《线性代数》课程电子教案（C）第二章 矩阵与向量 2-4 矩阵的秩

第2-4次课 教学课型：理论课☑实验课口习题课口 实践课口技能课口其它口 主要教学内容（注明：*重点#难点）： 复习向量的线性表示，向量组的线性相关、线性无关，向量组 间的表示、等价关系，向量组的最大无关组与秩，等价的向量组秩 的关系。学习矩阵的秩的概念，矩阵的秩与其行（列）向量组秩的 关系.如何求向量组的最大无关组与秩以及矩阵的秩 重点：矩阵的秩与其行（列）向量组秩的关系 难点：向量组的最大无关组与秩以及矩阵的秩 教学目的要求： (1)巩固向量组间的表示、等价关系，向量组的最大无关组 与秩等概念： (2)熟练求向量组的最大无关组与秩、向量组秩： 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 练习第二章课后剩余习题， 参考资料： 同济大学编《线性代数》 高等教育出版社

第 2-4 次课 教学课型：理论课  实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□ 主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）： 复习向量的线性表示，向量组的线性相关、线性无关，向量组 间的表示、等价关系，向量组的最大无关组与秩，等价的向量组秩 的关系。学习矩阵的秩的概念，矩阵的秩与其行（列）向量组秩的 关系.如何求向量组的最大无关组与秩以及矩阵的秩. 重点：矩阵的秩与其行（列）向量组秩的关系 难点：向量组的最大无关组与秩以及矩阵的秩. 教学目的要求： （1）巩固向量组间的表示、等价关系，向量组的最大无关组 与秩等概念； （2）熟练求向量组的最大无关组与秩、向量组秩； 教学方法和教学手段： 课堂讲授，多媒体与板书相结合 讨论、思考题、作业： 练习第二章课后剩余习题. 参考资料： 同济大学编 《线性代数》 高等教育出版社

§2.4矩阵的秩 定义】矩阵A的行向量组的秩称为A的行秩，列向量组的秩称为A的列 例1求矩阵 [1011 A=012 214 的行秩和列秩。 解A的行向量a=(L,0,1),a2=(01,2),a3=(2,1,4),由行列式 101 012=0 214 知，向量组，2，C3线性相关.又%1，C2线性无关，故心1，a2是A的行向量组的 一个最大无关组.所以矩阵A的行秩等于2. 用同样方法，可以求出A的列秩等于2. 例2求矩阵 「1131] A=02-14 0005 的行秩和列秩 解A的行向量组为%1=(1,1,3,1)，42=(0,2，-1,4)，3=(0,0,0,5).去 掉第三个分量后得到向量C1=(L1,1),2=(0,2,4),3=(0,0,5).由行列式 111 024=10≠0 005 知，向量组心1，a2,心3线性无关.由第三节例5知，向量组C1,C2,C3亦线性无 关.所以A的行秩等于3

§2.4 矩阵的秩 定义 1 矩阵 A 的行向量组的秩称为 A 的行秩，列向量组的秩称为 A 的列 秩. 例 1 求矩阵            2 1 4 0 1 2 1 0 1 A 的行秩和列秩. 解 A 的行向量 (1,0,1) 1  ， (0,1,2)  2  ， (2,1,4) 3  ，由行列式 0 2 1 4 0 1 2 1 0 1  知，向量组 1 2 3  , , 线性相关.又 1 2  , 线性无关，故 1 2  , 是 A 的行向量组的 一个最大无关组.所以矩阵 A 的行秩等于 2. 用同样方法，可以求出 A 的列秩等于 2. 例 2 求矩阵             0 0 0 5 0 2 1 4 1 1 3 1 A 的行秩和列秩. 解 A 的行向量组为 (1,1,3,1) 1  ， (0,2, 1,4)  2   ， (0,0,0,5) 3  .去 掉第三个分量后得到向量 (1,1,1) ' 1  ， (0,2,4) '  2  ， (0,0,5) ' 3  .由行列式 10 0 0 0 5 0 2 4 1 1 1   知，向量组 ' 3 ' 2 ' 1  , , 线性无关.由第三节例 5 知，向量组 1 2 3  , , 亦线性无 关.所以 A 的行秩等于 3

