第二节 边缘分布 一、边缘分布函数 二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布 四、小结
二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布 一、边缘分布函数 四、小结 第二节 边缘分布
边缘分布函数 问题：已知(X的分布：如何确定X 的分布？ F(x,y)=P{X≤x,Y≤y},F(x)=P{X≤x}, P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,o)=Fx(x) 0 (X,Y)关于X的边缘分布函数
一、边缘分布函数 F(x, y) = P{X x,Y y}, F(x) = P{X x}, P{X x} = P{X x,Y } = F(x,) F (x) = X (X,Y )关于X的边缘分布函数. 问 题:已知 (X,Y )的分布, 如何确定 X,Y 的分布?
定义设F(x,y)为随机变量(X,Y)的分布函数， 则F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}. 令y→o,称P{X≤x}=P{X≤X,Y<o}=F(x,∞) 为随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数 记为Fx(x)=F(x,o): 同理令x→0， F(y)=F(o,y)=P{X<o,Y≤y}=P{Y≤y} 为随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数
F ( y) F( , y) P{X ,Y y} P{Y y} Y = = = 为随机变量 ( X,Y )关于Y 的边缘分布函数. ( , ) . , { } { , } ( , ) ( , ) { , }. ( , ) ( , ) , 为随机变量 关 于 的边缘分布函数 令 称 则 设 为随机变量 的分布函数 X Y X y P X x P X x Y F x F x y P X x Y y F x y X Y → = = = F (x) = F(x,). 记为 X 定义 同理令 x →
二、离散型随机变量的边缘分布律 定义 设二维离散型随机变量X,Y)的联合分布 律为 P{X=x,Y=yj}=P,i,j=1,2,. 记 Di=po=P(X=xih,i=12. 0 p=∑P,=PY=y,j=l2, 分别称p.(i=1,2,)和p(=1,2,)为(X,Y) 关于X和关于Y的边缘分布律
. ( 1,2, ) ( 1,2, ) ( , ) { }, 1,2, , { }, 1,2, , { , } , , 1,2, . ( , ) 1 1 关 于 和关于 的边缘分布律 分别称 和 为 记 律 为 设二维离散型随机变量 的联合分布 X Y p i p j X Y p p P Y y j p p P X x i P X x Y y p i j X Y i j j i j ij i j i ij i j ij = = = = = = = = = = = = = = • • = • = • 定义 二、离散型随机变量的边缘分布律
X xI X2 Xi 。 Pu P21 y2 P12 D22 i2 PX=x}=∑Pgi=1,2, PW=y}=∑Pg,j=1,2
{ } , 1,2, ; 1 = = = = P X x p i j i ij { } , 1,2, . 1 = = = = P Y y p j i j ij X Y x1 x2 xi j y y y 2 1 p11 p21 pi1 p12 p22 pi 2 p1 j p2 j pij
因此得离散型随机变量关于X和Y的边缘分布函 数分别为 F,()=FK,o）=∑2p, x:≤xi=l F,0)=Fo,)=∑∑P
( ) ( , ) , 1 = = = x x j X ij i F x F x p ( ) ( , ) . 1 = = = y y i Y ij j F y F y p 因此得离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函 数分别为
例1已知下列分布律求其边缘分布律 0 1 16 12 49 49 12 9 49 49
例1 已知下列分布律求其边缘分布律. X Y 0 1 49 16 49 12 49 12 49 9 1 0
解 0 1 p.=P(Y=y} 12 12 4 + 老 3 42 42 Pi.=P(X=xi} 4-7 3-7 1 注意 联合分布 边缘分布
X Y 0 1 42 12 42 12 42 12 42 6 1 0 { } i i p = P X = x • { } j j p = P Y = y • 注意 联合分布 边缘分布 解 + + + + 7 4 7 3 1 7 4 7 3
例2一整数N等可能地在1,2,3，.，10十个值中取 一个值.设D=D(N)是能整除N的正整数的个数， F=F(N)是能整除N的素数的个数.试写出D和F 的联合分布律，并求边缘分布律. 解 样本点 12345678910 D 1223242434 F 0111121112 由此得D和F的联合分布律与边缘分布律：
解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 0 1 1 1 1 2 1 1 1 2 例2 , . ( ) . . ( ) , 1,2,3, ,10 的联合分布律 并求边缘分布律 是能整除 的素数的个数 试写出 和 一个值 设 是能整除 的正整数的个数 一整数 等可能地在 十个值中取 F F N N D F D D N N N = = 由此得 D 和F 的联合分布律与边缘分布律 : 样本点 D F
D F 1 23 4 P(F=j 0 1/10 0 0 0 1/10 1 0 4/102/101/10 7/10 2 0 0 02/10 2/10 P{D=} 1/104/10 2/10 3/10 1 或将边缘分布律表示为 D1234 F012 P:1/104/102/103/10 1y107/102/10
D k p 1 2 3 4 1 10 4 10 2 10 3 10 F k p 0 1 2 1 10 7 10 2 10 1 2 3 4 1 10 0 0 0 0 4 10 2 10 1 10 0 0 0 2 10 D F P{F = j} 1 10 7 10 2 10 P{D = i} 1 10 4 10 2 10 3 10 1 或将边缘分布律表示为 0 1 2