信号与系统 第七章
信号与系统 第七章
第7章状态变量分析 7.1状态与状态空间 72连续系统状态方程的建立 7.3连续系统状态方程的解 74离散系统状态变量分析 7.5系统的可控制性和可观测性 习题7
第7章 状态变量分析 7.1 状态与状态空间 7.2 连续系统状态方程的建立 7.3 连续系统状态方程的解 7.4 离散系统状态变量分析 7.5 系统的可控制性和可观测性 习题7
第7章状态变量分析 分析一个物理系统,首先必须建立系统的数学模型,以便 利用有效的数学工具解决实际问题。在系统分析中常用的系 统描述方法有输入-输出描述法和状态变量描述法两大类。 前面几章讨论的信号与系统各种分析方法属于输入-输出描述 法( input-output description),又称端口分析法,也称外部法 它强调用系统的输入、输出变量之间的关系来描述系统的特 性。一旦系统的数学模型建立以后,就不再关心系统内部的 情况,而只考虑系统的时间特性和频率特性对输岀物理量的 影响。这种分析法对于信号与系统基本理论的掌握,对于较 为简单系统的分析是合适的。其相应的数学模型是n阶微分 (或差分)方程。 随着系统的复杂化,往往要遇到非线性、时变、多输入、多 输出系统的情况。此外,许多情况下在研究其外部特性的同
第7章 状态变量分析 分析一个物理系统，首先必须建立系统的数学模型，以便 利用有效的数学工具解决实际问题。在系统分析中常用的系 统描述方法有输入-输出描述法和状态变量描述法两大类。 前面几章讨论的信号与系统各种分析方法属于输入-输出描述 法(input-output description),又称端口分析法，也称外部法。 它强调用系统的输入、输出变量之间的关系来描述系统的特 性。一旦系统的数学模型建立以后，就不再关心系统内部的 情况，而只考虑系统的时间特性和频率特性对输出物理量的 影响。这种分析法对于信号与系统基本理论的掌握，对于较 为简单系统的分析是合适的。其相应的数学模型是n 阶微分 (或差分)方程。 随着系统的复杂化，往往要遇到非线性、时变、多输入、多 输出系统的情况。此外，许多情况下在研究其外部特性的同
时,还需要研究与系统内部情况有关的问题,如复杂系统的 稳定性分析,最佳控制,最优设计等等。这时,就需要采用 以系统内部变量为基础的状态变量描述法( state variable description),这是一种内部法。它用状态变量描述系统内部 变量的特性,并通过状态变量将系统的输入和输出变量联系 起来,用于描述系统的外部特性。与输入-输出描述法相比, 状态变量描述法具有以下主要优点: (1)可以有效地提供系统内部的信息,使人们较为容易地 处理那些与系统内部情况有关的分析、设计问题; (2)状态变量分析法不仅适用于线性时不变的单输入-单输 出系统特性的描述,也适用于非线性、时变、多输入、多输 出系统特性的描述; (3)便于应用计算机技术解决复杂系统的分析计算
时，还需要研究与系统内部情况有关的问题，如复杂系统的 稳定性分析，最佳控制，最优设计等等。这时，就需要采用 以系统内部变量为基础的状态变量描述法(state variable description)，这是一种内部法。它用状态变量描述系统内部 变量的特性，并通过状态变量将系统的输入和输出变量联系 起来，用于描述系统的外部特性。与输入-输出描述法相比， 状态变量描述法具有以下主要优点： (1) 可以有效地提供系统内部的信息，使人们较为容易地 处理那些与系统内部情况有关的分析、设计问题； (2) 状态变量分析法不仅适用于线性时不变的单输入-单输 出系统特性的描述，也适用于非线性、时变、多输入、多输 出系统特性的描述； (3) 便于应用计算机技术解决复杂系统的分析计算