A的列向量组为 a-op o05 4个三维向量必线性相关，而月，B2,B,线性无关，这是因为 111 024=10≠0 005 所以A的列秩亦等于3. 例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的.为了证明这一点，我们有 以下两个定理 定理1初等行（列）变换不改变矩阵的行（列）秩. 证只要证明三种初等行变换都不改变矩阵的行秩即可. 下面只就第三种初等行变换不改变矩阵的行秩证明之，其余两种留给作者自 己来完成。 设m×n矩阵A的行向量组为a1,a2,0m,且 A= =B. 可知，矩阵A的行向量组可由B的行向量组线性表示. 显然，矩阵B的行向量组也可由A的行向量组线性表示所以，矩阵A,B的 行向量组等价.从而矩阵A,B的行向量组的秩相同， 定理1亦可作为初等变换不改变线性方程组中独立方程的个数的理论依据。 定理2初等行（列）变换不改变矩阵列（行）向量间的线性关系 为了弄清定理2的含义，我们来看下面例题. 例3设矩阵

A 的列向量组为                                             5 4 1 0 -1 3 0 2 1 0 0 1 1 ，  2 ，  3 ，  2 . 4 个三维向量必线性相关，而 1 2 4  ,  ,  线性无关，这是因为 10 0 0 0 5 0 2 4 1 1 1   . 所以 A 的列秩亦等于 3. 例 1 和例 2 中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的.为了证明这一点，我们有 以下两个定理. 定理 1 初等行（列）变换不改变矩阵的行（列）秩. 证 只要证明三种初等行变换都不改变矩阵的行秩即可. 下面只就第三种初等行变换不改变矩阵的行秩证明之，其余两种留给作者自 己来完成. 设 mn 矩阵 A 的行向量组为    m , , , 1 2  ,且 B k A m j i j r kr m j i i j                                                               1 1 ~ . 可知，矩阵 A 的行向量组可由 B 的行向量组线性表示. 显然，矩阵 B 的行向量组也可由 A 的行向量组线性表示.所以，矩阵 A ，B 的 行向量组等价.从而矩阵 A， B 的行向量组的秩相同. 定理 1 亦可作为初等变换不改变线性方程组中独立方程的个数的理论依据. 定理 2 初等行（列）变换不改变矩阵列（行）向量间的线性关系. 为了弄清定理 2 的含义，我们来看下面例题. 例 3 设矩阵

「1130] A=02-15 6024 其列向量a41,a2,a1,a4间有线性关系：a4=41+202-&3 对矩阵A作如下初等行变换： 013011301 402-1502-15 0-6-16400-1919 -130]-103 02-15 0204 00100i-1 -0102 001-1001-1 矩阵B由矩阵A经过有限次初等行变换得到.易验证B的列向量B,B2,B,B,间 亦有线性关系：B,=月+2B2-B 实际上，如果把以上每做一次初等行变换所得到的矩阵的列向量间同样存在 上述线性关系. 由定理2，可得 推论1初等行（列）变换不改变矩阵的列（行）秩. 对于定理2以及推论1，在介绍矩阵的运算之后，可以很容易的证明. 定理3矩阵的行秩等于列秩 证由于m×n矩阵A总可以经过有限次初等变换化为标准形

            6 0 2 4 0 2 1 5 1 1 3 0 A ， 其列向量 1 2 3 4  , , , 间有线性关系： 4 1  2 2 3 . 对矩阵 A 作如下初等行变换：                            0 0 19 19 0 2 1 5 1 1 3 0 ~ 0 6 16 4 0 2 1 5 1 1 3 0 ~ 3 6 1 3 3 2 r r r r A                            0 0 1 1 0 2 0 4 1 1 0 3 ~ 0 0 1 1 0 2 1 5 1 1 3 0 ~ 31 2 3 3 3 ) 1 9 1 ( r r r r r B r r r                          0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 1 ~ 0 0 1 1 0 1 0 2 1 1 0 3 ~ 1 2 2 2 1 . 矩阵 B 由矩阵 A 经过有限次初等行变换得到.易验证 B 的列向量 1 2 3 4  ,  ,  ,  间 亦有线性关系：  4  1  2 2   3 . 实际上，如果把以上每做一次初等行变换所得到的矩阵的列向量间同样存在 上述线性关系. 由定理 2，可得 推论 1 初等行（列）变换不改变矩阵的列（行）秩. 对于定理 2 以及推论 1，在介绍矩阵的运算之后，可以很容易的证明. 定理 3 矩阵的行秩等于列秩. 证 由于 mn 矩阵 A 总可以经过有限次初等变换化为标准形

