如今我在什么地方?我不知道那是什么地方。我猜不着。到底这里是哪里?映入我 眼帘的只是不知何处去的人蔓,行色匆匆地从我身边走过去。 村上春树 第四章空间参照系统和地图投影 导读:正如上一章所描述的,一个要素要进行定位,必须嵌入到一个空间参照系中, 因为GS所描述是位于地球表面的信息,所以根据地球椭球体建立的地理坐标(经 纬网)可以作为所有要素的参照系统。因为地球是一个不规则的球体,为了能够将 其表面的内容显示在平面的显示器或纸面上,必须进行坐标变换 本章讲述了地球椭球体参数、常见的投影类型。考虑到目前使用的1:100万以上地 形图都是采用高斯——克吕格投影,本章最后又对该种投影类型和相关的地形图分 幅标准做了简单介绍。 地球椭球体基本要素 1.1地球椭球体 1.1.1地球的形状 为了从数学上定义地球,必须建立一个地球表面的几何模型。这个模型由地球的形状决 定的。它是一个较为接近地球形状的几何模型,即椭球体,是由一个椭圆绕着其短轴旋转而 成 地球自然表面是一个起伏不平、十分不规则的表面,有高山、丘陵和平原,又有江河湖 海。地球表面约有71%的面积为海洋所占用,29%的面积是大陆与岛屿。陆地上最高点与海 洋中最深处相差近20公里。这个高低不平的表面无法用数学公式表达,也无法进行运算。 所以在量测与制图时,必须找一个规则的曲面来代替地球的自然表面。当海洋静止时,它的 自由水面必定与该面上各点的重力方向(铅垂线方向)成正交,我们把这个面叫做水准面。 但水准面有无数多个,其中有一个与静止的平均海水面相重合。可以设想这个静止的平均海 水面穿过大陆和岛屿形成一个闭合的曲面,这就是大地水准面(图4-1)
如今我在什么地方?我不知道那是什么地方。我猜不着。到底这里是哪里?映入我 眼帘的只是不知何处去的人蔓，行色匆匆地从我身边走过去。 村上春树 第四章 空间参照系统和地图投影 导读：正如上一章所描述的，一个要素要进行定位，必须嵌入到一个空间参照系中， 因为 GIS 所描述是位于地球表面的信息，所以根据地球椭球体建立的地理坐标（经 纬网）可以作为所有要素的参照系统。因为地球是一个不规则的球体，为了能够将 其表面的内容显示在平面的显示器或纸面上，必须进行坐标变换。 本章讲述了地球椭球体参数、常见的投影类型。考虑到目前使用的 1：100 万以上地 形图都是采用高斯——克吕格投影，本章最后又对该种投影类型和相关的地形图分 幅标准做了简单介绍。 1．地球椭球体基本要素 1．1 地球椭球体 1．1．1 地球的形状 为了从数学上定义地球，必须建立一个地球表面的几何模型。这个模型由地球的形状决 定的。它是一个较为接近地球形状的几何模型，即椭球体，是由一个椭圆绕着其短轴旋转而 成。 地球自然表面是一个起伏不平、十分不规则的表面，有高山、丘陵和平原，又有江河湖 海。地球表面约有 71%的面积为海洋所占用，29%的面积是大陆与岛屿。陆地上最高点与海 洋中最深处相差近 20 公里。这个高低不平的表面无法用数学公式表达，也无法进行运算。 所以在量测与制图时，必须找一个规则的曲面来代替地球的自然表面。当海洋静止时，它的 自由水面必定与该面上各点的重力方向（铅垂线方向）成正交，我们把这个面叫做水准面。 但水准面有无数多个，其中有一个与静止的平均海水面相重合。可以设想这个静止的平均海 水面穿过大陆和岛屿形成一个闭合的曲面，这就是大地水准面（图 4-1）
椭球 中等海水面 大地水准面 图41:大地水准面 大地水准面所包围的形体,叫大地球体。由于地球体内部质量分布的不均匀,引起重力 方向的变化,导致处处和重力方向成正交的大地水准面成为一个不规则的,仍然是不能用数 学表达的曲面。大地水准面形状虽然十分复杂,但从整体来看,起伏是微小的。它是一个很 接近于绕自转轴(短轴)旋转的椭球体。所以在测量和制图中就用旋转椭球来代替大地球体, 这个旋转球体通常称地球椭球体,简称椭球体 1.1.2地球的大小 关于地球椭球体的大小,由于采用不同的资料推算,椭球体的元素值是不同的。现将世 界各国常用的地球椭球体的数据列表如下: 表4-1:各种地球椭球体模型 椭球体名称 年代长半轴(米)短半轴(米)扁率 白塞尔(Bese 18416377397 6356079 1:299.15 克拉克( Clarke) 18806378249 6356515 l:293.5 克拉克( Clarke) l:295.0 海福特( Hayford 19106378388 6356912 1:297 克拉索夫斯基 19406378245 1:298.3 19676378160 6356775 埃维尔斯特( merest)18306377276 6356075 1:300.8 3椭球体的半径 地球椭球体表面是一个规则的数学表面。