10-4阻尼对振动的影响Theinfluenceduetodamping教学目标：了解阻尼的来源、种类和特点。掌握阻尼对动力特性（自振频率、振幅等）的影响。教学内容：阻尼的概念与分类有阻尼的自由振动有阻尼的强迫振动
10-4 阻尼对振动的影响 教学目标： 了解阻尼的来源、种类和特点。 掌握阻尼对动力特性（自振频率、振幅等）的影响。 教学内容： 阻尼的概念与分类 有阻尼的自由振动 有阻尼的强迫振动 Theinfluenceduetodamping
1.阻尼的概念与分类阻尼力对质点运动起阻碍作用从方向上看，它总是与质点的速度方向相反从数值上看，根据阻尼类别的不同，与质点速度的关系也各不相同：(1）阻尼力与质点速度成正比，称为粘滞阻尼力(2）阻尼力与质点速度的平方成正比，固体在流体中运动到的阻力属于这一类。(3）阻尼力的大小与质点速度无关，摩擦力属于这一类
阻尼力对质点运动起阻碍作用。 从方向上看，它总是与质点的速度方向相反 。 从数值上看，根据阻尼类别的不同，与质点速度的关系也 各不相同： (1)阻尼力与质点速度成正比，称为粘滞阻尼力 。 (2)阻尼力与质点速度的平方成正比，固体在流体中运动到 的阻力属于这一类。 (3)阻尼力的大小与质点速度无关，摩擦力属于这一类。 1. 阻尼的概念与分类
y2.有阻尼的自由振动kmFp(t)工有阻尼(粘滞阻尼)自由81振动微分方程：cykyFp (t)mymi + ci + ky= 0有阻尼强迫振动微分方程：kcmi +ci + ky = F,(t)AQ2momi+2@i+y=0
y y k m m y + cy + ky = 0 ky m y cy 有阻尼(粘滞阻尼)自由 振动微分方程： FP（t） 有阻尼强迫振动微分方程： my cy ky F (t) + + = P FP（t） 2 y yy + 2 0 ξω ω+ = , 2 k c m m ω ξ ω = = 令 2. 有阻尼的自由振动
2.有阻尼的自由振动j+2Eoj+0'y=0设微分方程的解为如下形式：y(t) = Ceut则由下列特征方程所确定：?+20+2= 0= 0(-± /≤?-1)根据1，解的形式各不同相应有3种不同的运动形态
2 y yy + 2 0 ξω ω+ = 设微分方程的解为如下形式： ( ) t y t Ceλ = 则λ由下列特征方程所确定： 2 2 λ ξωλ ω + 2 0 + = 2 λωξ ξ = ( 1) −± − 根据ξ＜1、ξ＝1、ξ＞1，解的形式各不同 相应有3种不同的运动形态 2. 有阻尼的自由振动
2.有阻尼的自由振动y(t) =Ceat（1）考虑1的情况（低阻尼情况）=0(-±2-1)=-±i,(o,=0/1-52)ae-sot门y(t) = e-5ot(C cos o,t +C, sin o,t)初始条件低阻尼y(t)曲线()=(co,++sin)(vo +Eay)Qryoqo?y(t) = e-50t asin(0,t +α)100yoortanα:Vo+Eayo位移曲线显示为一条逐渐衰减的波动曲线
(1)考虑ξ<1的情况(低阻尼情况) r λ = − ± ξω ωi 1 2 ( ) ( cos sin ) t r r yt e C t C t ξω ω ω − = + 初始条件 0 0 0 ( ) ( cos sin ) t r r r y y t e y t t ξω υ ξω ω ω ω − + = + ( ) sin( ) t r yt e a t ξω ω α − = + ae-ξωt t y 低阻尼y(t)曲线 ( ) t y t Ceλ = 2 λωξ ξ = ( 1) −± − 位移曲线显示为一条逐渐衰减的波动曲线 ( 1 ) 2 ωr = ω − ξ 0 0 0 2 2 2 0 0 0 tan ( ) v y y v y a y r r ξω ω α ω ξω + = + = + 2. 有阻尼的自由振动
2.有阻尼的自由振动ae-50阻尼对振幅的影响：振幅为(t)=Ce"由于阻尼的影响，振幅随时间而逐渐=0(-±-1)衰减。 乡经过一个周期T后yaesore-S0(t+T)Yk+1=e-50e-Sotyk值愈大，则衰减速度愈快L2元YkInOT =E0OrYk+110r1Yk振幅的对数0Ykurn三-2元递减率2元n00Yk+1Yk+nYkIn当<0.2，则/0~1，则2元nYk+n
( ) t y t Ceλ = 2 λωξ ξ = ( 1) −± − 阻尼对振幅的影响：振幅为 t ae − ξω 由于阻尼的影响，振幅随时间而逐渐 衰减。 经过一个周期 T 后 ( ) 1 k k t T k T t k y e e y e ξω ξω ξω − + + − − = = ξ值愈大，则衰减速度愈快 y k yk+1 tk T ae-ξωt t y 1 2 ln k k r y T y π ξω ξω + ω = = 1 1 ln 2 r k k y y ω ξ π ω + = 当 ξ<0.2，则 ω r /ω≈ 1，则 1 ln 2 k k n y n y ξ π + ≈ 1 ln 2 r k k n y n y ω ξ π ω + 振幅的对数 = 递减率 2. 有阻尼的自由振动
