试卷代号：1012 座位■ 中央广播电视大学2011一2012学年度第一学期“开放本科”期未考试（半开卷） 计算机数学基础(2) 试题 2012年1月 题 二 三 总分 分 数 得 分 评卷人 一、单项选择题（每小题4分，共20分） 1.以下误差限公式不正确的是()， A.E(x1+x2)=E(x)+E(x2) B.E(z2)=2E(x) C.e(x1x2)=x2|e(x1)+|x1e(x2)D.e(x1-x2)=e(x1)-e(x2) 2.用高斯一赛德尔迭代法解线性方程组 [x1+2x2-2x3=1 x1十x2-x3=3 2x1+2x2+x1=5 的迭代公式中x+)=( )(k=0,1,2,…). A.3-x十x B.3一x)十x+) C.3-x)十x D.3-x+D+x+) 3.以下命题正确的是( A.过n十1个互异节点的牛顿插值多项式最高次幂的系数为f(xo,x1,·,xn) (此项不为0时) B.过节点(xo,yo),(x1,y1),…,(xn,yn)(n>3),则均差∫(x3,xo,x)≠f(x, x0,x3) C.过n十1个互异节点的拉格朗日插值多项式一定是n次多项式 D.三次样条函数S(x)在每个子区间上是不超过3次的多项式 81
试卷代号 座位号 中央广播电视大学 2 0 11 2 0 2学年度第一学期"开放本科"期末考试(半开卷) 计算机数学基础 )试题 2012 年1 |题号|一|二|三|总分| |分数 I I I I 得分|评卷人 一、单项选择题(每小题 4分，共 0分} 1.以下误差限公式不正确的是( ). A. C: B. C:3) 差f( XO' x4)*f( Xo' X3) c. 个互 拉格 定是 项式 D. 三次样 区 间 过3 项式 81
4.求积公式∫，fx)z≈f(-1)+f1)具有( )次代数精度， A.1 B.2 C.3 D.4 5.通过曲线f(x)上的点(x-1,f(xk-1))和(x,f(x:))的直线与x轴交点的横坐标是 (),就是弦截法解方程f(x)=0的根的迭代公式· f(x) A.) f(x) B.i-fe-fzx-n） f(x.) C.x-fc十cDxs-） f(xx) D.i-fx-fx-） 得 分 评卷人 二、填空题（每小题4分，共20分） 6.设近似值x=一9.73421的相对误差限是0.0005，则x至少有 位有效数字. 7.用列主元消去法解线性方程组AX=b时，在第k一1步消元时，在增广矩阵的第k列 取主元a体”，使得|a1)|= 8.已知四对互异节点(xo,y%),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)以及各阶均差f(xo)=12, f(x0,x1)=一2，f(xo,x1,x2)=3,f(x,x1,x2,x)=0.则过这些点的牛顿插值多项式 N(x)= 9.已知函数f(x)在x=0,0.5处的函数值f(0)=1和∫(0.5)=1.20，那么 f(0)≈ 10.用牛顿切线法求方程x‘一2x一4=0在区间[1,2]内的近似根，取初始值x。=1.5,那 么x1≈ .(取五位有效数字) 82
4. 求积 [/ 〉次代数精度. A. 1 C. 3 B. 2 D.4 5. Xk-I , j ( x k-I ) )和(句 )的直线与 z轴交点的横坐标是 ( ) ，就是弦截法解方程 O的根的迭代公式. j( A. Xl+ j(X j(x/r-I) '""-l ""-/r-l B j ( Xl ) ( X . - X>.-l) • Xl - j(xρ-j(X -X• I ) C. j ( X l ) ( Xl + j(x←0~Xl -X•I ) D j ( Xl ) ( X . - X>.-l) • Xl - j(x - j(Xl) ~Xl-X |得分|评卷人| I I I 二、填空题(每小题 6. -9.73421 是0.0005 位有效数字. 7. 主元 法解 程组 在第 在增 广矩 第h 列 取主元 l〉，使得 a;;-ll 1= 8. 对互 Yo) , (XI' YI)' (X2' Y2)' (X3' Y3) 及各 差j(Xo)= 12, j(Xo , XI)= o， 町， x2)=3 ，j(xo X3)=0. 过这 项式 N(x)= 9. = 0 , 0.5 的 函 数 值 ( O. 5) = 1. 20 (0) 10. 2J 似根 = 1. 82 . (取五位有效数字〉
