量（的向量组，线性相关的充分必要条件是α=0 ②含有两个向量的向量组线性相关，则这两个向量分量对应成比例，反之， 也成立 ③含有零向量的向量组一定线性相关， ④如果向量组a,41,必2，Cm中有两个向量相等&，=C,≠）或对应 分量成比例，那么向量组C,a☑1，a2,am是线性相关的： 在一个向量组C,必1，C2,m中，任取若干个向量组成的向量组，叫做 C,以1，a2,Cnm的部分向量组，筒称部分组 ⑤向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线性相关其逆否命题是： 线性无关向量组的任意一个部分组也是线性无关的， 下面来讨论向量组的线性相关性， 例3讨论n维单位坐标向量组61，E2,En的线性相关性 解假设存在n个数飞1，k2,kn,使k161+k262++knEn=0, 即(k1,k2,kn)=(0,0.,0)成立，则必有k1=k2.=kn=0.所以向量组 E1,E2,En线性无关. 例4已知向量组1,2,3线性无关，而B=a1+C2,B2=2+C3, 阝3=3+a,试证向量组B,B,B也线性无关 证设kB,+k2B+kB=0, 即 k(a1+a2)+k(a2+x)+k(a3+a)=0 于是 (k1+k3)C1+(k+k2)a2+(k2+k3)a3=0
一时，则 m , , 1 2 是线性无关的. 2. 由向量组线性相关、线性无关的定义，容易得到 ① 只含有一个向量 的向量组，线性相关的充分必要条件是 0 . ② 含有两个向量的向量组线性相关，则这两个向量分量对应成比例，反之， 也成立. ③ 含有零向量的向量组一定线性相关. ④ 如果向量组 m , , , 1 2 中有两个向量相等 (i j) i j 或对应 分量成比例，那么向量组 m , , , 1 2 是线性相关的； 在一个向量组 m , , , 1 2 中，任取若干个向量组成的向量组，叫做 m , , , 1 2 的部分向量组，简称部分组. ⑤ 向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线性相关.其逆否命题是： 线性无关向量组的任意一个部分组也是线性无关的. 下面来讨论向量组的线性相关性. 例3 讨论 n 维单位坐标向量组 n , , , 1 2 的线性相关性. 解 假设存在 n 个数 n k , k , , k 1 2 ，使 k1 1 k2 2 kn n 0， 即 ( , , , ) (0,0, ,0) k1 k2 kn 成立，则必有 k1 k2 kn 0.所以向量组 n , , , 1 2 线性无关. 例4 已知向量组 1 2 3 , , 线性无关，而 1 1 2， , 2 2 3 3 3 1 .试证向量组 1 2 3 , , 也线性无关. 证 设 k11 k2 2 k3 3 0， 即 k1 (1 2 ) k2 (2 3 ) k3 (3 1 ) 0. 于是 (k1 k3 )1 (k1 k2 )2 (k2 k3 )3 0
因为%1，C2,23线性无关，故必有 k+ k3=0, =0, k2+k=0. 该齐次线性方程组的系数行列式 101 110=2≠0 011 所以方程组只有零解k=k2=k=0,从而向量组B,B2,B,线性无关」 例5设r维向量组 c,=(a1,a2,ar),i=1,2,.,m 及r+1维向量组 a,=(a1,a2,ar,ar+1）,i=1,2,m. 即C,是由C,加上一个分量而得若r维向量组C%,C2,Cm线性无关，试证： r+1维向量组C1,C2,Cnm线性无关. 证用反证法.若向量组必，必2，0m线性相关，既存在m个不全为零 的数k1,k2,km,使得 k1+k2a42+.+kn4m=0 成立将上式按分量写出后即得 ak+a k2+.+amkm=0, ak+az,k2+.+amk=0, ak+azrk+.+amrikm =0. 该方程组的前，个方程对应于等式 kia+kza2 +.+kmam =0
因为 1 2 3 , , 线性无关，故必有 0. 0, 0, 2 3 1 2 1 3 k k k k k k 该齐次线性方程组的系数行列式 2 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 , 所以方程组只有零解 k1 k2 k3 0 ，从而向量组 1 2 3 , , 线性无关. 例5 设 r 维向量组 ( , , , ) i ai1 ai2 air ，i 1,2,., m 及 r 1 维向量组 ( , , , , ), 1,2, , . 1 2 1 ' i ai ai air air i m 即 ' i 是由 i 加上一个分量而得.若r维向量组 m , , , 1 2 线性无关，试证： r 1 维向量组 ' ' 2 ' 1 , , , m 线性无关. 证 用反证法.若向量组 ' ' 2 ' 1 , , , m 线性相关，既存在 m 个不全为零 的数 m k , k , , k 1 2 ，使得 0 ' ' 2 2 ' k11 k km m 成立.将上式按分量写出后即得 0. 0, 0, 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 r r mr m r r mr m m m a k a k a k a k a k a k a k a k a k 该方程组的前 r 个方程对应于等式 k11 k22 km m 0