椭球体的大小,通常用两个半径:长半径a和 短半径b,或由一个半径和扁率来决定。扁率α表示椭球的扁平程度。扁率的计算公式为 a=(a-b)/a。这些地球椭球体的基本元素a、b、a等,由于推求它的年代、使用的方法 以及测定的地区不同,其结果并不一致,故地球椭球体的参数值有很多种。中国在1952年 以前采用海福特( Hayford)椭球体,从1953-1980年采用克拉索夫斯基椭球体。随着人造 地球卫星的发射,有了更精密的测算地球形体的条件。1975年第16届国际大地测量及地球 物理联合会上通过国际大地测量协会第一号决议中公布的地球椭球体,称为GRS(1975), 中国自1980年开始采用GRS(1975)新参考椭球体系。由于地球椭球长半径与短半径的差 值很小,所以当制作小比例尺地图时,往往把它当作球体看待,这个球体的半径为6371公 1.1.4高程 地面点到大地水准面的高程,称为绝对高程。如图2所示,PP0为大地水准面,地面点 和B到PP0的垂直距离HA1和HB为A、B两点的绝对高程。地面点到任一水准面的高程, 称为相对高程。如图2中,A、B两点至任一水准面PP的垂直距离H4和h为A、B两点
图 4-1：大地水准面 大地水准面所包围的形体，叫大地球体。由于地球体内部质量分布的不均匀，引起重力 方向的变化，导致处处和重力方向成正交的大地水准面成为一个不规则的，仍然是不能用数 学表达的曲面。大地水准面形状虽然十分复杂，但从整体来看，起伏是微小的。它是一个很 接近于绕自转轴（短轴）旋转的椭球体。所以在测量和制图中就用旋转椭球来代替大地球体， 这个旋转球体通常称地球椭球体，简称椭球体。 1．1．2 地球的大小 关于地球椭球体的大小，由于采用不同的资料推算，椭球体的元素值是不同的。现将世 界各国常用的地球椭球体的数据列表如下： 表 4-1：各种地球椭球体模型 椭球体名称 年代 长半轴（米） 短半轴（米） 扁率 白塞尔(Bessel) 1841 6377397 6356079 1：299.15 克拉克(Clarke) 1880 6378249 6356515 1：293.5 克拉克(Clarke) 1866 6378206 6356584 1：295.0 海福特(Hayford) 1910 6378388 6356912 1：297 克拉索夫斯基 1940 6378245 6356863 1：298.3 I．U．G．G 1967 6378160 6356775 1：298.25 埃维尔斯特(Everest) 1830 6377276 6356075 1：300.8 1．1．3 椭球体的半径 地球椭球体表面是一个规则的数学表面。椭球体的大小，通常用两个半径：长半径 a 和 短半径 b，或由一个半径和扁率来决定。扁率α表示椭球的扁平程度。扁率的计算公式为： α=（a-b）/a。这些地球椭球体的基本元素 a、b、α等，由于推求它的年代、使用的方法 以及测定的地区不同，其结果并不一致，故地球椭球体的参数值有很多种。中国在 1952 年 以前采用海福特（Hayford）椭球体，从 1953-1980 年采用克拉索夫斯基椭球体。随着人造 地球卫星的发射，有了更精密的测算地球形体的条件。1975 年第 16 届国际大地测量及地球 物理联合会上通过国际大地测量协会第一号决议中公布的地球椭球体，称为 GRS（1975）， 中国自 1980 年开始采用 GRS（1975）新参考椭球体系。由于地球椭球长半径与短半径的差 值很小，所以当制作小比例尺地图时，往往把它当作球体看待，这个球体的半径为 6371 公 里。 1．1．4 高程 地面点到大地水准面的高程，称为绝对高程。如图 2 所示，P0P0'为大地水准面，地面点 A 和 B 到 P0P0'的垂直距离 HA 和 HB为 A、B 两点的绝对高程。地面点到任一水准面的高程， 称为相对高程。如图 2 中，A、B 两点至任一水准面 P1P1'的垂直距离 HA'和 HB'为 A、B 两点
