相关基础知识回顾与补充概率论线性系统随机过程理论泛函分析矩阵分析PROFESSORCAYUANLIXran Jiaotong University
相关基础知识回顾与补充 概率论 随机过程 泛函分析 矩阵分析 线性系统 理论 Xi'an Jiaotong University PROFESSOR CAIYUANLI 1
泛函分析基础知识线性空间赋范空间内积空间正交原理PROFESSORCAYUANLIXiran Jiaotong University
泛函分析基础知识 线性空间 赋范空间 内积空间 正交原理 Xi'an Jiaotong University PROFESSOR CAIYUANLI 2
一、线性空间定义【域（实数域复数域】对数的集合K，如果满足以下条件leK;1：包含零元素、单位元素，即0EK，2：对四则运算封闭，即（Vα,bEK)aa+beK, a-beK, abeK,EK(b±O)b则称为K为数域。PROFESSORCAIYUANLIXian JiaotongUniversity
一、线性空间 Xi'an Jiaotong University PROFESSOR CAIYUANLI 3
线性空间定义【线性空间】设V是非空集合，α，β,EV，K是一个数域，，μ，VEK，建立加法和数乘。两种运算。若对于两种运算封闭α@βeV,MoaeV;关于定义的两种运算满足以下8条运算规律(5）分配律(a+μoa=loαμoα(I）加法交换律α④β=β④αo)=α(6)分配律(2）加法结合律α（β甲）=（αβ）（7）结合律ao(μoα)=(am)oαQeV,α④0=α（3）存在零元素loα=α,leK-αEv(8)单位1（4）存在负元素α甲β=0=β=-α则称V为线性空间(向量空间），α，β,EV称为向量
线性空间 Xi'an Jiaotong University PROFESSOR CAIYUANLI 4
说明：?线性空间中的元素不一定是通常意义下的向量（a，az，"，αn），但是统称为向量?线性空间定义的加法和数与向量的乘法不一定是通常意义下的加法与向量的乘法。【例1】n元有序数组构成的向量(α，α2，…，a,）的集合，关于通常意义下的加法与向量的乘法，封闭；满足（1）－（8）条性质。这个集合构成向量空间，记为R”【例2]考虑V=(α=（a，az）|a,azR)和实数域R，定义两种运算：(1) α=(a,a,),β=(b,b,)eV,α@β=(a+b,a,+b,);(2)VkeR,koα=(ka,0)。显然，第8条要求不满足1α=（a，0）≠α。所以，V不构成线性空间
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【例3】考虑线性齐次微分方程的所有解V = (y = f(x) / y"(x)+ py'(x)+qy(x)=0)在V中定义通常函数的加法与数乘。显然齐次微分方程的解y+y，ky仍然是线性齐次微分方程的解，（1）-（8）条性质满足，所以形成线性空间。【例4】考虑次数小于等于n的实系数多项式集合V=(p(x)p(x)=a +ax+azx? +.+a,x", a, eR, i=1,2,,n)在V中定义通常多项式的加法与数乘。显然，V构成线性空间，记为R+[xXran JiaotongUniversityPROFESSORCAIYUANLI6
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内积空间定义【内积与内积空间】设H是数域K上的线性空间，定义函数<>H×H→K，使得：对Vx,y,zeH,αEK，满足1)≥0,且=0x=0;2) =;3) =+,=α则称为数域K中x与y的内积,而称定义了内积的空间H为内积空间。PROFESSORCAYUANLIXran JiaotongUniversity
二、内积空间 Xi'an Jiaotong University PROFESSOR CAIYUANLI 7
定义【内积诱导距离与范数】(1）范数x=<x,x）称为由内积诱导的范数。(2)距离函数p(x,J)=x-=<x-y,x-y)称为由内积诱导的距离。说明:(1）内积与由内积诱导范数的满足三角不等式关系一—许瓦兹不等式<x,y≤xy(2）由内积诱导的范数满足范数公理→内积空间按照由内积导出的范数,是线性赋范空间但反之不然。Xran JiaotongUniversityPROFESSORCAIYUANLI
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希尔伯特空间(HilbertSpace)定义设H是内积空间，若H按照由内积诱导的范数成为Banach空间，则称H是希尔伯特空间。PROFESSORCAIYUANLIXian JiaotongUniversity
希尔伯特空间(Hilbert Space) PROFESSOR CAIYUANLI 9 定义 设 H 是内积空间，若 H 按照 由内积诱导的范数成为 Banach 空 间，则称 H 是希尔伯特空间。 Xi'an Jiaotong University
【例2】?空间按照内积=12空间按照由此内积导出的范xk是内积空间；k=1≥x，是Banach 空间，因而是 Hilbert 空间；12空间中由此内积导出的距离数x=k=1(xk-yk)为p(x,y)=l x-=k=1【例3]】 L[a,b]空间按照内积=x(t)j(t)dt 是内积空间；L[a,b]空间按此内积导出的范数为l x=[[|x(t)1dt]，是Banach 空间，因而是 Hilbert 空间。L[a,b]中由内积导出的距离为 p(x,J)=x-l=[[lx(t)-(t) di}
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