本章首先介绍状态和状态空间的概念和状态变量描述的方法, 然后给出连续和离散系统状态方程和输出方程的建立和求解的 方法,最后简要地讨论状态空间中系统可控制性和可观测性的 判定问题 71状态与状态空间 为了方便建立状态方程,下面先给出连续系统状态变量分析 法中常用的几个名词的定义。 1状态( (State)状态可理解为事物的某种特性。状态发生变化 意味着事物有了发展和改变,所以,状态是研究事物的一类依 据。系统的状态就是系统的过去,现在和将来的状况。从本质 上说,系统的状态是指系统的储能状况。 2状态变量( state variable)用来描述系统状态的数目最少的 组变量。显然,状态变量实质上反映了系统内部储能状态的 变化。常用x;(t),x2(t),…来表示
本章首先介绍状态和状态空间的概念和状态变量描述的方法， 然后给出连续和离散系统状态方程和输出方程的建立和求解的 方法，最后简要地讨论状态空间中系统可控制性和可观测性的 判定问题。 7.1 状态与状态空间 为了方便建立状态方程，下面先给出连续系统状态变量分析 法中常用的几个名词的定义。 1.状态(state) 状态可理解为事物的某种特性。状态发生变化 意味着事物有了发展和改变，所以，状态是研究事物的一类依 据。系统的状态就是系统的过去，现在和将来的状况。从本质 上说，系统的状态是指系统的储能状况。 2.状态变量(state variable) 用来描述系统状态的数目最少的 一组变量。显然，状态变量实质上反映了系统内部储能状态的 变化。常用 x1 (t), x2 (t), 来表示
这组状态变量可以完全唯一地确定系统t>t任意时刻的运动 状况。这种所谓“完全”表示反映了系统的全部状况,“最 少”表示确定系统的状态没有多余的信息。 3状态矢量( (State vector)能够完全描述一个系统行为的n个状 态变量,可以看成一个矢量的各个分量的坐标,此时矢量称 为状态矢量,并可写成矩阵的形式 x()=[x1(),x2(),…] (71-1) 4.状态空间( state space)状态矢量所在的空间称为状态空间。 状态矢量所包含的状态变量的个数就是状态空间的维数,也 称系统的复杂度阶数 Corder of complexity),简称系统的阶数。 5.状态轨迹( state orb)在状态空间中,系统在任意时刻的 状态都可以用状态空间中的一点(端点)来表示。状态矢量的端 点随时间变化而描述的路径,称为状态轨迹
这组状态变量可以完全唯一地确定系统 t>t0 任意时刻的运动 状况。这种所谓“完全”表示反映了系统的全部状况， “最 少”表示确定系统的状态没有多余的信息。 3.状态矢量(state vector)能够完全描述一个系统行为的 n 个状 态变量，可以看成一个矢量的各个分量的坐标，此时矢量称 为状态矢量，并可写成矩阵的形式 (7.1-1) 4. 状态空间(state space) 状态矢量所在的空间称为状态空间。 状态矢量所包含的状态变量的个数就是状态空间的维数，也 称系统的复杂度阶数(order of complexity)，简称系统的阶数。 5. 状态轨迹(state orbit) 在状态空间中，系统在任意时刻的 状态都可以用状态空间中的一点(端点)来表示。状态矢量的端 点随时间变化而描述的路径，称为状态轨迹。 x(t) = x t x t T 1 2 ( ), ( ),
用状态变量来描述和分析系统的方法称为状态变量分析法。 当已知系统的模型及激励,用状态变量分析法时,一般分两步 进行:一是选定状态变量,并列写出用状态变量描述系统特性 的方程,一般是一阶微分(或差分)方程组,它建立了状态变量 与激励之间的关系;同时,还要建立有关响应与激励、状态变 量关系的输出方程,一般是一组代数方程;二是利用系统的初 始条件求取状态方程和输出方程的解。 可见,建立状态方程遇到的第一个问题是选定状态变量。若已 知电路,最习惯选取的状态变量是电感的电流和电容的电压, 因为它们直接与系统的储能状态相联系。但也可以选择电感中 的磁链或电容上的电荷。甚至有时可以选用不是系统中实际存 在的物理量。但是状态变量必须是一组独立的变量,即所谓动 态独立变量,即系统复杂度的阶数n
