第六节 (0-1) 分布参数的区间 估计 一、置信区间公式 二、典型例题
第六节 分布参数的区间 估计 一、置信区间公式 二、典型例题 (0 − 1)
置信区间公式 设有一容量n>50的大样本，它来自(0-1)分布 的总体X,X的分布律为f(x;p)=p(1-p)x, x=0,1,其中p为未知参数，则p的置信度为1-a的 置信区间是 2a 2a 其中a=n+z22,b=-(2nX+z忌2，c=n2
一、置信区间公式 置信区间是 其中 为未知参数 则 的置信度为 的 的总体 的分布律为 设有一容量 的大样本 它来自 分布 = − = − − − 0, 1, , 1 , ( ; ) (1 ) , 50 , (0 1) 1 x p p X X f x p p p n x x , 2 4 , 2 4 2 2 − − − − + − a b b ac a b b ac , 2 / 2 其中a = n + z (2 ), 2 / 2 b = − nX + z . 2 c = nX
推导过程如下： 因为(0-1)分布的均值和方差分别为 4=p,o2=p(1-p), 设X1,X2,Xn是一个样本因为容量n较大， ∑X,-p 由中心极限定理知 i=l n又-np np(1-p)np(1-p) 近似地服从N(0,)分布， 小-a
推导过程如下: 因为(0–1)分布的均值和方差分别为 , (1 ), 2 = p = p − p , , , , 设 X1 X2 Xn 是一个样本 因为容量n较大, 由中心极限定理知 (1 ) (1 ) 1 np p nX np np p X np n i i − − = − − = 近似地服从N(0,1)分布, 1 , (1 ) / 2 / 2 − − − − z np p nX np P z
不等式-za12< nX-np np(1-p) 人Za12 等价于(n+z2)p2-(2nr+2)p+nX2<0, 令A=4-次c,2=b+6=c 2a 2a 其中a=n+22,b=-(2nr+z22),c=nX2. 则p的近似置信水平为1-的置信区间是 (P1,P2)
/ 2 / 2 (1 ) z np p nX np z − − 不等式 − ( ) (2 ) 0, 2 2 / 2 2 2 等价于 n + z / 2 p − nX + z p + nX , 2 4 , 2 4 2 2 2 1 a b b ac p a b b ac p − + − = − − − 令 = , 2 / 2 其中a = n + z (2 ), 2 / 2 b = − nX + z . 2 c = nX 则 p的近似置信水平为1− 的置信区间是 ( , ). p1 p2
二、典型例题 例1设从一大批产品的100个样品中，得一级品60 个，求这批产品的一级品率p的置信水平为0.95的 置信区间. 解一级品率p是0-1)分布的参数， 6 n=100,x= 0=0.6, 10 1-a=0.95,3a12=.025=1.96, 则a=n+z/2=103.84
二、典型例题 设从一大批产品的100个样品中, 得一级品60 个, 求这批产品的一级品率p 的置信水平为0.95的 置信区间. 解 一级品率 p 是(0-1)分布的参数, n = 100, 0.6, 100 60 x = = 1− = 0.95, 1.96, z / 2 = z0.025 = 103.84, 2 则a = n + z / 2 = 例1
b=-(2n+z22)=-(2c+z2)=-123.84, c=nX2=nx2=36, 于是B,=-b-VB2-4ac =0.50, 2a -b+b2-4ac P2= =0.69, 2a p的置信水平为0.95的置信区间为(0.50,0.69)
(2 ) 2 / 2 b = − nX + z (2 ) 2 / 2 = − nx + z = −123.84, 2 2 c = nX = nx = 36, a b b ac p 2 4 2 1 − − − 于是 = a b b ac p 2 4 2 2 − + − = = 0.50, = 0.69, p 的置信水平为0.95的置信区间为 (0.50, 0.69)
例2设从一大批产品的120个样品中，得次品9个， 求这批产品的次品率p的置信水平为0.90的置信 区间 9 解n=120,x= =0.09,1-a=0.90, 100 则a=n+z2=122.71, b=-(2nX+za2)=-(2+z22)=-24.31, c=-nX2=-nx2=0.972
设从一大批产品的120个样品中, 得次品9个, 求这批产品的次品率 p 的置信水平为0.90的置信 区间. 解 n = 120, 0.09, 100 9 x = = 1− = 0.90, 例2 2 2 则 a = n + z = 122.71, (2 ) 2 2 b = − nX + z (2 ) 2 2 = − nx + z = −24.31, 2 c = −nX 2 = −nx = 0.972
于是P,= -b-b2-4ac =0.056, 20 P:=-b+vb2-4ac =0.143, 20 p的置信水平为0.90的置信区间为(0.056,0.143)
p 的置信水平为0.90的置信区间为 (0.056, 0.143). a b b ac p 2 4 2 1 − − − 于是 = = 0.056, a b b ac p 2 4 2 2 − + − = = 0.143