由于k1,k2,km不全为零，由上式必推出向量a1,C2,Cm线性相关此与已 知矛盾.所以向量组a1,2,Cm线性无关. 由以上证明过程不难推广：由向量“，得向量心，时，添上的分量无论加在什 么位置，例5的结论都成立此外，该结论已推广到增加有限个分量的情形 三、向量组线性相关性与其中莱个向量可由其余向量表示的关系 向量组%1，α2，Cm中是否有某个向量能由其余向量线性表示，是线性相 关组与线性无关组的本质区别对此我们有以下定理 定理1向量组41,42，0m(m≥2)线性相关的充分必要条件是向量组中 至少有一个向量可由其余m1个向量线性表示， 证充分性设向量组中有一个向量，例如《m,能由其余m-】个向量线性 表示，即有一组数入1，元2，入m-1,使得 an=a1+元2&2+.+2m-1am- 那么就有 41+22+.+元n-1an1+(-l1)am=0 因为入1,2，入m1,-1这m个数不全为零，所以向量组1，C2,m线性相 关 必要性设向量组C以1，C2,Cm线性相关，即存在m个不全为零的数 k1,k2,km,使得k%1+k2a2+.kmAm=0. 因为k1,k2,km中至少有一个不为零，不妨设km≠0，于是 a=k ka,+(-2)a2+.+(a1. km 即Cm能由其余m-l个向量线性表示 定理2设01,02，Cm线性无关，而41,2，am,B线性相关，则B 能由%1，C2,心m线性表示，且表示式是唯一的
由于 m k , k , , k 1 2 不全为零，由上式必推出向量 m , , , 1 2 线性相关.此与已 知矛盾. 所以向量组 ' ' 2 ' 1 , , , m 线性无关. 由以上证明过程不难推广：由向量 i 得向量 ' i 时，添上的分量无论加在什 么位置，例 5 的结论都成立.此外，该结论已推广到增加有限个分量的情形. 三、向量组线性相关性与其中某个向量可由其余向量表示的关系 向量组 m , , , 1 2 中是否有某个向量能由其余向量线性表示，是线性相 关组与线性无关组的本质区别.对此我们有以下定理. 定理 1 向量组 m , , , 1 2 (m 2) 线性相关的充分必要条件是向量组中 至少有一个向量可由其余 m -1 个向量线性表示. 证 充分性 设向量组中有一个向量，例如 m ，能由其余 m -1 个向量线性 表示，即有一组数 1 2 1 , , , m ，使得 m 11 22 m1 m1 那么就有 11 22 m1 m1 (1) m 0 . 因为 1 ,2 ,, m1 ,1 这 m 个数不全为零，所以向量组 m , , , 1 2 线性相 关. 必要性 设向量组 m , , , 1 2 线性相关，即存在 m 个不全为零的数 m k , k , , k 1 2 ，使得 k11 k22 km m 0 . 因为 m k , k , , k 1 2 中至少有一个不为零，不妨设 km 0 ，于是 1 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) m m m m m m k k k k k k . 即 m 能由其余 m -1 个向量线性表示. 定理 2 设 m , , , 1 2 线性无关，而 1 , 2 ,, m , 线性相关，则 能由 m , , , 1 2 线性表示，且表示式是唯一的
证因为a1,a2,an,B线性相关，所以存在不全为零的m+1个数 k1,k2,km,k,使得k11+k2a2+.kmm+kB=0. 如果k=0,则k1,k2,km不全为零，且有 k1a%1+k2a2+.knam=0, 于是%1，心2，Cm线性相关，这与假设%1，C2,Cm线性无关矛盾.因此 k≠0，从而 再证表示式是唯一的.设有两个表示式 B=入y1+.+元mam 及 B=411+.+4mCXm 两式相减得 (i-4)a1++(元m-4m)an=0. 因为C1,C22,Cm线性无关，所以，-4，=0，即有 元=4(0=1,2，m）) 例6设n维向量组 g,=(a1,a2,ami=1,2,m 证明1)m=n时，向量组x1,C2,Cn线性无关的充分必要条件是行列 式 aiia2.an a21aa.a+0 . am a2.ann 2)m>n时，C1,C2,Cm必线性相关
证 因为 1 , 2 ,, m , 线性相关，所以存在不全为零的 m +1 个数 k k k k m , , , , 1 2 ，使得 k11 k22 km m k 0 . 如果 k 0 ，则 m k , k , , k 1 2 不全为零，且有 k11 k22 km m 0， 于是 m , , , 1 2 线性相关，这与假设 m , , , 1 2 线性无关矛盾.因此 k 0 ，从而 . 2 2 1 1 m m k k k k k k 再证表示式是唯一的. 设有两个表示式 11 m m 及 11 m m . 两式相减得 ( ) ( ) 0. 1 1 1 m m m 因为 m , , , 1 2 线性无关，所以 i i 0 ，即有 (i 1,2, ,m) i i . 例6 设 n 维向量组 i (ai1 ,ai2 ,,ain ),i 1,2,,m 证明 1） m = n 时，向量组 n , , , 1 2 线性无关的充分必要条件是行列 式 0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 n n n n n n a a a a a a a a a 2） m > n 时， m , , , 1 2 必线性相关