用状态变量来描述和分析系统的方法称为状态变量分析法。 当已知系统的模型及激励，用状态变量分析法时，一般分两步 进行：一是选定状态变量，并列写出用状态变量描述系统特性 的方程，一般是一阶微分(或差分)方程组，它建立了状态变量 与激励之间的关系；同时，还要建立有关响应与激励、状态变 量关系的输出方程，一般是一组代数方程；二是利用系统的初 始条件求取状态方程和输出方程的解。 可见，建立状态方程遇到的第一个问题是选定状态变量。若已 知电路，最习惯选取的状态变量是电感的电流和电容的电压， 因为它们直接与系统的储能状态相联系。但也可以选择电感中 的磁链或电容上的电荷。甚至有时可以选用不是系统中实际存 在的物理量。但是状态变量必须是一组独立的变量，即所谓动 态独立变量，即系统复杂度的阶数 n
72连续系统状态方程的建立 状态方程的建立主要有两大类:直接法和间接法。依据给 定系统结构直接编写出系统的状态方程。这种方法直观,有 很强的规律性,特别适用于电网络的分析计算。间接法常利 用系统的输入-输出方程、系统模拟图或信号流图编写状态方 程。这种方法常用于系统模拟和系统控制的分析设计。本节 主要讨论连续系统状态方程的建立 721连续系统状态方程的一般形式 连续系统的状态方程是状态变量的一阶微分方程组,用矩 阵形式来表示,为 ⅹ=Ax+Bv 输出方程为 y=CX+Dv
7.2 连续系统状态方程的建立 状态方程的建立主要有两大类：直接法和间接法。依据给 定系统结构直接编写出系统的状态方程。这种方法直观，有 很强的规律性，特别适用于电网络的分析计算。间接法常利 用系统的输入-输出方程、系统模拟图或信号流图编写状态方 程。这种方法常用于系统模拟和系统控制的分析设计。本节 主要讨论连续系统状态方程的建立。 7.2.1连续系统状态方程的一般形式 连续系统的状态方程是状态变量的一阶微分方程组，用矩 阵形式来表示，为 x = Ax+ Bv 输出方程为 y = Cx + Dv
上式中,系数矩阵A为n×n方阵,称为系统矩阵;系数矩阵 B为n×m矩阵,称为控制矩阵;系数矩阵C为r×η矩阵,称 为输出矩阵;系数矩阵D为r×m矩阵。对于线性时不变系统, 这些矩阵都是常数矩阵 722由电路图建立状态方程 为建立电路的状态方程,首先要选择状态变量,其中,电容 和电感元件的VCR在电压、电流关联参考方向下,有如下关 系,即 d i=c VL=L 可见,若选择电容的电压和电感的电流作为状态变量很容 易满足状态方程的形式。实际上,电容的电压和电感的电流 正反映了电容和电感的储能状态。一般地说,由电路直接建 立状态方程的步骤如下:
上式中，系数矩阵A为 n×n方阵，称为系统矩阵；系数矩阵 B为n×m矩阵，称为控制矩阵；系数矩阵C为r×n矩阵，称 为输出矩阵；系数矩阵D为r×m矩阵。对于线性时不变系统， 这些矩阵都是常数矩阵。 7 .2.2 由电路图建立状态方程 为建立电路的状态方程，首先要选择状态变量，其中，电容 和电感元件的VCR在电压、电流关联参考方向下，有如下关 系，即 ， 。 可见，若选择电容的电压和电感的电流作为状态变量很容 易满足状态方程的形式。实际上，电容的电压和电感的电流 正反映了电容和电感的储能状态。一般地说，由电路直接建 立状态方程的步骤如下： dt dv i C C C = dt di v L L L =
1.选择独立的电容电压和电感电流作为状态变量; 2.对于电容C应用KCL写出该电容的电流=CN dt 与其它状态变量和输入变量的关系式; 3.对于电感L应用KVL写出该电感的电压v=∠y dt 与其它状态变量和输入变量的关系式; 4.消除非状态变量(称为中间变量); 5.整理成状态方程和输出方程的标准形式
1．选择独立的电容电压和电感电流作为状态变量； 2．对于电容C应用KCL写出该电容的电流 与其它状态变量和输入变量的关系式； 3．对于电感L应用KVL写出该电感的电压 与其它状态变量和输入变量的关系式； 4． 消除非状态变量(称为中间变量)； 5． 整理成状态方程和输出方程的标准形式。 dt dv i C C C = dt di v L L L =