的相对高程。 々 图4-2:地面点的高程 我国的大地控制网 我国面积辽阔,在约960万平方公里的土地上进行测图工作,需要分成若干单元测区, 而且测量的精度又要符合统一要求,为此,在全国范围内建立统一的大地控制网。控制网分 为平面控制网和高程控制网 大地坐标:在地面上建立一系列相连接的三角形,量取一段精确的距离作为起算边,在 这个边的两端点,采用天文观测的方法确定其点位(经度、纬度和方位角),用精密测角仪 器测定各三角形的角值,根据起算边的边长和点位,就可以推算出其他各点的坐标。这样推 算出的坐标,称为大地坐标 我国1954年在北京设立了大地坐标原点,由此计算出来的各大地控制点的坐标,称为 1954年北京坐标系。我国1986年宣布在陕西省泾阳县设立了新的大地坐标原点,并采用1975 年国际大地测量协会推荐的大地参考椭球体,由此计算出来的各大地控制点坐标,称为1980 年大地坐标系 我国高程的起算面是黄海平均海水面。1956年在青岛设立了水准原点,其他各控制点 的绝对高程都是根据青岛水准原点推算的,称此为1956年黄海高程系。1987年国家测绘局 公布:中国的高程基准面启用《1985国家高程基准》取代国务院1959年批准启用的《黄海 平均海水面》。《1985国家高程基准》比《黄海平均海水面》上升29毫米。 1.2地图比例尺 1.2.1比例尺表示法 地图比例尺通常认为是地图上距离与地面上相应距离之比。地图比例尺可用下述方法表 1)数字比例尺 这是简单的分数或比例,可表示为1:100000或1/100000,最好用前者。这意味着, 地图上(沿特定线)长度1毫米、1厘米或1英寸(分子),代表地球表面上的1000000毫 米、厘米或英寸(分母)。 2)文字比例尺 这是图上距离与实地距离之间关系的描述。例如,1:100000这文一数字比例尺可描述 为“图1毫米等于实地1公里” 3)图解比例尺或直线比例尺 这是在地图上绘出的直线段,常常绘于图例方框中或图廓下方,表示图上长度相当于实 地距离的单位
的相对高程。 图 4-2：地面点的高程 我国的大地控制网 我国面积辽阔，在约 960 万平方公里的土地上进行测图工作，需要分成若干单元测区， 而且测量的精度又要符合统一要求，为此，在全国范围内建立统一的大地控制网。控制网分 为平面控制网和高程控制网。 大地坐标：在地面上建立一系列相连接的三角形，量取一段精确的距离作为起算边，在 这个边的两端点，采用天文观测的方法确定其点位（经度、纬度和方位角），用精密测角仪 器测定各三角形的角值，根据起算边的边长和点位，就可以推算出其他各点的坐标。这样推 算出的坐标，称为大地坐标。 我国 1954 年在北京设立了大地坐标原点，由此计算出来的各大地控制点的坐标，称为 1954年北京坐标系。我国1986年宣布在陕西省泾阳县设立了新的大地坐标原点，并采用1975 年国际大地测量协会推荐的大地参考椭球体，由此计算出来的各大地控制点坐标，称为 1980 年大地坐标系。 我国高程的起算面是黄海平均海水面。1956 年在青岛设立了水准原点，其他各控制点 的绝对高程都是根据青岛水准原点推算的，称此为 1956 年黄海高程系。1987 年国家测绘局 公布：中国的高程基准面启用《1985 国家高程基准》取代国务院 1959 年批准启用的《黄海 平均海水面》。《1985 国家高程基准》比《黄海平均海水面》上升 29 毫米。 1．2 地图比例尺 1．2．1 比例尺表示法 地图比例尺通常认为是地图上距离与地面上相应距离之比。地图比例尺可用下述方法表 示。 1）数字比例尺 这是简单的分数或比例，可表示为 1：1000000 或 1/1000000，最好用前者。这意味着， 地图上（沿特定线）长度 1 毫米、1 厘米或 1 英寸（分子），代表地球表面上的 1000000 毫 米、厘米或英寸（分母）。 2）文字比例尺 这是图上距离与实地距离之间关系的描述。例如，1：1000000 这一数字比例尺可描述 为“图 1 毫米等于实地 1 公里”。 3）图解比例尺或直线比例尺 这是在地图上绘出的直线段，常常绘于图例方框中或图廓下方，表示图上长度相当于实 地距离的单位
