第四节等可能概型（古典概型) 一、古典概型 二、古典概型的基本模型
第四节 等可能概型（古典概型） 一、古典概型 二、古典概型的基本模型
一、等可能概型（古典概型） 1.定义若试验E满足下面两点： 1°试验的样本空间只包含有限个元素； 2°试验中每个基本事件发生的可能性相同。 这种试验称为等可能概型，也称古典概型。 说明： (1)样本空间S一由试验目的决定； (2)元素个数的计算一排列、组合（加法原理、乘法原理）， (3)等可能性的判断一对称性经验
定义 若试验 E 满足下面两点： 1°试验的样本空间只包含有限个元素; 2°试验中每个基本事件发生的可能性相同。 这种试验称为等可能概型，也称古典概型。 1. 说明： （1）样本空间 S ——由试验目的决定； （2）元素个数的计算——排列、组合（加法原理、乘法原理）. （3）等可能性的判断——对称性经验. 一、等可能概型(古典概型)
2.古典概型中事件概率的计算公式 设试验E的样本空间由n个样本点构成，事件A 包含k个样本点，则事件A出现的概率为： 古典概型 P(A)=k- kA所包含样本点的个数 的概率计 n S所含样本点总数 算公式 证明设试验E的样本空间为S={e,e2,L,e},A={ee,L,e} pS=Pe,》+Pte,)++Pe.)=1→Pte,=n Pg》=Pte》==Pe.了-12.-m →P(④=P（e,Ue,UUe) =Pe,》+P(te,》++Pe》=《
设试验 E 的样本空间由 n 个样本点构成，事件A 包含 k 个样本点，则事件 A 出现的概率为: 2. 古典概型中事件概率的计算公式 设试验 E S e e e A e e e 的样本空间为 = = 1 2 , , , , , , , , L L n i i i 1 2 k . S 所包含样本点的个数 （ ） 所含样本点总数 k A P A n = = 古典概型 的概率计 算公式 证明 ( ) 1 2 ( ) { } { } } { k i i i = P A P e e e . k n = 1 2 ({ }) ({ }) ({ }) k = + + + P e P e P e i i i 1 2 ( ) ({ }) ({ }) ({ }) P S P e P e P e = + + + n = 1 1 2 ({ }) ({ }) ({ }) P e P e P e = = = n 1 ({ }) . P ei n = ( 1,2, ) i n =
3.古典概型举例 例1.将一枚硬币抛掷三次 ()设事件A为"恰有一次出现正面"，求P(A); (2)设事件A2为"至少有一次出现正面"，求P(A) 解设H为出现正面，T为出现反面 S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT. n-8,即S中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发 生的可能性相同，属于古典概型。 (1)A={HTT,THT,TTH).P(A )=3/8, (2)A,=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH →P(A2)=7/8. 或P(A2)=P({TTT)=1/8→P(A2)=7/8
3. 古典概型举例 解 则S HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT = { , , , , , , , }. 1 (1) { , , }. A HTT THT TTH = 1 得 P A( ) 3 8, = 1 1 2 2 . (1) " ", ( ); (2) " ", ( ). A P A A P A 将一枚硬币抛掷三次 设事件 为 恰有一次出现正面 求 设事件 为 至少有一次出现正面 求 设 H T 为出现正面 , . 为出现反面 n = 8，即S 中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发 生的可能性相同，属于古典概型。 例1. 2 (2) { , , , , , , }. A HHH HHT HTH THH HTT THT TTH = 2 或 P A P TTT ( ) ({ }) 1 8 = = / 2 = P A( ) 7 8. 2 = P A( ) 7 8
注：当样本空间S中的元素较多时概率的计算： 母来中足的本}心0-合 相关的排列组合知识 1、加法原理：若完成某事分k类方法，第i类有m:种方法 (=1,2,k),则完成该事共有m+m2+.+mk: 2、乘法原理：若完成某事分k步，第i步有m种方法 (=1, 2,.,k)则完成该事共有mX2X.Xmk: 3、排列数：A”=n(n-1)(n-2).(n-m+1) 4组合数：C”=父 n! n m! m!(n-m)
