第六节独立性 一、两个随机事件相互独立 二、多个随机事件相互独立 三、独立性的概念在计算概率中的应用 重点：独立性的定义、性质和应用
第六节 独立性 一、两个随机事件相互独立 二、多个随机事件相互独立 三、独立性的概念在计算概率中的应用 重点：独立性的定义、性质和应用
一、两个随机事件的相互独立性 1.引例 盒中有5个球(3绿2红)，每次取出一个，有放回 地取两次.记 A=第一次取到绿球， B=第二次取到绿球， 则有P(BA)=P(B) 它表示A的发生并不影响B发生的可能性大小 P(BA)=P(B)←→P(AB)=P(A)P(B)
5 (3 2 ), , . , , A B = = 盒中有 个球 绿 红 每次取出一个 有放回 地取两次 记 第一次取到绿球 第二次取到绿球 一、两个随机事件的相互独立性 则有 P B A P B ( ) ( ) = 它表示 A B 的发生并不影响 发生的可能性大小. P B A P B ( ) ( ) = P AB P A P B ( ) ( ) ( ) = 1.引例
2.定义设A,B是两事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B相互独立，简称A,B独立. 3.性质： 。必然事件S与任意随机事件A相互独立. ●不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立
, , ( ) ( ) ( , , . ) A B P AB P A P B A B A B = 设 是两事件 如 相互独立， 果满足等式 则称事件 简称 独立 2. 定义 ⚫ 必然事件S与任意随机事件A相互独立. ⚫ 不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立． 3. 性质:
定理1设A,B是两事件，且P(A)>0.则 A,B相互独立→P(BA)=P(B)(台P(AB)=P(AP(B) 定理2若A,B相互独立，则下列各对事件， A与B,A与B,A与B也相互独立， 证明先证A与B独立.由假设知P(AB)=P(A)P(B), .P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB) P(A)-P(A)P(B)=P(A)1-P(B)] =P(A)P(B),从而A与B相互独立· 由此可立即推出A与B相互独立； 再由B=B,又推出A与B相互独立
, , , , . , A B A A B B A B 若 相互独立 则下 与 列各对事件 与 与 也相互独立 定理2 定理1 设 A B P A , , ( ) 0. 是两事件 且 则 A B P B A P B , ( ) ( ) 相互独立 = （ = P AB P A P B ( ) ( ) ( )） 证明 先证 A B 与 独立. 从而 A B 与 相互独立 . 由假设知P AB P A P B ( ) ( ) ( ) = ， P AB ( ) = − P A P AB ( ) ( ) = − P A P A P B ( ) ( ) ( ) = − P A P B ( )[1 ( )] = P A P B ( ) ( ), = − P A AB ( ) A B B B A B = 由此可立即推出 与 相互独立； 再由 ，又推出 与 相互独立
例从一副不含大小王的扑克牌中任取一张， 记A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的 问事件A、B是否独立？ 解由 P)= 261 5213 P(B)= 522 P(AB)=2、1 5226 可知 P(AB)=P(A)P(B) 故事件A,B独立
例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张， 记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}. 可知 由 故事件 独立. 问事件A、B是否独立？ 解 P AB P A P B ( ) ( ) ( ) = 4 1 ( ) = 52 13 P A = 26 1 ( ) = 52 2 P B = 2 1 ( ) 52 26 P AB = = A B
在实际应用中，往往根据问题的实际意义去判断两事件是 否独立. 例如 甲、乙两人向同一目标射击，记A={甲命中}， B={乙命中}，A与B是否独立？ 由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B 独立. 说明：两个事件相互独立，是指其中一个事件的发生，不影 响另一个发生的概率
在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是 否独立. 例如 由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A 、 B 独立 . 甲、乙两人向同一目标射击,记 A ={甲命中}, B ={乙命中}， A与B是否独立？ 说明：两个事件相互独立，是指其中一个事件 的发生，不影 响另一个发生的概率
又如：一批产品共n件，从中抽取2件， 设A,={第i件是合格品}i=1,2 若抽取是有放回的， 则A1与A2独立. 因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响， 若抽取是无放回的，则A1与A2不独立 因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响
一批产品共 件，从中抽取2件， 设 ={第 件是合格品} i=1,2 若抽取是有放回的, 则A 1与A 2独立. 因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响. 又如： 因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的，则A 1与A 2不独立. Ai n i
请问：如图的两个事件是独立的吗？P(A)>0,P(B)>0 我们来计算：P(AB)=0 而P(A)>0,P(B)>0 即 P(AB)≠P(AP(B) 故A、B不独立 即若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,则A与B不独立. 反之，若A与B独立，且P()>0,P(B)>0,则A与B不互斥， 若P(A)>0,P(B)>0,则A,B相互独立与A,B互不相容不能 同时成立。 二者之间没有必然联系
请问：如图的两个事件是独立的吗？ A B 即 若A 、 B互斥，且 ,则A与B不独立. 反之，若A与B独立，且 ,则A与B不互斥. 而 故 A 、 B不独立 我们来计算： P(AB)=0 即 P A P B ( ) 0 ( ) 0 ， P AB P A P B ( ) ( ) ( ) P A P B ( ) 0 ( ) 0 ， P A P B ( ) 0 ( ) 0 ， P A P B ( ) 0 ( ) 0 ， 若P(A)>0, P(B)>0,则A，B相互独立与A，B互不相容不能 同时成立。 二者之间没有必然联系
前面我们看到独立与互斥的区别和联系， 再请你做个小练习. 设A,B为互斥事件，且P(4)>0,P(B)>0,下面四 个结论中，正确的是： 1.P(BA)>0 2.P(A|B)=P(A) 3.P4B)=0/4.PAB)=P4AP(B) 设A、B为独立事件，且P(4)>0,P(B)>0,下面四 个结论中，正确的是： 1.PBA)>02.P4B)=P(4) 3.PAB)=0 4.P(AB)=P(A)P(B) JJ
设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四 个结论中，正确的是： 前面我们看到独立与互斥的区别和联系， 1. P(B|A)>0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B) 设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四 个结论中，正确的是： 1. P(B|A)>0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B) 再请你做个小练习
二、多个随机事件相互独立 1.三事件相互独立的概念 定义2：三事件相互独立 设A,B,C是三个事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C),→事件A,B,C两两相互独立. P(AC)=P(A)P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C), 则称事件A,B,C相互独立· 注意三个事件相互独立一三个事件两两独立
注意 三个事件相互独立 三个事件两两独立. 定义2：三事件相互独立 设 A B C , , , 是三个事件 如果满足等式 A B C , , . 事件 两两相互独立 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), P AB P A P B P BC P B P C P AC P A P C P ABC P A P B P C = = = = 则称事件 A B C , , . 相互独立 二、多个随机事件相互独立 1. 三事件相互独立的概念