4)面积比例尺 这关系到图上面积与实地面积之比,表示图上1单位面积(平方厘米)与实地上同一种 平方单位的特定数量之比 1.2.2比例系数 表明确定的比例尺与实际比例尺数值之间的关系叫做比例系数(SF)。可以这样理解比 例系数,首先将地球缩小为所选比例尺的地球仪地图:然后将该球形地图转换为平面地图。 上述平面地图的数字比例尺就是地球仪的比例尺,叫做主比例尺(或名义比例尺):真实比 例尺就是平面地图上的实际比例尺,当然各处是不相同的 比例系数可按下式计算:SF=实际比例尺/主比例尺 该公式表明,比例系数是实际比例尺与单位(1)主比例尺之比。当比例系数为2时,实际 比例尺为主比例尺的两倍。比例系数只在小比例尺世界地图上比较明显。在大比例尺地图上 各处的比例系数对于1只有很小的变化 2.坐标系 所谓坐标系,包含两方面的内容:一是在把大地水准面上的测量成果化算到椭球体面上 的计算工作中,所采用的椭球的大小:二是椭球体与大地水准面的相关位置不同,对同一点 的地理坐标所计算的结果将有不同的值。因此,选定了一个一定大小的椭球体,并确定了它 与大地水准面的相关位置,就确定了一个坐标系(图43) 联系 现实世界 坐标空间 图43:现实世界和坐标空间的联系 2.1地理坐标 地球除了绕太阳公转外,还绕着自己的轴线旋转,地球自转轴线与地球椭球体的短轴相 重合,并与地面相交于两点,这两点就是地球的两极,北极和南极。垂直于地轴,并通过地 心的平面叫赤道平面,赤道平面与地球表面相交的大圆圈(交线)叫赤道。平行于赤道的各 个圆圈叫纬圈(纬线)( Parallel),显然赤道是最大的一个纬圈 通过地轴垂直于赤道面的平面叫做经面或子午圈( Meridian),所有的子午圈长度彼此 都相等。(图44)
4）面积比例尺 这关系到图上面积与实地面积之比，表示图上 1 单位面积（平方厘米）与实地上同一种 平方单位的特定数量之比。 1．2．2 比例系数 表明确定的比例尺与实际比例尺数值之间的关系叫做比例系数（SF）。可以这样理解比 例系数，首先将地球缩小为所选比例尺的地球仪地图；然后将该球形地图转换为平面地图。 上述平面地图的数字比例尺就是地球仪的比例尺，叫做主比例尺（或名义比例尺）；真实比 例尺就是平面地图上的实际比例尺，当然各处是不相同的。 比例系数可按下式计算：SF=实际比例尺/主比例尺 该公式表明，比例系数是实际比例尺与单位（1）主比例尺之比。当比例系数为 2 时，实际 比例尺为主比例尺的两倍。比例系数只在小比例尺世界地图上比较明显。在大比例尺地图上， 各处的比例系数对于 1 只有很小的变化。 2．坐标系 所谓坐标系，包含两方面的内容：一是在把大地水准面上的测量成果化算到椭球体面上 的计算工作中，所采用的椭球的大小；二是椭球体与大地水准面的相关位置不同，对同一点 的地理坐标所计算的结果将有不同的值。因此，选定了一个一定大小的椭球体，并确定了它 与大地水准面的相关位置，就确定了一个坐标系（图 4-3）。 图 4-3：现实世界和坐标空间的联系 2．1 地理坐标 地球除了绕太阳公转外，还绕着自己的轴线旋转，地球自转轴线与地球椭球体的短轴相 重合，并与地面相交于两点，这两点就是地球的两极，北极和南极。垂直于地轴，并通过地 心的平面叫赤道平面，赤道平面与地球表面相交的大圆圈（交线）叫赤道。平行于赤道的各 个圆圈叫纬圈（纬线）（Parallel），显然赤道是最大的一个纬圈。 通过地轴垂直于赤道面的平面叫做经面或子午圈（Meridian），所有的子午圈长度彼此 都相等。（图 4-4）
赤道 图4-4:地球的经线和纬线 2.1.1纬度( Latitude) 设椭球面上有一点P(图44),通过P点作椭球面的垂线,称之为过P点的法线。法线 与赤道面的交角,叫做P点的地理纬度(简称纬度),通常以字母φ表示。纬度从赤道起算, 在赤道上纬度为0度,纬线离赤道愈远,纬度愈大,至极点纬度为90度。赤道以北叫北纬、 以南叫南纬 2.1.2经度( Longitude) 过P点的子午面与通过英国格林尼治天文台的子午面所夹的二面角,叫做P点的地理 经度(简称经度),通常用字母λ表示。国际规定通过英国格林尼治天文台的子午线为本初 子午线(或叫首子午线),作为计算经度的起点,该线的经度为0度,向东0-180度叫东经, 向西0-180度叫西经。 2.1.3地面上点位的确定 地面上任一点的位置,通常用经度和纬度来决定。经线和纬线是地球表面上两组正交(相 交为90度)的曲线,这两组正交的曲线构成的坐标,称为地理坐标系。地表面某两点经度 值之差称为经差,某两点纬度值之差称为纬差。例如北京在地球上的位置可由北纬39°56 和东经116°24来确定。 2.2平面上的坐标系 地理坐标是一种球面坐标。由于地球表面是不可展开的曲面,也就是说曲面上的各点不 能直接表示在平面上,因此必须运用地图投影的方法,建立地球表面和平面上点的函数关系, 使地球表面上任一点由地理坐标(φ、A)确定的点,在平面上必有一个与它相对应的点, 平面上任一点的位置可以用极坐标或直角坐标表示