. S S n k P A A k n = 注：当样本空间 中的元素较多时概率的计算： （1）求出 中元素的个数 ； （ ） （2）求出 中元素的个数 ； 相关的排列组合知识 2、乘法原理： 若完成某事分 k 步，第 i 步有 mi 种方法（i=1， 2，.,k）则完成该事共有 m1× m2 × . × mk . 3、排列数： 4、组合数： ( 1)( 2).( 1) m A n n n n m n = − − − + ! ! !( )! m m n n A n n C m m n m m = = = − 1、加法原理： 若完成某事分 k 类方法，第 i 类有 mi 种方法 （i=1，2，.,k），则完成该事共有 m1+ m2+.+ mk
二.古典概型的基本模型 1.随机摸球模型
二. 古典概型的基本模型 1.随机摸球模型
例2一口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球。从袋 中取球两次，每次随机取一只。考虑两种取球方式： (a)放回抽样：第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中， 搅匀后再取一球， (b)不放回抽样：第一次取一球不放回袋中，第二次从剩 余的球中再取一球.试分别就上面两种情况求： (1)取到的两只球都是白球的概率； (2)取到的两只球颜色相同的概率； (3)取到的两只中至少有一只白球的概率
例 2 一口袋装有 6 只球，其中 4 只白球、2 只红球。从袋 中取球两次，每次随机取一只。考虑两种取球方式： （a）放回抽样：第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中， 搅匀后再取一球. （b）不放回抽样：第一次取一球不放回袋中，第二次从剩 余的球中再取一球. 试分别就上面两种情况求： （1）取到的两只球都是白球的概率; （2）取到的两只球颜色相同的概率; （3）取到的两只中至少有一只白球的概率
4只白球、2只红球 解：记A表示取到的两只都是白球； B表示取到的两只都是红球； C表示取到的两只中至少有一只白球。 (a)放回抽样：从袋中依次取两球（有放回）， 每种取法为一基本事件，取法总数：6×6；由对称性知 等可能性。 0P(A0= 而P(B)= 2×2 6×6 6×6 (2)P("两球同色")=P(AUB) 4×4,2×25 =P(40+P(B)=6x6+6x6 9 ③)P(G)=P(B=I-P(B)=S
解：记 A 表示取到的两只都是白球; B 表示取到的两只都是红球; C 表示取到的两只中至少有一只白球。 (1) P A( ) 4 4 6 6 = 4 9 = (2) P P A B (" ") ( ) 两球同色 = 4 4 2 2 6 6 6 6 = + = + P A P B ( ) ( ) 5 9 = (3) P C( ) = P B( ) 8 9 = −1 ( ) P B = 2 2 6 6 而P B( ) = （a）放回抽样： 从袋中依次取两球（有放回）， 每种取法为一基本事件，取法总数：6×6；由对称性知 等可能性。 4只白球、2只红球
4只白球、2只红球 (b)不放回抽样 4×32 (①P(A)=6x5 5 2×11 P(B)= 6×515 (2)P(AUB)=P(A)+P(B)= 4×3.2×17 6×56×515 14 (③)PC)=P(B=1-PB)=
(1) P A( ) 4 3 6 5 = 2 5 = (2) P A B ( ) 4 3 2 1 6 5 6 5 = + = + P A P B ( ) ( ) 7 15 = (3) P C( ) = P B( ) 14 15 = −1 ( ) P B = P B( ) 2 1 6 5 = 1 15 = （b）不放回抽样 4只白球、2只红球
例3.设有N件产品，其中有D件次品，今从中任取件，问 其中恰有k(k≤D)件次品的概率是多少？ 解在N件产品中抽取件的所有可能取法共有C:种， 在N件产品中抽取件，其中恰有k件次品的取法共有 CC。种，于是所求的概率为D=C5C。 CN 超几何分布的概率公式 练习：在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为 白球，这些球除颜色外完全相同。游戏者一次从中摸出5个 球，摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？
在 N 件产品中抽取 n 件，其中恰有 k 件次品的取法共有 , k n k C CD N D − − 种 于是所求的概率为 . k n k D N D n N C C p C − − = 解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有 , n CN 种 ? 3. , , ( ) 设有 件产品 其中有 件次品 今从中任取 件，问 其中恰有 件次品的概率 例 是多少 N D n k k D —— 超几何分布的概率公式 练习：在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为 白球，这些球除颜色外完全相同。游戏者一次从中摸出5个 球 ，摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？