10-6两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动Force-vibrationofDoubleDOFSystemDuetoHarmonicloads教学目标：理解两个自由度体系在发生强迫振动时微分方程的建立方法掌握两个自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动的计算。教学内容:刚度法挠度法
10-6 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 教学目标： 理解两个自由度体系在发生强迫振动时微分方程的建立方法。 掌握两个自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动的计算。 教学内容： 刚度法 挠度法 Force-vibrationofDoubleDOFSystemDuetoHarmonicloads
回顾：自由振动、刚度法Y2m2m2L零?r22mj2mji+r =0mj +r =0y1mm10?r(mji1[r = kiyi +ki2J2[r2=k21yi+k22y2mj(t)+ kuy(t)+kizyz(t)= 0m2j2(t)+ k2iyi(t)+ k22J2(t) = 02自由度体系自由振动微分方程
回顾：自由振动、刚度法 1 11 1 12 2 2 21 1 22 2 r ky ky r ky ky ⎧ = + ⎨⎩ = + y1 y2 1 2 m2 m1 m1 r1 1 1 m y m2 r2 2 2 m y 1 1 11 1 12 2 2 2 21 1 22 2 () () () 0 () () () 0 my t k y t k y t my t k y t k y t + + = ⎫⎬ + + = ⎭ 11 1 22 2 0 0 my r my r + = ⎫⎬ + = ⎭ r1 r2 2自由度体系自由振动微分方程
1.刚度法Y2Fpi(t) m2m2Om,ji +kiyi +ki2y2 = Fpi(t)2m,j,T2mzj,+k21yi+k22y2=Fp2 ()ym,mBmjirFp2(t) 1Fpl(t) = Fpr sin OtFp2(t)= Fp2 sin OtA则在平稳振动阶段，各质点也作简谐振动：(k - 0°m)Y, + k2Y, = Fplyi(t) = Y, sin Oty2(t) = Y, sin tk2/ +(k22 - 0°m2)Y, = Fp2
FP2(t) FP1(t) r1 ( ) ( ) 1 1 11 1 12 2 1 2 2 21 1 22 2 2 P P my k y k y F t my k y k y F t ++ = ++ = 1 1 2 2 ( ) sin ( ) sin P P P P Ft F t Ft F t θ θ = ⎫⎬ = ⎭ 则在平稳振动阶段，各质点也作简谐振动： 1 1 2 2 ( ) sin ( ) sin yt Y t yt Y t θ θ = ⎫⎬ = ⎭ ⎪⎭ ⎪⎬⎫ + − = − + = 2 2 2 2 21 1 22 1 1 12 2 1 2 11 ( ) ( ) P P k Y k m Y F k m Y k Y F θ θ y1 y2 1 2 m2 m1 r2 m1 1 1 m y m2 2 2 m y r1 r2 1. 刚度法
1.刚度法(ku-0m)Y+k2Y2=Fplk2,Y, +(k22 -°m,)Y, = Fp2可解得位移的幅值为ki2-0mDY2=DDk21k22 -0°m2Fplk1-0mFp1ki2D2一k21Fp2Fp2k22 -0°m2若与の,或,重合，则：D=0，当D1、D,不全为零时，位移幅值即为无限大，出现共振Resonance现象
可解得位移的幅值为 1 2 1 2 0 0 , D D Y Y D D = = ⎪⎭ ⎪⎬⎫ + − = − + = 2 2 2 2 21 1 22 1 1 12 2 1 2 11 ( ) ( ) P P k Y k m Y F k m Y k Y F θ θ 若θ与ω1或ω2重合，则： D0=0，当D1、D2不全为零时， 位移幅值即为无限大，出现共振Resonance现象。 2 2 21 22 1 12 2 11 0 k k m k m k D θ θ − − = 2 2 2 22 1 12 1 F k m F k D P P −θ = 21 2 1 1 2 11 2 P P k F k m F D −θ = 1. 刚度法
1.刚度法m例10-9：刚架在底层横梁上作用简谐荷载kFpi(t)= FpsinOt，试画出第一、二层横梁的振m9幅Yi、Y,与荷载频率0之间的关系曲线。F,sinOtk设m,=mz=m，k,=kz=k。解：（1）刚度系数：ki=k,+kz，ki2=k2=—kz，k22=kz（2）荷载幅值：Fp1=Fp，Fp2=03- V5 k3+V5k（3）自振频率：の=0222mm
例10-9：刚架在底层横梁上作用简谐荷载 FP1(t)= FP sinθt，试画出第一、二层横梁的振 幅 Y1、Y2与荷载频率θ之间的关系曲线。 设m1=m2=m， k1=k2=k。 m1 m2 1 k 2 k sin F t P θ 解： FP1=FP，FP2=0 k11=k1+ k2，k12=k21=－k2，k22= k （1）刚度系数： 2 （2）荷载幅值： 1. 刚度法 （3）自振频率： 2 2 1 2 35 35 , 2 2 k k m m ω ω − + = =