图 4-4：地球的经线和纬线 2．1．1 纬度（Latitude） 设椭球面上有一点 P（图 4-4），通过 P 点作椭球面的垂线，称之为过 P 点的法线。法线 与赤道面的交角，叫做 P 点的地理纬度（简称纬度），通常以字母φ表示。纬度从赤道起算， 在赤道上纬度为 0 度，纬线离赤道愈远，纬度愈大，至极点纬度为 90 度。赤道以北叫北纬、 以南叫南纬。 2．1．2 经度（Longitude） 过 P 点的子午面与通过英国格林尼治天文台的子午面所夹的二面角，叫做 P 点的地理 经度（简称经度），通常用字母λ表示。国际规定通过英国格林尼治天文台的子午线为本初 子午线（或叫首子午线），作为计算经度的起点，该线的经度为 0 度，向东 0-180 度叫东经， 向西 0-180 度叫西经。 2．1．3 地面上点位的确定 地面上任一点的位置，通常用经度和纬度来决定。经线和纬线是地球表面上两组正交（相 交为 90 度）的曲线，这两组正交的曲线构成的坐标，称为地理坐标系。地表面某两点经度 值之差称为经差，某两点纬度值之差称为纬差。例如北京在地球上的位置可由北纬 39°56' 和东经 116°24'来确定。 2．2 平面上的坐标系 地理坐标是一种球面坐标。由于地球表面是不可展开的曲面，也就是说曲面上的各点不 能直接表示在平面上，因此必须运用地图投影的方法，建立地球表面和平面上点的函数关系， 使地球表面上任一点由地理坐标（φ、λ）确定的点，在平面上必有一个与它相对应的点， 平面上任一点的位置可以用极坐标或直角坐标表示
2.2.1平面直角坐标系的建立 在平面上选一点O为直角坐标原点,过该点O作相互垂直的两轴X’O和FOF而建立 平面直角坐标系,如图5所示。 直角坐标系中,规定OH、OF方向为正值,OH、OF方向为负值,因此在坐标系中的一个 已知点P,它的位置便可由该点对Ox与O轴的垂线长度唯一地确定,即x=P,y=BP,通常 记为P(x,y) 2.2.2平面极坐标系( Polar coordinate)的建立 P Q 平面直角坐标系 平面极坐标系 图45:平面直角坐标系和极坐标系 如图5所示,设O′为极坐标原点,O’O为极轴,P是坐标系中的一个点,则O′P称 为极距,用符号p表示,即p=0′P。∠O0’P为极角,用符号δ表示,则∠O0′P=6。极 角δ由极轴起算,按逆时针方向为正,顺时针方向为负。 极坐标与平面直角坐标之间可建立一定的关系式。由图5可知,直角坐标的x轴与极轴 重合,二坐标系原点间距离00′用Q表示,则有: X=Q-pcos 8 y=p sin 2.3直角坐标系的平移和旋转 2.3.1坐标系平移 如图4-6所示,坐标系O与坐标系X’O’F相应的坐标轴彼此平行,并且具有相同 的正向。坐标系XO′是由坐标系Oy平行移动而得到的。设P点在坐标系MOF中的坐 标为(x,y),在X’0’中坐标为x’,y’),而(a,b是O’在坐标系XOF中的坐标, 于是:
2．2．1 平面直角坐标系的建立 在平面上选一点 O 为直角坐标原点，过该点 O 作相互垂直的两轴 X’OX 和 Y’OY 而建立 平面直角坐标系，如图 5 所示。 直角坐标系中，规定 OX、OY 方向为正值，OX、OY 方向为负值，因此在坐标系中的一个 已知点 P，它的位置便可由该点对 OX 与 OY 轴的垂线长度唯一地确定，即 x=AP，y=BP，通常 记为 P(x，y)。 2．2．2 平面极坐标系（Polar Coordinate）的建立 平面直角坐标系 O B P Y X A O X Y Y Q X P O' 平面极坐标系 δ ρ X' Y' 图 4-5：平面直角坐标系和极坐标系 如图 5 所示，设 O’为极坐标原点，O’O 为极轴，P 是坐标系中的一个点，则 O’P 称 为极距，用符号ρ表示，即ρ=O’P。∠OO’P 为极角，用符号δ表示，则∠OO’P=δ。极 角δ由极轴起算，按逆时针方向为正，顺时针方向为负。 极坐标与平面直角坐标之间可建立一定的关系式。由图 5 可知，直角坐标的 x 轴与极轴 重合，二坐标系原点间距离 OO’用 Q 表示，则有： X=Q–ρcosδ Y=ρsinδ 2．3 直角坐标系的平移和旋转 2．3．1 坐标系平移 如图 4-6 所示，坐标系 XOY 与坐标系 X’O’Y’相应的坐标轴彼此平行，并且具有相同 的正向。坐标系 X’O’Y’是由坐标系 XOY 平行移动而得到的。设 P 点在坐标系 XOY 中的坐 标为(x，y)，在 X’O’Y’中坐标为(x’，y’)，而(a，b)是 O’在坐标系 XOY 中的坐标， 于是： x=x’+a
