相关基础知识回顾与补充概率论线性系统随机过程理论泛函分析矩阵分析PROFESSORCAYUANLIXran Jiaotong University
相关基础知识回顾与补充 概率论 随机过程 泛函分析 矩阵分析 线性系统 理论 Xi'an Jiaotong University PROFESSOR CAIYUANLI 1
线性系统理论基础PROFESSORCAYUANLIXiran Jiaotong University
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矩车代数与矩微积分2.1.1向量与矩阵Definition2.1.1.向量也称为失量，是由若干标量按行或列排列组成的一组数.构成向量的标量称为向量的元素，向量中元素的个数称为向量的维数。一个n维列向量可表示为Ta2(2.1)：Cn一个m维行向量可表示为(2.2)y=[31,92,**,9m]PROFESSORCAIYUANLIXian Jiaotong University3
矩阵代数与矩阵微积分 Xi'an Jiaotong University PROFESSOR CAIYUANLI 3
Definition2.1.2.矩阵是由标量构成的二维数表.具有n行、m列的矩阵称为n×m维矩阵，可表示为a11a12aima21a22a2mA=(2.3)....an2anlanm行数n和列数m相等的矩阵称为方阵Definition2.1.3.所有元素为0的矩阵（向量）称为零矩阵（零向量），简记为0Definition2.1.4.如果方阵I对角线元素为1、其他元素为0的对称方阵，即0010001= [8i](2.4).·100
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有时用下标表示单位矩阵的维数，例如I表示n×n维单位矩阵向量可以视为退化了的矩阵构成矩阵的标量称为矩阵的元素，可以是实数（R），也可以是复数(C).对于式（2.3）所示矩阵A，如果VaiiER，那么通常记为A=[aiilERnxm.类似地，实向量记为cERnxl:=Rn(VaiER),yERlxm(VyiER).(2.3)所示矩阵A可以认为是由n个行向量A,=[ai,ai2，·.，aiml(i=1,·.·，n）构成的，也可以认A1ali为是由㎡个列向量:构成的.即A=A1，A2，，An=AaniXran Jiaotong UniversityPROFESSORCAIYUANLI
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Definition2.1.5.对一组向量【a1,a2，.·an}，如果存在一组不全为零的标量[ci,C2，..·，Cn]，使得(2.6)Cia1+C2a2+..+Cnan=0那么称向量组1，2，·n是线性相关的.否则，称该向量组是线性无关的.线性无关又称为线性独立0和例如，向量和是线性相关的，因为2则是线性无关的。行血向量1,0,0,0,1,0,0,0,1，三者也是线性无关的Definition2.1.6.对于任意的矩阵A，其中线性无关行向量的个数定义为矩阵A的秩，记为p(A)可以证明，矩阵A的秩也等于A中线性无关列向量的个数Xian JiaotongUniversityPROFESSORCAIYUANLI
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Theorem2.1.1.n×m维矩阵A的秩总是小于或等于矩阵的行数n或列数m，即(2.7)p(A) ≤min(n, m)如果p(A）=min（n，m），那么称A是满秩的Theorem2.1.2.n×m维矩阵A的零度定义为[m一p(A)l把一个矩阵（A）的所有行变为列、所有列变为行，所得的新矩阵称为原矩阵的转置，记为AT.例如矩阵（2.3）的转置为a21anla11a12a22an2(2.8)4......aima2manmPROFESSORCAYUANLIXran Jiaotong University
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2.1.2 矩阵代数Definition2.1.7.具有相同维数的矩阵A=aiil和B=[biil，两者之间的加法和减法分别定义为(2.12)A + B= [aii + bij](2.13)A-B=[aij-bi]Definition2.1.8.矩阵A=[aiil与标量k之间的乘法（数乘）定义为(2.14)kA=Ak=[kai]Definition2.1.9.矩阵A（n×r维）和矩阵B（r×m维）之积（乘法）记为C=AB=[ciil，其中aikbkj(2.15)i=l,..,nj=l,...,mCij=k=1显然，A列数和B的行数需要相等，AB才有定义另外，一般地AB≠BAXran JiaotongUniversityPROFESSORCAIYUANL8
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Definition2.l.10.设a和y是相同维数的向量，标量ay称为&和y之间的内积或点积.假设&和y的维数为n，那么αTy=a1y1+a2y2+.+any(2.16)如果y=0,称两者是正交的Definition2.1.ll.VαTa称为的2-范数，记为all2=++..+(2.17)向量的2-范数也称为欧几里得范数，另外经常简记为ⅡαDefinition2.1.12.向量ERn与yERm的外积定义为ay，这是一个如下形式的矩阵：aiyC192...iymC29m&291C292(2.18)cy....anymanYmEnYm
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h1011D1nnPHPTnPp1PpnpinPpnPTh1h1PThnl2DT1TP.h.hir2=12PhiPi=1=1PROFESSORCAYUANLI10Xian Jiaotong University
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