《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十一章 曲线积分与曲面积分_D11_7斯托克斯公式

第十一章第七节斯托克斯公式环流量乌旋度斯托克斯公式一、二、环流量与旋度HIGH EDUCATION PRESS

二、环流量与旋度 斯托克斯公式 环流量与旋度 第七节 一、斯托克斯公式 第十一章

斯托克斯（Stokes）公式一、，Z的定理1.设光滑曲面的边界I是分段光滑曲线，侧与I的正向符合右手法则，P,O,R在包含Z在内的一个空间域内具有一阶连续偏导数，则有apORaPQaRQdydz+dzdx+dxdyOzOx0oxay（斯托克斯公式）fPdx+Qdy+RdzIDxyHIGHEDUCATION PRESS

  y o z x 一、 斯托克斯( Stokes ) 公式 定理1. 设光滑曲面  的边界 是分段光滑曲线,  = Pd x + Qd y + Rd z (斯托克斯公式) 个空间域内具有一阶连续偏导数,  的 侧与  的正向符合右手法则, 在包含 在内的一 n Dx y C 则有

为便于记忆，斯托克斯公式还可写作dydz dzdx dxdyO-RJW=f.Pdx+Qdy+Rdz-"P-0或用第一类曲面积分表示cos acos βcosαaaOPdx+Qdy+RdzdS=W0RoxPHIGH EDUCATION PRESS定理1目录上页下页返回结束

为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:         P Q R x y z d y d z d z d x d x d y  = Pd x + Qd y + Rd z 或用第一类曲面积分表示: S P Q R x y z d cos cos cos             = Pd x + Qd y + Rd z 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

注意：如果Z是 xov面上的一块平面区域,则斯托克斯公式就是格林公式，故格林公式是斯托克斯公式的特例HIGH EDUCATIONPRESS

注意: 如果  是 xoy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯 公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例

zdx+xdy+ydz例1.利用斯托克斯公式计算积分其中为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整个边界，方向如图所示解：记三角形域为，取上侧，则zdx+xdy+ydzDxydydz dzdx dxdyaaaOxoyozXx3dxdyIdydz+dzdx+dxdy=3二2HIGH EDUCATION PRESS

z x y 1 1 1 o 例1. 利用斯托克斯公式计算积分 其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个 解: 记三角形域为, 取上侧, 则 边界, 方向如图所示. 2 3 = Dxy

二、环流量与旋度斯托克斯公式apORapaQaRaQdzdx+dxdydydz+azaxaxazavayf.Pdx+Qdy+Rdz向量场A(x, y,z) = P(x, y,z)i+Q(x, y,z) j+ R(x, y,z)k右端Pdx+Qdy+Rdz称为向量场A沿有向闭曲线IA的旋度的环流量，向量rotA称为向量场HIGH EDUCATION PRESS

二、 环流量与旋度 斯托克斯公式  = Pd x + Qd y + Rd z 向量场 右端 称为向量场A 沿有向闭曲线  的环流量，向量 rot A 称为向量场 A 的旋度.

斯托克斯公式的物理意义：apapRaRaoaodxdydydz+dzdx+Ozaxazoxayf.Pdx+Qdy+Rdz向量场A沿T的环流量A产生的旋度场向量场穿过的通量注意Z与I的方向形成右手系HIGH EDUCATION PRESS

向量场 A 产生的旋度场 穿过  的通量 注意  与  的方向形成右手系! 向量场 A 沿 的环流量 斯托克斯公式的物理意义:

场论中的三个重要概念,%,%)则a设u=u(x,y,z), A=(P,Q, R), V=(ox2ay22aududu梯度：gradu =VuaxazaRapao散度：div AV.A0zaxayki%a旋度：rot A==VxAPaxQRPHIGH EDUCATION PRESS

( ) z u y u x u       , , 场论中的三个重要概念 设 u = u (x, y,z), A = (P, Q, R),  梯度: gradu = = u ( , , ), x y z       = z R y Q x P       + + P Q R i j k x y  z      rot A = =  A 散度: div A = =  A 旋度: 则