第5章离散信号与系统的时域分析 51离散时间信号 52离散系统的数学模型和模拟 53离散系统的零输入响应 54离散系统的零状态响应 习题5
第5章 离散信号与系统的时域分析 5.1 离散时间信号 5.2 离散系统的数学模型和模拟 5.3 离散系统的零输入响应 5.4 离散系统的零状态响应 习题5
第五章离散信号与系统的时域分析 在本章以前,我们所讨论的系统均属连续时间系统, 这类系统用于传输和处理连续时间信号。此外,还有 类用于传输和处理离散时间信号的系统称之为离散时间 系统,简称离散系统。数字计算机以及数字通信系统和 数字控制系统的主要部分均属于离散系统。鉴于离散系 统在精度、抗干扰能力和可集成化等诸方面,比连续系 统具有更大的优越性。随着数字技术和计算机技术的飞 速发展,大量原属于连续信号和系统的问题,越来越多 地转化成离散信号和系统的问题加以处理。 关于离散信号和系统的分析,在许多方面都与连续信号 和系统的分析相类似,两者之间具有一定的平行关系。 在系统特性的描述方面,连续系统输入-输出关系的数学 模型是微分方程。离散时间系统输入-输出关系的数学模 型是差分方程;在系统分析方法方面,连续系统有时域
第五章 离散信号与系统的时域分析 在本章以前,我们所讨论的系统均属连续时间系统, 这类系统用于传输和处理连续时间信号。此外,还有一 类用于传输和处理离散时间信号的系统称之为离散时间 系统,简称离散系统。数字计算机以及数字通信系统和 数字控制系统的主要部分均属于离散系统。鉴于离散系 统在精度、抗干扰能力和可集成化等诸方面,比连续系 统具有更大的优越性。随着数字技术和计算机技术的飞 速发展,大量原属于连续信号和系统的问题,越来越多 地转化成离散信号和系统的问题加以处理。 关于离散信号和系统的分析,在许多方面都与连续信号 和系统的分析相类似,两者之间具有一定的平行关系。 在系统特性的描述方面,连续系统输入-输出关系的数学 模型是微分方程。离散时间系统输入-输出关系的数学模 型是差分方程;在系统分析方法方面,连续系统有时域
频域和S域分析法,离散系统有时域、频域和Z域分析法; 在系统响应的分解方面,则都可以分解为零输入响应和零 状态响应,等等。无疑,在进行离散信号与系统的学习时, 经常把它与连续信号与系统相对比,这对于其分析方法的 理解、掌握和运用是很有帮助的。但应该指出,既然是两 类不同的问题,离散信号与系统有自己的特殊性,必然存 在一些差别,学习时也应该注意这些差别。 本章讨论离散信号与系统的时域分析。 51离散时间信号 5.11离散时间信号的时域描述 连续时间信号,在数学上可以表示为连续时间变量t的函数, 除个别间断点外,这些信号的波形是光滑的曲线,如图51 l(a)所示,这一类信号称为模拟信号( analog signal)
频域和S域分析法,离散系统有时域、频域和Z域分析法; 在系统响应的分解方面,则都可以分解为零输入响应和零 状态响应,等等。无疑,在进行离散信号与系统的学习时, 经常把它与连续信号与系统相对比,这对于其分析方法的 理解、掌握和运用是很有帮助的。但应该指出,既然是两 类不同的问题,离散信号与系统有自己的特殊性,必然存 在一些差别,学习时也应该注意这些差别。 本章讨论离散信号与系统的时域分析。 5.1 离散时间信号 5.1.1 离散时间信号的时域描述 连续时间信号,在数学上可以表示为连续时间变量t的函数, 除个别间断点外,这些信号的波形是光滑的曲线,如图5.1- 1(a)所示,这一类信号称为模拟信号(analog signal)
大多数客观存在的信号都是属于这一类信号。还有一类信号 (如电报信号等),虽然它的时间取值是连续的,但它的幅度 却只限于有限个数值,这一类信号称为量化信号( quantized signal),如图5.1-1(b)所示。以上两类信号都是连续时间信 号 离散时间信号(简称离散信号, discrete signal)与连续时间 信号不同,它仅在一系列离散的时刻才有定义,因此它是离散 时间变量1的函数,如图5.1-1(c)所示的离散信号只在t1、12、 时刻有定义,在1和t2,2和12…之间则没有定义。如果信号 不仅在时间取值是离散的,而且在幅度上又是量化的,则称为 数字信号( digital signal),如图5,1-1(d)所示,在数字通信 和计算机中传输和处理的信号就是数字信号。今后所讨论的离 散信号,可以是数字信号,也可以不是。两者在分析方法上并 无区别 有些信号尽管它们实际上是连续的,但是如果满足取样定理的 要求,仅对它们的取样值感兴趣,或者由于无法或没有必要了