[10.00.01 01.00.0 . 1=00.10.0 .第r行 00.00.0 . 00.00.0 第列 而矩阵/的行秩等于r,根据定理1及定理2的推论1知，对A进行初等行变换 和初等列变换，它的行秩和列秩都不改变，所以A的行秩和列秩都应等于，即 A的行秩等于列秩】 定义2矩阵A的行秩和列秩，统称为矩阵A的秩，记为(A). 对于m×n矩阵A,显然R(4)满足条件：0≤R()≤min{m,n.若A为n阶 方阵，且R(4)=n,则称A为满秩矩阵 由以上定理及定义2即得 推论1若矩阵A台B,则R(4)=R(B) 推论1给出了用初等变换求矩阵秩的方法：将已知矩阵A化为阶梯形矩阵后， 阶梯形矩阵的非零行数就是A的秩。 例4设矩阵 「1-2-1021 -2426-6 A= 2 -1023 33334 求R() 解 「1-2-1021 1 -2 -10 21 +2 0006-2 3 2 2 -1 3 22 0 0 0 6 -2 09 63-2 10 0 0 -3 1

第 行 第 列 r r m n I                                                  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ， 而矩阵 I 的行秩等于 r ，根据定理 1 及定理 2 的推论 1 知，对 A 进行初等行变换 和初等列变换，它的行秩和列秩都不改变，所以 A 的行秩和列秩都应等于 r ，即 A 的行秩等于列秩. 定义 2 矩阵 A 的行秩和列秩，统称为矩阵 A 的秩，记为 r(A) . 对于 mn 矩阵 A ，显然 R(A) 满足条件： 0  R(A)  min{m,n}.若 A 为 n 阶 方阵，且 R(A)  n,则称 A 为满秩矩阵. 由以上定理及定义 2 即得 推论 1 若矩阵 A  B ，则 R(A)  R(B) . 推论1给出了用初等变换求矩阵秩的方法：将已知矩阵 A 化为阶梯形矩阵后， 阶梯形矩阵的非零行数就是 A 的秩. 例 4 设矩阵                   3 3 3 3 4 2 1 0 2 3 2 4 2 6 6 1 2 1 0 2 A ， 求 R(A). 解                     0 9 6 3 2 0 3 2 2 1 0 0 0 6 2 1 2 1 0 2 ~ 3 1 2 1 4 1 2 2 3 r r r r r r A                    0 0 0 3 1 0 0 0 6 2 0 3 2 2 1 1 2 1 0 2 ~ 4 3 2 3 r 3r r r

1-2-1021 0322-1 0006-2 00000 所以R(A)=3. 矩阵的初等变换也可以方便地用来求向量组的秩以及最大无关组.具体做 法是：用已知向量为列（行）向量做成矩阵，并用初等行（列）变换将其转化为 行（列）阶梯形矩阵.此时，阶梯形矩阵的非零行（列）数就是向量组的秩.而每 一非零行的第一非零元素所在的列对应的原向量组中的向量构成了向量组的一 个最大无关组. 例5求向量组 a1=1,-1,2,4),a2=(0.3,1,2.a1=(3,0,7,14),a4=L-1,2,0),4=(2,15,6) 的最大无关组及其秩，并将其余向量用此最大无关组来线性表示 解以Q,Q2,C,C4,做成矩阵A,对A只进行初等行变换 [103127 [103127 「10312 d= -130-11203303801101 21725 401101000-4 -4 421406 022-4-200000 所以，向量组%1,0%2，C3,04,C3的一个最大无关组为0%1，C2,C4 再对A继续进行初等行变换，化为行最筒形得 0301 00000 所以 a3-3a1+a2+0ag a5=41+a2+a4 例6已知向量a1=(1,41,0),2=(1,2,3),a3=(1,3,) 1)1为何值时，a1,2,a3线性相关？ 2)当向量组%1,2,3线性相关时，将其中一个向量用其余向量线性表示

