线性最优滤波理论 蔡远利 西安交通大学电子信息学部 Spring 2022 Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 1/39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 线性最优滤波理论 蔡远利 西安交通大学电子信息学部 Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 1 / 39 Spring 2022
概述Overview离散时间随机系统基本分析。数学描述·基本假设●统计分析2状态估计基本引理最优滤波算法3。一步预测（时间修正）新息（innovation，newinformation）●量测修正。卡尔曼滤波增益·滤波方差。初始化·卡尔曼滤波算法·最优滤波等价公式·两个范例DQa口ing20202/39Prof.Yuan-LiCai(XJTU)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 概述 Overview 1 离散时间随机系统基本分析 数学描述 基本假设 统计分析 2 状态估计基本引理 3 最优滤波算法 一步预测（时间修正） 新息（innovation, new information） 量测修正 卡尔曼滤波增益 滤波方差 初始化 卡尔曼滤波算法 最优滤波等价公式 两个范例 Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 2 / 39
数学描述离散时间随机系统基本分析状态方程与量测方程考虑如下系统：(1)Ck+1=Φk+1,k+亚k+1,kuk+IkWk(2)yk+1 = Hk+1h+1 + Uk+1其中：uk为控制信号，是确定性输入；。W称为系统的过程噪声，有时又称为模型噪声，假设为均值为零的高斯不相关噪声序列;W+1称为系统的量测噪声，同样假设它是均值为零的高斯不相关噪声序列DQaProfYiaLICai(XJTU8.20203/39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 离散时间随机系统基本分析 数学描述 状态方程与量测方程 考虑如下系统： xk+1 = Φk+1,kxk + Ψk+1,kuk + Γkwk (1) yk+1 = Hk+1xk+1 + vk+1 (2) 其中： ♠ uk 为控制信号，是确定性输入； ♠ wk 称为系统的过程噪声，有时又称为模型噪声，假设为均值为零的高斯不相关噪声 序列; ♠ vk+1 称为系统的量测噪声，同样假设它是均值为零的高斯不相关噪声序列. Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 3 / 39
离散时间随机系统基本分析基本假设基本假设关于过程噪声Ew] =0cov[wk,w] =Qkokj其中，Q≥0;关于量测噪声E[] = 0cov[Uk,u] =Rkokj其中，R>0;QProf.Yuan-LiCai (XJTUering2020inerOntEler4/39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 离散时间随机系统基本分析 基本假设 基本假设 关于过程噪声 E[wk] = 0 cov[wk, wj ] = Qkδkj 其中，Qk ≥ 0; 关于量测噪声 E[vk] = 0 cov[vk, vj ] = Rkδkj 其中，Rk > 0； Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 4 / 39
离散时间随机系统基本分析基本假设相关性假设假设系统的初始状态ao也是高斯分布的随机矢量，即2o～N(mo,Po)(3)Eaomo二(4)cov[0] = Po进一步还假设(5)cov[wk, U+1] =0.Vk,j≥0(6)cov[wk, ao] =Vk≥00,(7)cov[uk+1,2o]=0,Vk≥ 0DQans2020ProfYLICai(XJTU5/39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 离散时间随机系统基本分析 基本假设 相关性假设 假设系统的初始状态 x0 也是高斯分布的随机矢量，即 x0 ∼ N(m0,P0). Ex0 = m0 (3) cov[x0] = P0 (4) 进一步还假设 cov[wk, vj+1] = 0, ∀k, j ≥ 0 (5) cov[wk, x0] = 0, ∀k ≥ 0 (6) cov[vk+1, x0] = 0, ∀k ≥ 0 (7) Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 5 / 39
统计分析离散时间随机系统基本分析基本特点考虑到（为书写方便，下式中暂时认为w=0）=Φk.k-12k-1+Ik-1Wk1Tk:=kk-1Φk-1k-2Tk-2+kk-1Fk-2Wk-2+k-1Wk-1:kΦk:020 +Φh;Fi-1Wi-11其中,Φk0=Φkk-1Φk-1,k-2**Φ1,0而Hk+Uyk=由此可知，与%也是高斯随机失量Qns2020Prof.Yuan-LiCai(XJTU)6/39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 离散时间随机系统基本分析 统计分析 基本特点 考虑到（为书写方便，下式中暂时认为 uk = 0） xk = Φk,k−1xk−1 + Γk−1wk−1 = Φk,k−1Φk−1,k−2xk−2 + Φk,k−1Γk−2wk−2 + Γk−1wk−1 . . . = Φk,0x0 + X k i=1 Φk,iΓi−1wi−1 其中, Φk,0 = Φk,k−1Φk−1,k−2 · · · Φ1,0. 而 yk = Hkxk + vk 由此可知，xk 与 yk 也是高斯随机矢量. Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 6 / 39
离散时间随机系统基本分析统计分析相关性性质当k=0(9)E=0DQa口-pring2020Prof.Yuan-LiCai(XJTUinerOntmalFilte7/39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 离散时间随机系统基本分析 统计分析 相关性性质 当 k = 0 (8) E = 0 (9) Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 7 / 39
离散时间随机系统基本分析统计分析状态均值传播方程(10)+1=+1,++1uk(11)10=moDaa口pring2020Prof.Yuan-LiCai(XJTU)inerOntmalFilte8/39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 离散时间随机系统基本分析 统计分析 状态均值传播方程 xk+1 = Φk+1,kxk + Ψk+1,kuk (10) x0 = m0 (11) Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 8 / 39
统计分析离散时间随机系统基本分析状态方差传播方程因为+1+1=+1[]+[W-所以Pk+1 = [k+1 -+1][k+1 -+1]T=+1,PT+1.h+AQT++1,[K-[W-WJTT+[[+1,考虑到（8），最后可得(12)PR+1=Φk+1,POT+1,k+IAQFTDQQ2020ProfYiaCaXTU9/39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 离散时间随机系统基本分析 统计分析 状态方差传播方程 因为 xk+1 − xk+1 = Φk+1,k[xk − xk)] + Γk[wk − wk] 所以 Pk+1 = E[xk+1 − xk+1][xk+1 − xk+1] T = Φk+1,kPkΦ T k+1,k + ΓkQkΓ T k +Φk+1,k[xk − xk][wk − wk] TΓ T k +Γk[wk − wk][xk − xk] TΦ T k+1,k 考虑到 (8)，最后可得 Pk+1 = Φk+1,kPkΦ T k+1,k + ΓkQkΓ T k (12) Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 9 / 39
统计分析离散时间随机系统基本分析状态（自）协方差方程记Pk,j = cov[rk, r]当k≥i时，因为k=+i-1i-1=1=致=+Z+1i-1Wi-1=Pki=ET-Φk,ET=kPi=ΦkiP所以ΦkjPjiifk≥j(13)PkjPAOT.if k<jQaProfYCaXITu202010/39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 离散时间随机系统基本分析 统计分析 状态 (自) 协方差方程 记 Pk,j = cov[xk, xj ] 当 k ≥ j 时，因为 xk = Φk,jxj + X k i=j+1 Φk,iΓi−1wi−1 ⇒ ¯xk = Φk,j¯xj ˚xk = Φk,j˚xj + Pk i=j+1 Φk,iΓi−1wi−1 Pk,j = E˚xk˚x T j = Φk,jE˚xj˚x T j = Φk,jPj,j = Φk,jPj 所以 Pk,j = Φk,jPj if k ≥ j PkΦ T j,k if k < j (13) Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 10 / 39