大多数客观存在的信号都是属于这一类信号。还有一类信号 (如电报信号等),虽然它的时间取值是连续的,但它的幅度 却只限于有限个数值,这一类信号称为量化信号(quantized signal),如图5.1-1(b)所示。以上两类信号都是连续时间信 号。 离散时间信号(简称离散信号,discrete signal)与连续时间 信号不同,它仅在一系列离散的时刻才有定义,因此它是离散 时间变量t k的函数,如图5.1-1(c)所示的离散信号只在t 1、t 2、 t 3…时刻有定义,在t 1和t 2,t 2和t 3…之间则没有定义。如果信号 不仅在时间取值是离散的,而且在幅度上又是量化的,则称为 数字信号(digital signal),如图5.1-1(d)所示,在数字通信 和计算机中传输和处理的信号就是数字信号。今后所讨论的离 散信号,可以是数字信号,也可以不是。两者在分析方法上并 无区别。 有些信号尽管它们实际上是连续的,但是如果满足取样定理的 要求,仅对它们的取样值感兴趣,或者由于无法或没有必要了
解它们整个过程的连续变化情况,而只能或只需测得其取 样值,也可以把它们当作离散时间信号来看待。所以离散 时间信号可以是连续时间信号经过离散化(即取样)的结 果 用f(t)表示离散时间信号,其中←表示离散的时刻,通常离 散时刻之间的间隔T是均匀的,即7=t+x-t为常量,故可以 用f(kT)来表示离散时间信号,简写为f(k)。也就是说离散 时间信号抽象为离散变量k的函数,这里k的取值为整数。 这样做不仅简便而且具有更为普遍的意义,即离散变量k可 以不限于代表时间。离散信号在数学上可以表示为数值的 序列,为了方便,序列f(k)与序列的第个值两者在符号上 不加区别 离散信号的函数值是一个序列{,3,1,0,Q,1,3, 6,…}(下面画有短线的数值是序号k=0的数值)。它的
解它们整个过程的连续变化情况,而只能或只需测得其取 样值,也可以把它们当作离散时间信号来看待。所以离散 时间信号可以是连续时间信号经过离散化(即取样)的结 果。 用f (t k )表示离散时间信号,其中 t k表示离散的时刻,通常离 散时刻之间的间隔T是均匀的,即T= tk+1- t k为常量,故可以 用f (kT )来表示离散时间信号,简写为f (k)。也就是说离散 时间信号抽象为离散变量k的函数,这里k的取值为整数。 这样做不仅简便而且具有更为普遍的意义,即离散变量k可 以不限于代表时间。离散信号在数学上可以表示为数值的 序列,为了方便,序列f (k)与序列的第k个值两者在符号上 不加区别。 离散信号的函数值是一个序列 {…,3,1,0,0,1,3, 6,… } (下面画有短线的数值是序号k = 0的数值 )。它的
图形如图5.1-2所示,为了醒目,这些离散值画成一条条不同 高度的垂线,其中每条垂线的端点才是实际的函数值。 根据离散变量k的取非零值范围,序列可分为以下三种情况: 若序列f(k)对所有的整数)都存在非零确定值,称这类序列 为双边序列。 若当≤k时,f(k)=0,则(k)称为有始序列或右边 序列,反之若当k≥k2时,f(k)=0,则f(k)称为有终序列 或左边序列。而k1≥0的有始序列称为因果序列,k1≤O 的有终序列称为反因果序列。统称为单边序列 若f(k)仅在k1≤k≤k2(k2>k1,整数)区间有非零确定 值,称这类序列为有限序列