2.有阻尼的自由振动y(t) = e-50t asin(0,t +α)2元T=2元0/1-52Q,阻尼对自振频率的影响：の,是低阻尼体系的自振频率0, =0/1-g?在<1的低阻尼情况下，の,恒小于の，而且随值的增大而减小。通常是一个小数。如果<0.2，则0.96</<1即,与的值很相近。因此，在<0.2的情况下，阻尼对自振频率的影响可以忽略
( ) sin( ) t r yt e a t ξω ω α − = + 2 1 2 2 ω ξ π ω π − = = r T 阻尼对自振频率的影响： ω r是低阻尼体系的自振频率 在 ξ<1的低阻尼情况下， ω r恒小于 ω，而且随 ξ值的增大 而减小。通常 ξ是一个小数。如果 ξ<0.2，则0.96< ω r / ω<1， 即 ω r 与 ω的值很相近。因此，在 ξ<0.2的情况下，阻尼对自 振频率的影响可以忽略。 2 ωr = ω 1 − ξ 2. 有阻尼的自由振动
2.有阻尼的自由振动例：图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m，加一水平力9.8kN，测得侧移A=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s及一个周期后的侧移A,=0.4cm。求结构的阻尼比和阻尼系数c。1 10.51ykm-lnIn0.03352元0.42元Yk+19.8kNEI=002元2元= 4.189s-1OrT1.5/1-g2 → 0 = 4.191s-10.-139.8x103Pk==196x104N/mAo0.0052×0.0355×196×104c=25mO =25k=33220N.s/m04.189
EI=∞ m 例：图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横 梁处共计为m ，加一水平力9.8kN，测得侧移A0=0.5cm，然后突然卸载 使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一个周期后的侧移 A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。 9.8kN 0.0335 0.4 0.5 ln 2 1 ln 2 1 1 = = = π + π ξ k k y y N m A P k 196 10 / 0.005 9.8 10 4 3 0 = × × = = 1 4.189 1.5 2 2 − = = = s T r π π ω = ω 2ξk c=2ξmω 33220N s/ m 4.189 2 0.0355 196 104 = ⋅ × × × = 2 1 1 4.191 − = − ⇒ = s ωr ω ξ ω 2. 有阻尼的自由振动
2.有阻尼的自由振动桥梁结构的跳车试验：在桥跨结构跨中桥面设置高度10cm的三角形垫木，使30t汽车后轴置于其上，然后突然下落，测定桥梁结构在动荷载作用下的强迫振动响应（阻尼比）。1.50X1:3.891.20Y11:-1.16X2:8.730.90Y21:-0.41dX:4.840.80dY1:0.750.30wuAAAAAAAAAAAAAAA0.00-0.30-0.60-0.90-1.20-1.508.184.0912280.0016.3820.47
桥梁结构的跳车试验： 在桥跨结构跨中桥面设置高度10cm的三角形垫木，使 30t汽车后轴置于其上，然后突然下落，测定桥梁结构在动 荷载作用下的强迫振动响应（阻尼比）。 2. 有阻尼的自由振动
2.有阻尼的自由振动（2）考虑-1的情况入=-0tg, = Vo-y(t) = Cent几y=(C,+C,t)e-otH=0(-5±V2-1)初始D条件y = [yo(1+ot)+vot] e-ot当阻尼增大到=1时，曲线具有衰减，但不具波动，这时的阻尼常数为临界阻尼常数，用C表示。k2c, = 2m0 = 2/mk02momC一-阻尼比=C(3）>1，体系在自由反应中仍不引起振动
当阻尼增大到ξ=1时，曲线具有衰减，但不具波动，这时的阻 尼常数为临界阻尼常数，用Cr表示。 (2) 考虑ξ=1的情况: ( ) t y t Ceλ = 2 λωξ ξ = ( 1) −± − λ= －ω y=(C1+C2t)e-ωt y = [y0(1+ωt)+υ0t] e-ωt 2 2 r c m mk = = ω t y y 0 θ0 0 0 tgθ = v , 2 k c m m ω ξ ω = = r c c ξ = −−阻尼比 (3) ξ>1，体系在自由反应中仍不引起振动。 初始 条件 2. 有阻尼的自由振动