                 0 0 0 0 0 0 0 0 6 2 0 3 2 2 1 1 2 1 0 2 ~ 4 3 2 1 r r ， 所以 R(A)  3. 矩阵的初等变换也可以方便地用来求向量组的秩以及最大无关组.具体做 法是：用已知向量为列（行）向量做成矩阵，并用初等行（列）变换将其转化为 行（列）阶梯形矩阵.此时，阶梯形矩阵的非零行（列）数就是向量组的秩.而每 一非零行的第一非零元素所在的列对应的原向量组中的向量构成了向量组的一 个最大无关组. 例 5 求向量组 α1 2 3     (1, 1,2,4),α (0,3,1,2),α (3,0,7,14) , α4   (1, 1,2,0) , α5  (2,1,5,6) 的最大无关组及其秩，并将其余向量用此最大无关组来线性表示. 解 以 1 2 3 4 5  , , , , 做成矩阵 A ，对 A 只进行初等行变换              4 2 14 0 6 2 1 7 2 5 -1 3 0 -1 1 1 0 3 1 2 A                   0 2 2 4 2 0 1 1 0 1 0 3 3 0 3 1 0 3 1 2 3 1 2 1 4 1 2 4 r r r r r r                   0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 0 1 1 0 1 1 0 3 1 2 3 2 2 3 4 3 3 2 r r r r r r 所以，向量组 1 2 3 4 5  , , , , 的一个最大无关组为 1 2 4  , , . 再对 A 继续进行初等行变换，化为行最简形得 A                 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 3 0 1 3 3 3 2 3 1 3 4 1 - - r r r r r r r （ ） 所以          5 1 2 4 3 3 1 2 0 4         例 6 已知向量 (1,4,1,0), 1  (1,2,3)  2  ， (1,3, ) 3   t . 1） t 为何值时， 1 2 3  , , 线性相关？ 2）当向量组 1 2 3  , , 线性相关时，将其中一个向量用其余向量线性表示

解法一：以a1,a2,a3为列向量得矩阵A,并对A实施初等变换如下 1s-11-11 A=123-012-012 3021- 00t-5 1)当1-5=0，即1=5时，R(4)=2<3,所以a1,a2,a3线性相关 2)1=5时，继续对A实施初等行变换，得 「1111「10-1 A~012~012=B 000000 矩阵B的列向量间有线性关系： 2=0+21 由定理2即得 a3=-a1+2a2 法二：要使%1,2,3线性相关，只需以1,2,3为列向量得矩阵A的行列 式等于零，即 111 4=012=0 13t-5 即1=5.以下同法一 在m×n矩阵中，任取k行与k列(k≤min{m,n),位于这些行、列交叉处 的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式，称为矩 阵A的k阶子式 m×n矩阵共有CC个k阶子式，n阶方阵A=(ag)mm的最高阶子式只有 一个，即n阶行列式△(a,) 关于矩阵的秩，也可以如下定义 定义3矩阵A的不为零的子式的最高阶数，叫做矩阵A的秩