图形如图5.1-2所示,为了醒目,这些离散值画成一条条不同 高度的垂线,其中每条垂线的端点才是实际的函数值。 根据离散变量k的取非零值范围,序列可分为以下三种情况: 若序列f (k) 对所有的整数)都存在非零确定值,称这类序列 为双边序列。 若 ,则f (k) 称为有始序列或右边 序列,反之若 ,则f (k) 称为有终序列 或左边序列。而 的有始序列称为因果序列, 的有终序列称为反因果序列。统称为单边序列。 若f (k)仅在 ,整数)区间有非零确定 值,称这类序列为有限序列。 当k k1 时,f (k) = 0 当k k2 时,f (k) = 0 k1 0 k1 0 1 2 2 1 k k k (k k
5.12离散信号的一些基本运算 在离散信号与系统分析中,常遇到序列的某些基本运算 1.序列相加 序列f(k)与2(k)相加,是指两个序列同序号的数值逐项相 应相加,而构成一个新的序列fk),即 f(k)=f1(k)+f2(k) (5.1-1) 2.序列相乘 序列f(k)与2(k)相乘,是指两个序列同序号的数值逐项相 应相乘,而构成一个新的序列f(k),即 f(k)=f(h)·f2(k) (5.1-2)
5.1.2 离散信号的一些基本运算 在离散信号与系统分析中,常遇到序列的某些基本运算。 1. 序列相加 序列f1 (k) 与f2 (k)相加,是指两个序列同序号的数值逐项相 应相加,而构成一个新的序列f(k) ,即 (5.1-1) 2. 序列相乘 序列f1 (k) 与f2 (k)相乘,是指两个序列同序号的数值逐项相 应相乘,而构成一个新的序列f(k) ,即 ( ) ( ) ( ) 1 2 f k = f k + f k ( ) ( ) ( ) 1 2 f k = f k f k (5.1-2)
3.序列折叠与位移 f(k)的自变量如果用-代替,即得到一个新序列f(-k), 表示f(k)相对于纵轴翻转,称为序列折叠。如图51-3(b) 所 序列向后(右)移位是指原序列f(k)逐项依次后移或右 移m位,而得到一个新的序列f(k-m);序列向前(左)移 位是指原序列f(k)逐项前移或左移m位,而得到一个新的序 列八k+m)。分别如图51-3(c)、(d)所示。 4.序列的差分 序列f(k)的一阶前向差分( forward difference)4f(k)定义 为 4(k)=f(k+1)-f(( 5.1-3)
3. 序列折叠与位移 f (k)的自变量k如果用-k代替,即得到一个新序列f (-k), 表示f (k)相对于纵轴翻转,称为序列折叠。如图5.1-3(b) 所示。 序列向后(右)移位是指原序列f (k)逐项依次后移或右 移m位,而得到一个新的序列f (k-m);序列向前(左)移 位是指原序列f (k)逐项前移或左移m位,而得到一个新的序 列f(k+m)。分别如图5.1-3(c)、(d)所示。 4. 序列的差分 序列f (k)的一阶前向差分(forward difference)Δf (k)定义 为 f (k) = f (k +1) − f (k) (5.1-3)
阶后向差分( backward difference)定义为 Vf()=f(k)-f(k-1 (5.1-4) 同理,可以定义二阶前向差分,二阶后向差分 Δf(k)=4(k+1)-4(k) =f(k+2)-2f(k+1)+f(k) (51-5) Vf(k)=Vf(h)-vf(k-1) f(k)-2f(k-1)+f(k-2)(5.16) 依次类推,可以得到更高阶的前向和后向差分。 差分与连续系统中的微分相对应
一阶后向差分(backward difference)定义为 (5.1-4) 同理,可以定义二阶前向差分, 二阶后向差分。 (5.1-5) (5.1-6) 依次类推,可以得到更高阶的前向和后向差分。 差分与连续系统中的微分相对应。 = − − = − − + − 2 1 2 1 2 f k f k f k f k f k f k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2) 2 ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) 2 f k f k f k f k f k f k = + − + + = + − f (k) = f (k) − f (k −1)