y=y+b 上式即一点在坐标系平移前后之坐标关系式。 图4-6:坐标平移 2.3.2坐标系旋转 如图4-7所示,如坐标系O与坐标系F’O’F’的原点重合,且对应的两坐标轴夹角 为θ,坐标系!O’F′是由坐标系OF以0为中心逆时针旋转角后得到的。 x=x’cosb+y’sin0 y=y’cosb-x’sinb 上式即为经过旋转0角后的二直角坐标系中某一点坐标的关系式。 图4-7:坐标旋转 2.3.3坐标系平移和旋转 如图4-8所示,坐标系X’O′F’的原点在坐标系mO中的坐标为a、b,X轴与’轴 之夹角为0。可以认为坐标系X’0’y原是与坐标系XOY重合,后因为0’分别平移了a b之距离,并且坐标系二坐标轴O’’与O′F’又相对Or与Oy逆时针旋转了θ角而得到 在二坐标系之间引入一个辅助坐标系X”O’F”,使它的二坐标轴O’x”与O′F”分 别与OX、Oy平行 在X”O’y”系中有一点P,其坐标为(x”,y”),则由坐标系平移公式与坐标系旋转 公式可得: Y=X+
y=y’+b 上式即一点在坐标系平移前后之坐标关系式。 O' O X Y X' b Y' a P 图 4-6：坐标平移 2．3．2 坐标系旋转 如图 4-7 所示，如坐标系 XOY 与坐标系 X’O’Y’的原点重合，且对应的两坐标轴夹角 为θ，坐标系 X’O’Y’是由坐标系 XOY 以 O 为中心逆时针旋转θ角后得到的。 x=x’cosθ+y’sinθ y=y’cosθ-x’sinθ 上式即为经过旋转θ角后的二直角坐标系中某一点坐标的关系式。 O X Y X' Y' P θ 图 4-7：坐标旋转 2．3．3 坐标系平移和旋转 如图 4-8 所示，坐标系 X’O’Y’的原点在坐标系 XOY 中的坐标为 a、b，X 轴与 X’轴 之夹角为θ。可以认为坐标系 X’O’Y’原是与坐标系 XOY 重合，后因为 O’分别平移了 a、 b 之距离，并且坐标系二坐标轴 O’X’与 O’Y’又相对 OX 与 OY 逆时针旋转了θ角而得到 的。 在二坐标系之间引入一个辅助坐标系 X”O’Y”，使它的二坐标轴 O’X”与 O’Y”分 别与 OX、OY 平行。 在 X”O’Y”系中有一点 P，其坐标为(x”，y”)，则由坐标系平移公式与坐标系旋转 公式可得： x=x”+a
故有 x”=x’cosb+y’sinb y"=y’cosb-x’sin0 X=x’cosb+y’sin0 b 上式即坐标系平移和旋转后新、旧坐标系中某一点坐标之关系式。 P 图4-8:坐标平移和旋转 3.地图投影的基本问题 3.1地图投影的概念 在数学中,投影( Project)的含义是指建立两个点集间一一对应的映射关系。同样,在 地图学中,地图投影就是指建立地球表面上的点与投影平面上点之间的一一对应关系。地图 投影的基本问题就是利用一定的数学法则把地球表面上的经纬线网表示到平面上。凡是地理 信息系统就必然要考虑到地图投影,地图投影的使用保证了空间信息在地域上的联系和完整 性,在各类地理信息系统的建立过程中,选择适当的地图投影系统是首先要考虑的问题。由 于地球椭球体表面是曲面,而地图通常是要绘制在平面图纸上,因此制图时首先要把曲面展 为平面,然而球面是个不可展的曲面,即把它直接展为平面时,不可能不发生破裂或褶皱 若用这种具有破裂或褶皱的平面绘制地图,显然是不实际的,所以必须采用特殊的方法将曲 面展开,使其成为没有破裂或褶皱的平面