解 法一：以 1 2 3  , , 为列向量得矩阵 A ，并对 A 实施初等变换如下                                     0 0 5 0 1 2 1 1 1 ~ 0 2 1 0 1 2 1 1 1 ~ 1 3 1 2 3 1 1 1 2 1 3 2 3 1 2 t t t A r r r r r r . 1）当 t - 5  0 ，即 t =5 时， R(A)  2  3 ，所以 1 2 3  , , 线性相关. 2） t  5 时，继续对 A 实施初等行变换，得 A B r r                        0 0 0 0 1 2 1 0 1 ~ 0 0 0 0 1 2 1 1 1 ~ 1 2 . 矩阵 B 的列向量间有线性关系：                                  0 1 0 2 0 0 1 0 2 1 . 由定理 2 即得 2 . 3  1   2 法二：要使 1 2 3  , , 线性相关，只需以 1 2 3  , , 为列向量得矩阵 A 的行列 式等于零，即 0 1 3 5 0 1 2 1 1 1    t A , 即 t  5 .以下同法一. 在 mn 矩阵中，任取 k 行与 k 列 (k  min{m,n}) ，位于这些行、列交叉处 的 2 k 个元素，不改变它们在 A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式，称为矩 阵 A 的 k 阶子式. mn 矩阵共有 k n k CmC 个 k 阶子式， n 阶方阵 A  aij nn ( ) 的最高阶子式只有 一个，即 n 阶行列式 ( )  aij . 关于矩阵的秩，也可以如下定义. 定义 3 矩阵 A 的不为零的子式的最高阶数，叫做矩阵 A 的秩

容易证明，该定义与定义2是等价的 例7求例4中矩阵 「1-2-102 4=2426-6 2-1023 33334 的秩 解由例4对A作初等行变换的结果易知，4×5矩阵A的C4C=5个4阶 子式全为零，于是R4)s3.又A的一个3阶子式 1-12 -22-6=4≠0， 203 于是R(A)=3 以矩阵不为零的子式的最高阶数给出的矩阵秩的定义，在矩阵理论中具有重 要作用.但以此来求矩阵的秩时，一般说来比较繁琐。本节介绍的用矩阵的初等麦 换求矩阵的秩的方法是一种简单实用的方法. 下面来证明第一章第四节定理2的充分条件 对n元齐次线性方程组 a+aj2x2+.+=0, a21+a2x2+.+a2nxn=0, (2-6) an+an2x2+.+anxn=0, 设向量组 a j=1,2,n, LaJ 则方程组(2-6)等价于向量方程 x141+x2a2+.+Xn0n=0. (2-7) 若方程组(2-6)的系数行列式等于零，则其系数矩阵

容易证明，该定义与定义 2 是等价的 例 7 求例 4 中矩阵                   3 3 3 3 4 2 1 0 2 3 2 4 2 6 6 1 2 1 0 2 A 的秩. 解 由例 4 对 A 作初等行变换的结果易知， 45 矩阵 A 的 5 4 5 4 C4C  个 4 阶 子式全为零，于是 R(A)  3.又 A 的一个 3 阶子式 4 0 2 0 3 2 2 6 1 1 2      ， 于是 R(A)  3. 以矩阵不为零的子式的最高阶数给出的矩阵秩的定义，在矩阵理论中具有重 要作用.但以此来求矩阵的秩时，一般说来比较繁琐.本节介绍的用矩阵的初等变 换求矩阵的秩的方法是一种简单实用的方法. 下面来证明第一章第四节定理 2 的充分条件. 对 n 元齐次线性方程组                  0, 0, 0, 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x (2-6) 设向量组 j n a a a nj j j j , 1,2, , 2 1                    ， 则方程组（2-6）等价于向量方程 x11  x22  xn n  0. （2-7） 若方程组（2-6）的系数行列式等于零，则其系数矩阵

a11a2.aw A=da dz .an . Lam am2.am 的秩小于m,从而A的列向量组a1,a2,an线性相关.即存在不全为零的n个数 X,X2,xn使(2-7)式成立.因此，齐次线性方程组(2-6)有非零解.这表明， 系数行列式等于零也是齐次线性方程组(2-6)有非零解的充分条件.至此，第 一章第四节定理2便得到证明

                    n n n n n n a a a a a a a a a A 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 的秩小于 n ，从而 A 的列向量组    n , , , 1 2  线性相关.即存在不全为零的 n 个数 n x , x , , x 1 2  使（2-7）式成立.因此，齐次线性方程组（2-6）有非零解.这表明， 系数行列式等于零也是齐次线性方程组（2-6）有非零解的充分条件. 至此，第 一章第四节定理 2 便得到证明