证1)必要性若向量组a1,2,an线性无关，则等式 k1+k2a42+.kan=0 仅当k1=k2=.=kn=0时成立，或齐次线性方程组 auk +az kz +.+ak=0, a12k1+a22k2+.+an2kn=0, . auk+aznk2+.+ank =0. 只有零解由第一章第四节定理2知，方程组的系数行列式 a11a21.ani D=dn2 d2 .dn20. . a1na2n.amm 故 aa21.am aa.an=D≠0， . an an2.ann 充分性由克莱姆法则可知，以上过程反之亦然 2)m>n时，若向量组的前n个向量%1，a2,an线性相关，则原向量组 线性相关若%1，C2,0n线性无关，由1)知，行列式 a1ta21.aml D=a0. . lama2.an 而D是与X,C1+X2C2+.+xnCn=Cn+l对应的线性方程组的系数行列式，由 克莱姆法则知该方程组有唯一的解，从而C1可由C1,2,Cm线性表示再由 定理1知，C1,C2,Cn,Cn+1线性相关，故原向量组线性相关
证 1）必要性 若向量组 n , , , 1 2 线性无关，则等式 k11 k22 knn 0 仅当 k1 k2 kn 0 时成立，或齐次线性方程组 0. 0, 0, 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n a k a k a k a k a k a k a k a k a k 只有零解.由第一章第四节定理 2 知，方程组的系数行列式 0. 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 n n n n n n a a a a a a a a a D 故 0. ' 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 D a a a a a a a a a n n n n n n 充分性 由克莱姆法则可知，以上过程反之亦然. 2） m > n 时，若向量组的前 n 个向量 n , , , 1 2 线性相关，则原向量组 线性相关.若 n , , , 1 2 线性无关，由 1）知，行列式 0. 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 n n n n n n a a a a a a a a a D 而 D 是与 1 1 2 2 n n n1 x x x 对应的线性方程组的系数行列式，由 克莱姆法则知该方程组有唯一的解，从而 n1 可由 n , , , 1 2 线性表示.再由 定理 1 知， 1 2 1 , , , , n n 线性相关，故原向量组线性相关
这个结果表明，当向量组中向量的个数大于向量的维数时，向量组必线性相 关.特别地，n+】个n维向量线性相关. 例7确定c的值，使向量组41=(1，-2,4)，a2=(0,1,2),a3=(-2,3,c)线 性相关. 解要使a1,2,C3线性相关，只要行列式 1-24 012=10+c=0, -23 所以c=-10. 四、两向量组之间的关系 定义3设有两个n维向量组 C%1,02, (3) B,B2,B, (4) 如果向量组(3)中的每个向量都能由向量组(4)中的向量线性表示，则称向量 组(3)能由向量组(4)线性表示如果向量组(3)能由向量组(4)线性表示， 且向量组(4)能由向量组(3)线性表示，则称向量组(3)与向量组(4)等价 向量组的等价具有以下性质： (1)反身性：向量组与其自身等价： (2)对称性：向量组(3)与向量组(4)等价，(4)亦与(3)等价： (3)传递性：向量组(3)与向量组(4)等价，而(4)与第三组向量等 价，则(3)亦与第三组向量等价. 在数学上，凡具有上述三条性质的关系都称为等价关系如前面已遇到过的 方程组的等价、矩阵的等价等等 向量组的等价是向量组线性相关性的又一重要概念，以下是其中关键性的定 理 定理3设向量组1，2,能由向量组B,B2,阝，线性表示，故有
这个结果表明，当向量组中向量的个数大于向量的维数时，向量组必线性相 关. 特别地， n +1 个 n 维向量线性相关. 例7 确定 c 的值，使向量组 (1, 2,4) 1 ， (0,1,2) 2 ， ( 2,3, ) 3 c 线 性相关. 解 要使 1 2 3 , , 线性相关，只要行列式 10 0 2 3 0 1 2 1 2 4 c c ， 所以 c =-10. 四、两向量组之间的关系 定义 3 设有两个 n 维向量组 r , , , 1 2 （3） 及 , , , 1 2 ， s （4） 如果向量组（3）中的每个向量都能由向量组（4）中的向量线性表示，则称向量 组（3）能由向量组（4）线性表示.如果向量组（3）能由向量组（4）线性表示， 且向量组（4）能由向量组（3）线性表示，则称向量组（3）与向量组（4）等价. 向量组的等价具有以下性质： （1） 反身性：向量组与其自身等价； （2） 对称性：向量组（3）与向量组（4）等价，（4）亦与（3）等价； （3） 传递性：向量组（3）与向量组（4）等价，而（4）与第三组向量等 价，则（3）亦与第三组向量等价. 在数学上，凡具有上述三条性质的关系都称为等价关系.如前面已遇到过的 方程组的等价、矩阵的等价等等. 向量组的等价是向量组线性相关性的又一重要概念，以下是其中关键性的定 理. 定理 3 设向量组 r , , , 1 2 能由向量组 , , , 1 2 ， s 线性表示，故有