第二节方差(Variance) 一、方差的定义 二、方差的性质 三、常见分布的方差 四、切比雪夫不等式
一、方差的定义 二、方差的性质 三、常见分布的方差 四、切比雪夫不等式 第二节 方差(Variance )
一、方差的定义 设X是一个随机变量，若E{X-一E(X)}存在， 则称EX-E(X)}为X的方差，记为D(X)或 Var(X),D(X)-Var(x)-E[x-E(X) 称√D(X)为标准差或均方差，记为σ(X). 注：方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的偏离程度
一、方差的定义 设 是一个随机变量 若 存在 则称 为 的 差，记为 或 即 方 2 2 , {[ ( )] } , {[ ( ) ] } ( ) Var( ), X E X E X E X E X X D X X − − 注：方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的偏离程度。 称 D( ) , X 为标准差或均方差 记为σ( ). X 2 D X X E X E X ( ) Var( ) ( ) . = = −
方差的计算 定理1°设X为离散型随机变量，分布律为 PiX=x)=p(k=12.),-E(XPe 绝对收敛，则DX)上∑-EX。 2°设X为连续型随机变量，概率密度为fx), 若」x-E(Xf()dx绝对收敛，则 DX=∫」Ix-E(Xfx)dx 简化公式 D(X)=E(X2)-IE(X)2
定理 1o 设 X 为离散型随机变量，分布律为 { } ( 1,2, ) P X x p k = = = k k ，若 2 1 [ ( )] k k k x E X p = − 绝对收敛，则 2 1 ( ) [ ( )] k k k D X x E X p = = − 。 2o 设 X 为连续型随机变量，概率密度为 f (x)， 若 2 [ ( )] ( )d x E X f x x − − 绝对收敛，则 2 D X x E X f x x ( ) [ ( )] ( )d − = − 简化公式 2 2 D X E X E X ( ) ( ) [ ( )] . = − 方差的计算
二、方差的性质 1.设C是常数，则D(C)=0 证明D(C)=EIC-E(C)}=0. 2.设X是一个随机变量，C是常数，则有 D(CX)=C2D(X),D(X+C)=D(X). 证明D(CX)=E{ICX-E(CX)} =C2EX-E(X)=C2D(X). D(X+C)=EX+C-E(X+C) =EIX-E(X=D(X). →D(X+b)=a2D(X)
证明 2 D C E C E C ( ) {[ ( )] } == − 二、方差的性质 = 0. 2. 设X C 是一个随机变量, , 是常数 则有 证明 D CX ( ) 2 2 = − C E X E X {[ ( )] } 2 = C D X( ).2 = − E CX E CX {[ ( )] } 1. ( ) 0 设C是常数，则D C = 2 + = D aX b a D X ( ) ( ) 2 D CX C D X D X C D X ( ) ( ) ( ) ( ). = + = ， 2 D X C ( ) + = + − + E X C E X C {[ ( )] } 2 = − E X E X {[ ( )] }= D X( )
3.设X,Y是两个随机变量，则有 X,Y的协方差：Cow(X,Y) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)IY-E(Y) 特别地，当X,Y相互独立时，有D(X+Y)=D(X)+D(Y), 证明X,X2.,X相互独立，则 DXD(X).DCX.1-CD(x). 若x,Y独立，a,b是常数，则D(X+bY)=a2D(X)+b2D(Y) 4.D(X=0的充要条件是P{X=E(X)}=1 证：(1)充分性：(=)若P{X=E(X)}=1. →PX2=E2(X)}=1.→E(X2)=E2(X) →D(X)=0. (2)必要性：（→)待证
D X Y D X D Y E X E X Y E Y ( ) ( ) ( ) 2 [ ( )][ ( )] + = + + − − D X Y D X D Y ( ) ( ) ( ). + = + 3. 设X Y, 是两个随机变量,则有 特别地，当X,Y相互独立时，有 1 2 , , , 推 证明： 广：若X X Xn相互独立，则 2 1 1 [ ] ( ). n n i i i i i i D C X C D X = = = 1 1 [ ] ( ), n n i i i i D X D X = = = 若X ,Y 独立,a , b 是常数, 则 2 2 D aX bY a D X b D Y ( ) ( ) ( ) + = + 4. 0 { ( )} 1 D X P X E X ( ) = = = 的充要条件是 证： (1)充分性：( ) 若 P X E X { ( )} 1. = = 2 2 = = P X E X { ( )} 1. 2 2 = E X E X ( ) ( ) = D X( ) 0. (2)必要性： ( ) 待证. X Y X Y , Cov( , ) 的协方差:
例1：设随机变量X的期望，方差存在， 则对X的标准化变量X·=X-E(X ,有 √D(X) E(X*)=0, D(X*)=1. 即随机变量经过标准化后，期望和方差分别为0,1
即随机变量经过标准化后，期望和方差分别为0,1. 例1：设随机变量X的期望，方差存在， ( *) 0 ( *) 1. E X D X = = ， ( ) , ( ) 则对 的标准化变量 有 X E X X X D X − =
D(X)=E(X-E(X) X 0 1 三、常见分布的方差 Px 1-P p 1.两点分布：X~(0,1)参数为p.E(X)=卫 例2 →DX)=pI-p) 2.Poisson分布：X~π(2)，EX)=ADX)=2 例3 PiX=k)= k e-,k=0,l,2,.,2>0 E(X)=E[X(X-1)+X]=E[X(X-1]+E(X) 宫-心客2 =22e-2.e2+=22+2∴.D(X)=E(X2)-IE(X)=元
三、常见分布的方差 1. ~ (0,1) . 两点分布：X p 参数为 例2 = − D X p p ( ) (1 ). X ~ ( ) ，E X （ ）= { } , 0,1,2, , 0 ! k P X k e k k − = = = 2. Poisson分布： D X （ ）= 例3 E X p （ ）= 2 E X E X X X （ ）= − + （ 1） ( ) 2 2 2 2 ! k k e k − − = = + − 2 = + 0 ( 1) ! k k k k e k − = = − + = − + E X X E X （ 1 ( ) ） 2 e e − = + 2 2 = − D X E X E X ( ) ( ) [ ( )] = 2 2 D X E X E X ( ) ( ) [ ( )] = − 0 1 1 k X p p p −
3.均匀分布：X~UIa,b小. E0-D-6 2 12 例4 EX)dx-dx a2+ab+b2 ∫xeidx=g.ra)(a,0>0) 4. 指数分布：X~e(8).E()=日 DX)=02 例5 Ef)dxdx 20 ·.DX)=E(X2)-[E(X)=02
X U a b ~ [ , ]. 2 a b E X + 3. 均 匀 分 布: （ ）= ( )2 12 b a D X − （ ） = 4. 指 数 分 布: X e ~ ( ) . E X （ ）= 2 D X （ ）= 例 4 例 5 2 0 1 d x θ x e x θ − = 1 3 2 (3) 2 = = 2 2 = − D X E X E X ( ) ( ) [ ( )] 2 = θ 2 2 E X x f x x ( ) ( )d − = 2 1 d ba x x b a = − 2 2 E X x f x x ( ) ( )d − = 2 2 3 a ab b + + = 2 2 = − D X E X E X ( ) ( ) [ ( )] ( )2 12 b a − = 1 0 d ( ) ( , 0) x x e x + − − =
5.二项分布：X~b(n,p)E(X)=p 方法 1一利用定义式. E(X=∑kPX=k=∑kCAp'q- k=0 k=( -C ncre k-1 pf-g"t =np
5. ~ ( , ) 二项分布：X b n p E X np （ ）= 方法1 —— 利用定义式. E X( ) 1 1 1 n k k n k n k nC p q − − − = 0 n k k n k n k kC p q − = = 1 n k k n k n k kC p q − = = 1 1 1 1 n k k n k n k np C p q − − − − = = = np. 0 { } n k kP X k = = = 1 1 k k n n n C C k − − =
5.二项分布：X~b(n,p)E(X)=pDX)=pI-p) 方法1一利用定义式. E(X)=E[X(X-I)+X]=E[X(X-1]+E(X) =∑kk-I)Cpq-*+np k=0 -24-l0h1-p广+w 2 =2mn=2p'1-p-+m 2(k-2)(n-k) =n-10p2∑Cp-2q-*+p=n-1p2+m, ∴.D(X)=E(X2)-IE(X)'=p1-p)
5. ~ ( , ) 二项分布：X b n p E X np （ ）= 2 E X E X X X （ ）= − + （ 1） 0 ( 1) k k n k n k k k C p q np − = = − + = − + E X X E X （ 1 ( ) ） 2 2 = − D X E X E X ( ) ( ) [ ( )] 2 ! ( 1) ( !( )! 1 ) n k n k k n k n k k p np k p − = = − − + − 2 ( 2)! ( 2)!( )! ( 1) (1 ) n k n k k n n p p np n k n k − = − − − − = − + 2 2 2 2 2 ( 1) n k n k k k n n p p q n Cn p − − − − = = − + 2 = − + n n p np ( 1) , = − np p (1 ) D X np p （ ）= − (1 ) 方法1 —— 利用定义式