1.刚度法(k1 - 0°m,)Y, + ki2Y2 = Fpl（4）位移幅值：k2)Y +(k22 - 0'm2)Y, = Fp2(k2 -0°m)F,Y-4ki-0'mkn2D.D。 =k21k22 - 0′m2k,Fp12Dm,=m2=m，k,=k,=k(k-mo°)F,Y, =D =(2k-0′m)(k-0m)-k2DokFp=0,或 0=02Y,DoD=0,当DiD,不全为0时，发生共振
（4）位移幅值： 2 2 2 1 0 2 2 0 ( ) P P k mF Y D k F Y D − θ ⎫ = ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ = ⎪ ⎭ m 1=m 2=m ， k1=k2=k 2 1 0 2 0 ( ) P P km F Y D kF Y D − θ ⎫ = ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ = ⎪ ⎭ ( ) ( ) 2 22 0 D k mk m k = 2 − −− θ θ 2 2 21 22 1 12 2 11 0 k k m k m k D θ θ − − = 1 或 2 θ = ω , θ = ω D0=0, 当 D1 D2不全为0 时，发生共振 1. 刚度法 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ + − = − + = 2 2 2 2 21 1 22 1 1 12 2 1 2 11 ( ) ( ) P P k Y k m Y F k m Y k Y F θ θ
1.刚度法讨论共振现象D。=(2k-0°m)(k -0°m) - k2AD。 = m204 - 3km02 + k2 = m2(0? - 0)(02 - 02)mg?1-3FpkY =0?k0211aa?八1Fpk02921-O
讨论共振现象 24 2 2 2 2 2 2 2 0 12 D m km k m = − += − − θ 3 ( )( ) θ θ ωθ ω ( )( ) 2 22 0 D = 2k mk m k − −− θ θ 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 P P m F k Y k F Y k θ θ θ ω ω θ θ ω ω ⎫ − ⎪ = ⎪ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟ − − ⎪ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎬⎪ = ⎪ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟ − − ⎪ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎭ 1. 刚度法
1.刚度法FyFPKy之间的关系曲线。与荷载频率参数振幅参数7kkY2Y3.03.0PAPA2.02.0001.01.081908190819'819[K/[k//m1/m003.03.0-1.0-1.0-2.0-2.0-3.0-3.0
3.0 -2.0 -3.0 0 0.618 3.0 1.618 2.0 1.0 -1.0 k P Y1 m k θ 3.0 -2.0 -3.0 0 0.618 3.0 1.618 2.0 1.0 -1.0 k P Y2 m k θ 、 振幅参数 与荷载频率参数 之间的关系曲线。 1 FP Y k 2 FP Y k km θ 1. 刚度法
1.刚度法n个自由度体系mm回顾：2自由度：m,jmVCFpiFPm +kuy+k2yz =Fpi(t)m,j,rm2j2 + k21yi + k22y2 = Fp2 (t)m?mjmn自由度:5mji+kiyi +ki2y2 +...+kinyn = Fpi(t)m2j2 +k21yi+k22y2 +..+k2nyn =Fp2(t)Mi+Ky= F,(t)m,j, +kn +kn2J2 +...+kmyn = Fpn(t)
n个自由度体系 1 1 11 1 12 2 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 2 2 ( ) ( ) ( ) nn P nn P n n n n nn n Pn my k y k y k y F t my k y k y k y F t my k y k y k y F t + + ++ = ⎫⎪ + + ++ = ⎪⎬⎪ + + ++ = ⎪⎭ " " """""""""""""" " ( ) P MKF yy t + = y m n n m1 mi yi mn rn n n m y m1 r1 1 1 m y FPi mi ri i i m y FPi ( ) ( ) 1 1 11 1 12 2 1 2 2 21 1 22 2 2 P P my k y k y F t my k y k y F t ++ = ++ = 回顾：2自由度： n自由度： 1. 刚度法
1.刚度法(K-0°M)Y = F,D。=K-0°M如果D0，可求得任意时刻t各质点的位移如果D=0的情形。当荷载频率与体系的自振频率中的任一个の,相等时，就可能出现共振现象。对于具有n个自由度的体系来说，在n种情况下(O=の,i=l,2,.,n)都有可能出现共振现象
2 ( ) K MY F −θ = P 2 D0 = − K Mθ ¾ 如果D0≠0，可求得任意时刻t各质点的位移。 ¾ 如果D0=0的情形。当荷载频率θ与体系的自振频率 中的任一个ωi相等时，就可能出现共振现象。 对于具有n个自由度的体系来说，在 n 种情况下 (θ = ωi, i=1,2, .,n)都有可能出现共振现象。 1. 刚度法