y=y”+b 故有 x”=x’cosθ+y’sinθ y”=y’cosθ-x’sinθ 即 x=x’cosθ+y’sinθ+a y”=y’cosθ-x’sinθ+b 上式即坐标系平移和旋转后新、旧坐标系中某一点坐标之关系式。 O X Y X' Y' P θ O' Y'' X'' 图 4-8：坐标平移和旋转 3．地图投影的基本问题 3．1 地图投影的概念 在数学中，投影（Project）的含义是指建立两个点集间一一对应的映射关系。同样，在 地图学中，地图投影就是指建立地球表面上的点与投影平面上点之间的一一对应关系。地图 投影的基本问题就是利用一定的数学法则把地球表面上的经纬线网表示到平面上。凡是地理 信息系统就必然要考虑到地图投影，地图投影的使用保证了空间信息在地域上的联系和完整 性，在各类地理信息系统的建立过程中，选择适当的地图投影系统是首先要考虑的问题。由 于地球椭球体表面是曲面，而地图通常是要绘制在平面图纸上，因此制图时首先要把曲面展 为平面，然而球面是个不可展的曲面，即把它直接展为平面时，不可能不发生破裂或褶皱。 若用这种具有破裂或褶皱的平面绘制地图，显然是不实际的，所以必须采用特殊的方法将曲 面展开，使其成为没有破裂或褶皱的平面
3.2地图投影的变形 3.2.1变形的种类 地图投影的方法很多,用不同的投影方法得到的经纬线网形式不同。用地图投影的方法 将球面展为平面,虽然可以保持图形的完整和连续,但它们与球面上的经纬线网形状并不完 全相似。这表明投影之后,地图上的经纬线网发生了变形,因而根据地理坐标展绘在地图上 的各种地面事物,也必然随之发生变形。这种变形使地面事物的几何特性(长度、方向、面 积)受到破坏。把地图上的经纬线网与地球仪上的经纬线网进行比较,可以发现变形表现在 长度、面积和角度三个方面,分别用长度比、面积比的变化显示投影中长度变形和面积变形。 如果长度变形或面积变形为零,则没有长度变形或没有面积变形。角度变形即某一角度投影 后角值与它在地球表面上固有角值之差。 1)长度变形 即地图上的经纬线长度与地球仪上的经纬线长度特点并不完全相同,地图上的经纬线长 度并非都是按照同一比例缩小的,这表明地图上具有长度变形 在地球仪上经纬线的长度具有下列特点:第一,纬线长度不等,其中赤道最长,纬度越 高,纬线越短,极地的纬线长度为零:;第二,在同一条纬线上,经差相同的纬线弧长相等; 第三,所有的经线长度都相等。长度变形的情况因投影而异。在同一投影上,长度变形不仅 随地点而改变,在同一点上还因方向不同而不同 2)面积变形 即由于地图上经纬线网格面积与地球仪经纬线网格面积的特点不同,在地图上经纬线网 格面积不是按照同一比例缩小的,这表明地图上具有面积变形。 在地球仪上经纬线网格的面积具有下列特点:第一,在同一纬度带内,经差相同的网络 面积相等。第二,在同一经度带内,纬线越高,网络面积越小。然而地图上却并非完全如此。 如在图4-9-a上,同一纬度带内,纬差相等的网格面积相等,这些面积不是按照同一比例缩 小的。纬度越高,面积比例越大。在图4-9-b上,同一纬度带内,经差相同的网格面积不等 这表明面积比例随经度的变化而变化了。由于地图上经纬线网格面积与地球仪上经纬线网格 面积的特点不同,在地图上经纬线网格面积不是按照同一比例缩小的,这表明地图上具有面 积变形。面积变形的情况因投影而异。在同一投影上,面积变形因地点的不同而不同。 3)角度变形 是指地图上两条所夹的角度不等于球面上相应的角度,如在图49-b和图4-9c上,只有 中央经线和各纬线相交成直角,其余的经线和纬线均不呈直角相交,而在地球仪上经线和纬 线处处都呈直角相交,这表明地图上有了角度变形。角度变形的情况因投影而异。在同一投 影图上,角度变形因地点而变。 地图投影的变形随地点的改变而改变,因此在一幅地图上,就很难笼统地说它有什么变 形,变形有多大
3．2 地图投影的变形 3．2．1 变形的种类 地图投影的方法很多，用不同的投影方法得到的经纬线网形式不同。用地图投影的方法 将球面展为平面，虽然可以保持图形的完整和连续，但它们与球面上的经纬线网形状并不完 全相似。这表明投影之后，地图上的经纬线网发生了变形，因而根据地理坐标展绘在地图上 的各种地面事物，也必然随之发生变形。这种变形使地面事物的几何特性（长度、方向、面 积）受到破坏。把地图上的经纬线网与地球仪上的经纬线网进行比较，可以发现变形表现在 长度、面积和角度三个方面，分别用长度比、面积比的变化显示投影中长度变形和面积变形。 如果长度变形或面积变形为零，则没有长度变形或没有面积变形。角度变形即某一角度投影 后角值与它在地球表面上固有角值之差。 1）长度变形 即地图上的经纬线长度与地球仪上的经纬线长度特点并不完全相同，地图上的经纬线长 度并非都是按照同一比例缩小的，这表明地图上具有长度变形。 