得分 评卷人 三、计算题（每小题15分，共60分） 11.用简单迭代法求线性方程组 8x1-3x2+2x3=20 4x1+11x2-x3=33 6x1+3x2+12x3=36 的X3”.取初始值Xo)=(0,0,0)T,计算过程保留4位小数. 12.已知函数值f(1)=2,f(3)=4,f(2)=一2，求函数f(x)的拉格朗日二次插值多项式 P2(x),并求f(1.5)的近似值. 13.设求积公式 [f(x)dzA.K-a)+Af)+A:f(a) 试求待定系数A。,A1,A2使得该求积公式的代数精度尽量高· 4。用二分法求方程f)=sinx一号=0在区间[1.5,2]内的实根的近似值，使误差不 超过0.01.计算过程保留4位小数. 83
|得分|评卷人| I I I 三、计算题{每小题 5分，共 0分} 1. 用简单迭代 性方程组 |8z …=20 4xI +11xz - X3 = 33 6xI +3xz +12x3 = 36 (3) .取初始值 0， 0 , O)T 算过程保 12. (l =2 , f ( 3 ) =4 , f ( 2 ) = -2 拉格 二次插值多项 Pz(x) (l 近似 13. 求积 [/(x)dx o!(-a) +AJ/( O) +Ad 试求待定系数儿 该求 精度尽 14 法求 区 间 1. 5. 差不 超过 1. 算 过程保 位小 83
试卷代号：1012 中央广播电视大学2011一2012学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷） 计算机数学基础(2)试题答案及评分标准 (供参考) 2012年1月 一、单项选择题（每小题4分，共20分） 1.D 2.C 3.A 4.A 5.B 二、填空题（每小题4分，共20分） 6.4 7.max lai) 8.12-2(x-x0)十3(x-x0)(x-x1) 9.0.4 10.1.6685 三、计算题（每小题15分，共60分） 11.解：写出迭代格式 x+)=0+0.375x-0.25x+2.5 xD=-0.3636.xf+0+0.0909x0+3 (5 x+)=-0.5.x)-0.25x+0+3 Xo)=(0,0,0)T. x0?=0+0.375×0-0.25×0+2.5=2.5 x=-0.3636×0十0+0.0909×0+3=3 x9)=-0.5×0-0.25×0十0+3=3 得到X)=(2.5,3,3)T (x=0+0.375×3-0.25×3+2.5-2.875 x=-0.3636×2.5+0+0.0909×3+3=2.3637 x2=-0.5×2.5-0.25×3+0+3=1.0000 得到X2=(2.875,2.3637,1.0000)T x=0+0.375×2.3637-0.25×1+2.5=3.1364 x,=-0.3636×2.875+0+0.0909×1+3=2.0456 x)=-0.5×2.875-0.25×2.3637+0+3=0.9716 得到X3=(3.1364,2.0456,0.9716)T. 84
试卷代号 中央广播电视大学 11 2学年度第-学期"开放本科"期末考试(半开卷) 计算机数学基础 及评分 (供参考) 2012 年1 一、单项选择题(每小题 1. D 2. C 3. A 二、填空题{每小题 6. 4 7.maxMID| 是当岳乡， 8. 12-2(x-xo)+3(x-xo)(x-x\) 9. 0.4 10. 1. 6685 三、计算题{每小题 1. 格式 4. A 5. B {:俨斗斗……+忖川… Z4; 3 6 +0+0.0ω90ω 的)+3 Z; ~ k X(O) = (0 ,0 ,0 ) T.1…0. 375 X 0 - 0…5 =2. 