《概率论与数理统计》课程教材课件（PPT讲稿）2-3 随机变量的分布函数

第三节 随机变量的分布函数 一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 三、例题讲解 四、小结

一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 三、例题讲解 四、小结 第三节 随机变量的分布函数

一、 分布函数的概念 1.概念的引入 对于随机变量X,我们不仅要知道X取哪些值， 要知道X取这些值的概率；而且更重要的是想知 道X在任意有限区间(a,b)内取值的概率. 例如求随机变量X落在区间(x,飞2]内的概率. Px1<X≤x,PK≤x-PIX≤ F(x2) F(x)分布 函数 P{x1<X≤2}=F(x2)-F(x1):

对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值, 要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知 道 X 在任意有限区间(a,b)内取值的概率. { } P x1  X  x2 { } { } = P X  x2 − P X  x1 ( ) F x2 ( ) F x1 { } P x1  X  x2 分布 函数 ( ) ( ). = F x2 − F x1  ? 一、分布函数的概念 例如 ( , ] . 求随机变量 X 落在区间 x1 x2 内的概率 1.概念的引入

2.分布函数的定义 定义设X是一个随机变量x是任意实数，函数 F(x)=P{X≤x} 称为X的分布函数 说明 ()分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况 (2)分布函数F(x)是x的一个普通实函数

2.分布函数的定义 说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况. . ( ) { } , , 称 为 的分布函数 定 义 设 是一个随机变量 是任意实数函 数 X F x P X x X x =  (2)分布函数 F(x) 是 x 的一个普通实函数

二、分布函数的性质 (1)0≤F(x)≤1，x∈(-∞，o)； (2)F(x1)≤F(x2),(x1<x2)； 证明由x1<x2→{X≤X1c{X≤x2}, 得P{X≤x}≤P{X≤x2}, 又F(x)=P{X≤x},F(x2)=P{X≤2}， 故F(x)≤F(x,)

(1) 0  F(x)  1, x  (−,); (2) ( ) ( ), ( ); F x1  F x2 x1  x2 证明 由 x1  x2 { } { }, 1 2 得 P X  x  P X  x ( ) ( ). 1 2 故 F x  F x { }  X  x1 { },  X  x2 ( ) { }, 1 1 又 F x = P X  x ( ) { }, 2 2 F x = P X  x 二、分布函数的性质

(3)F(-0o)=lim F(x)=0,F(co)=lim F(x)=1; 00 X00

(3) (−) = lim ( ) = 0, →−  F F x x () = lim ( ) = 1; → F F x x

(4)lim F(x)=F(xo),(-o<xo<o). x→x0 即任一分布函数处处右连续， ↑F(x) 0, x<0, p1,0≤x<x, F(x)= P2 P2,X1≤x<X2, 1,x≥x2 X

(4) lim ( ) ( ), ( ). 0 0 0 = −     + → F x F x x x x 即任一分布函数处处右连续.              = 1, . , , , 0 , 0, 0, ( ) 2 2 1 2 1 1 x x p x x x p x x x F x o x F(x) • 1 x • 2 x  p1  2 p 1

重要公式 (1)P{a}=1-F(). 证明因为{X≤b}={X≤aU{a<X≤b}, {X≤a∩{a<X≤b}=, 所以P{X≤b}=P{X≤a}+P{a<X≤b}, 故P{a<X≤b}=F(b)-F(a)

重要公式 (1) P{a  X  b} = F(b) − F(a), (2) P{X  a} = 1 − F(a). 证明 因为 {X  b} = {X  a}{a  X  b}, {X  a}{a  X  b} = , 所以 P{X  b} = P{X  a} + P{a  X  b}, 故 P{a  X  b} = F(b) − F(a)

三、例题讲解 例1将一枚硬币连掷三次，X表示“三次中正面 出现的次数”，求X的分布律及分布函数，并求下 列概率值P1<X<3},P{X≥5.5}，P{1<X≤3}. 解 设H一正面，T-反面，则 S -HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT, X0123 因此分布律为 1331 888 8

S = HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT, 因此分布律为 8 1 8 3 8 3 8 1 0 1 2 3 p X 解 则 三、例题讲解 {1 3}, { 5.5}, {1 3}. , , , P  X  P X  P  X  X X 列概率值 出现的次数”求 的分布律及分布函数 并求下 例1 将一枚硬币连掷三次 表示“三次中正面 设H − 正面, T −反面

求分布函数 当x<0时， 3 F(x)=P{X≤x}=0; 当0≤x<1时， Frw=PXs=PX=明=A,-S :s0 当1≤x<2时， F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1} =∑p,+31 x,≤1 88-2

; 2 1 8 3 8 1 = + = 当 x  0时, 当0  x  1时, 求分布函数 F(x) = P{X  x} x • o • 1 • 2 • 3 F(x) = P{X  x}= P{X = 0} ; 8 1 0 =  = xi  i p F(x) = P{X  x}   = xi 1 pi = P{X = 0}+ P{X = 1} = 0; 当1  x  2时

当2≤xp 1.3.37 ， 88887 当x≥3时， F(x)=P(X<x)=P(X=0)+PX=1) +P{X=2+P{X=3} =∑p,=1

当 2  x  3时, ; 8 7 8 3 8 3 8 1 = + + = 当 x  3时, F(x) = P{X  x} F(x) = P{X  x}   = xi 2 pi = P{X = 0} + P{X = 1}+ P{X = 2} x • o • 1 • 2 • 3  = 1.  = 3 i x i p = P{X = 0}+ P{X = 1} + P{X = 2}+ P{X = 3}