在地球仪上经纬线的长度具有下列特点：第一，纬线长度不等，其中赤道最长，纬度越 高，纬线越短，极地的纬线长度为零；第二，在同一条纬线上，经差相同的纬线弧长相等； 第三，所有的经线长度都相等。长度变形的情况因投影而异。在同一投影上，长度变形不仅 随地点而改变，在同一点上还因方向不同而不同。 2）面积变形 即由于地图上经纬线网格面积与地球仪经纬线网格面积的特点不同，在地图上经纬线网 格面积不是按照同一比例缩小的，这表明地图上具有面积变形。 在地球仪上经纬线网格的面积具有下列特点：第一，在同一纬度带内，经差相同的网络 面积相等。第二，在同一经度带内，纬线越高，网络面积越小。然而地图上却并非完全如此。 如在图 4-9-a 上，同一纬度带内，纬差相等的网格面积相等，这些面积不是按照同一比例缩 小的。纬度越高，面积比例越大。在图 4-9-b 上，同一纬度带内，经差相同的网格面积不等， 这表明面积比例随经度的变化而变化了。由于地图上经纬线网格面积与地球仪上经纬线网格 面积的特点不同，在地图上经纬线网格面积不是按照同一比例缩小的，这表明地图上具有面 积变形。面积变形的情况因投影而异。在同一投影上，面积变形因地点的不同而不同。 3）角度变形 是指地图上两条所夹的角度不等于球面上相应的角度，如在图 4-9-b 和图 4-9-c 上，只有 中央经线和各纬线相交成直角，其余的经线和纬线均不呈直角相交，而在地球仪上经线和纬 线处处都呈直角相交，这表明地图上有了角度变形。角度变形的情况因投影而异。在同一投 影图上，角度变形因地点而变。 地图投影的变形随地点的改变而改变，因此在一幅地图上，就很难笼统地说它有什么变 形，变形有多大
卩M 图4-9:地图投影变形 3.2.2变形椭圆 变形椭圆是显示变形的几何图形,从图49可以看到,实地上同样大小的经纬线在投影 面上变成形状和大小都不相同的图形(比较图49中三个格网)。实际中每种投影的变形各 不相同,通过考察地球表面上一个微小的圆形(称为微分圆)在投影中的表象一一变形椭圆 的形状和大小,就可以反映出投影中变形的差异(图4-10)。 图4-10:微分圆表示投影变形 3.3地图投影的分类 地图投影的种类很多,为了学习和研究的方便,应对其进行分类。由于分类的标志不同, 分类方法就不同。从使用地图的角度出发,需要了解下述几种分类。 3.3.1按变形性质分类 按变形性质地图投影可以分为三类:等角投影、等积投影和任意投影。 1)等角投影 定义为任何点上二微分线段组成的角度投影前后保持不变,亦即投影前后对应的微分面 积保持图形相似,故可称为正形投影。投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两 线段夹角相等,即角度变形为零。等角投影在一点上任意方向的长度比都相等,但在不同地 点长度比是不同的,即不同地点上的变形椭圆大小不同 2)等积投影 定义为某一微分面积投影前后保持相等,亦即其面积比为1,即在投影平面上任意一块
图 4-9：地图投影变形 3．2．2 变形椭圆 变形椭圆是显示变形的几何图形，从图 4-9 可以看到，实地上同样大小的经纬线在投影 面上变成形状和大小都不相同的图形（比较图 4-9 中三个格网）。实际中每种投影的变形各 不相同，通过考察地球表面上一个微小的圆形（称为微分圆）在投影中的表象——变形椭圆 的形状和大小，就可以反映出投影中变形的差异（图 4-10）。 图 4-10：微分圆表示投影变形 3．3 地图投影的分类 地图投影的种类很多，为了学习和研究的方便，应对其进行分类。由于分类的标志不同， 分类方法就不同。从使用地图的角度出发，需要了解下述几种分类。 3．3．1 按变形性质分类 按变形性质地图投影可以分为三类：等角投影、等积投影和任意投影。 1）等角投影 定义为任何点上二微分线段组成的角度投影前后保持不变，亦即投影前后对应的微分面 积保持图形相似，故可称为正形投影。投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两 线段夹角相等，即角度变形为零。等角投影在一点上任意方向的长度比都相等，但在不同地 点长度比是不同的，即不同地点上的变形椭圆大小不同。 2）等积投影 定义为某一微分面积投影前后保持相等，亦即其面积比为 1，即在投影平面上任意一块