5 x~J) = - O. 3636 X 0 + 0 + O. 0909 X 0 + 3 = 3 xP) =-0.5 X 0 • 0. 25 X 十0+3=3 得到tl X (l) = (2. 5 , 3 ,3) T (zj 十0.375 X 3 - 0.25 X 3 + 2.5 = ~ 2 3636 X 2. 5 + 十0.09 十3 =2. 3637 zf = 一 5 X 2. 5 - O. 25 X 十3 = 1. 0000 得到 (2. 875 ,2. 3637 , 1. 0000) T [;=0+0375 ×236…1 + 2. 5 = 3. 1364 xi3 ) =-0.3636 X 2. 875 +0 X 1 + 3 = 2.0456 zf)= 一0.5 X 2. 875 25 X 2. 3637 十0+3=0.9716 得到 Xω = 9 7 84 (5 (9 (1 (1
12.解：先求插值基函数， 4x=者二二8=2红-3红-2》 (1-3)(1-2) 4)-告=g=8=u-1u-2》 4)==Dg=》=-（x-1Dx-3) (2-1)(2-3) (5分) P2(x)=yolo(x)+yl(x)+y2l2(x) =号x-3x-2)+含（x-1x-2)+2x-10x-3) (9分) f(1.5)≈P(1.5)=(1.5-3)(1.5-2)+2(1.5-1)(1.5-2)+2(1.5-1)(1.5-3) =1.5×0.5-2×0.5×0.5-2×0.5×1.5=-1.25 (15分) 13.解：因为有三个待定参数，至少列出三个方程，令f(x)=1,x,x2,代人求积公式，得到 2a=A。+A1+A2 0=-Aoa+A2a (6分) 2a=Aoa+A:a 3 解得A=A:=号，A,= 3 (9分) 求积公式为 fx)dr≈号[f(-a)+4o)+fa] (13分) 当f(x)=x2,使得求积公式精确成立，故该求积公式具有3次代数精度. (15分) 14.解：e=0.01,a=1.5,b=2.由二分次数公式 n>ln6-a)-lne-1=4.6 In2 (5分) 取n=5,即二分有根区间5次.f(1.5)=0.43>0,f(2)=-0.09 k Qi bi 工k f(x) 0 1.5 2 1.75 + 1 1.75 2 1.875 + 2 1.875 2 1.9375 3 1.875 1.9375 1.9063 + 4 1.9063 1.9375 1.9219 + 5 1.9219 1.9375 1.9297 取*x≈1.9297 (15分) 85
12. 值基 (x - 3)(x - 2)1 lo (x) ) ( - 2) (x -l)(x -2) l ll(x)=~ (x -1)( x - 3) lz (x) I"l. 1 "牛肉、=一 -l)(x (5 (6 Pz(x) = Yolo (x) +YIII (x) 十yzlz (x) =专 x一川一 z一 + 2(x -l)(x 1(1. 5):=::::::P(I. 5) = (1 . 5 - 3) (1. 5 - 2) + 2( 1. 1) (1 . 5 - 2) + 2(1.5 -1)(1 . 5 - 3) =1. 5XO. 5-2XO. 5XO. 5-2XO. 5 X 1. 5= -1. 25 (1 13. 为有 至少 积公式 {~… O=-Aoa+Aza 2314od+Azd 解得 =Az 1= 求权公式为 f/ωω)dx 川4 使得 积公式精 该求积公 14. 解2ε=0.0 a = 1. 5 , b = 2. 次数公 n> . --1=4. 6 ，即二分有根区间 5次 1. 5)=0. 43>0./(2)= h a. b. I(x.) O 1. 5 2 1. 75 + 1 1. 75 2 1. 875 + 2 1. 875 2 1. 9375 3 1. 875 1. 9375 1. 9063 + 4 1. 9063 1. 9375 1. 9219 + 5 1. 9219 1. 9375 1. 9297 取铸 1. 9297 (9 (1 (1 (5 (1 85