第二节， 中心极限定理 一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题
第二节 中心极限定理 一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题
一、问题的引入 1.背景：由大量的、独立的、随机的因素综合影响形成的随机 变量，其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都很微小， 这样的随机变量服从什么分布？ 例如：考察射击命中点与靶心距离的偏差 偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和 这些因素包括：瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方 面的误差、以及射击时武器的振动、气象因素的作用， 所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的，并 且它们中每一个对总和产生的影响不大. 2.结论：大量随机变量之和的标准化变量 近似服从标准正态分布
一、问题的引入 这些因素包括：瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方 面 的误差、以及射击时武器的振动、气象因素的作用， 例如：考察射击命中点与靶心距离的偏差. 偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和. 所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的, 并 且它们中每一个对总和产生的影响不大. 1. 背景：由大量的、独立的、随机的因素综合影响形成的随机 变量，其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都很微小， 这样的随机变量服从什么分布？ 2. 结论：大量随机变量之和的标准化变量 ——近似服从标准正态分布
定义设X1,.,X,是独立的随机变量序列，E(X),D(X) 存在，令乙= x-立 若对任意x∈R,Z,的分布 D,) 教R()的极限imFo)=imP亿，≤对三2》 侧称X,}服从中心极限定理， 近似 ≈N0,1)
1 1 1 1 , , , ( ( ) ( ) . ( ) n n k k k k n n k k k n k X E X Z X D X X D X X E = = = − = 设 是独立的随机变量序列， )， 存在 义 ， 定 令 则称{ }服从中心极限定理. Xn n 若对任意x R Z ， 的分布 2 2 1 lim lim { } 2 x t n n n n F x P Z x e dt − → → − = = （ ） 1 1 1 ( ) ( ) n n k k k k n n k k X E X Z D X = = = − = 即 函数F x （n ）的极限 ~ N(0 1). , 近似 1 n k k X = 的标准化变量
二、基本定理 独立同分布 定理1（独立同分布的中心极限定理） 期望、方差已知 设随机变量X1,X,.,Xn,.相互独立，服从同一分布，且 具有数学期望和方差：E(X)=μ，D(X)=o2>0(k=1,2,), 则(X,服从中心极限定理.即随机变量之和∑X的标准化变量 k ZX-E(ZX)ZX-MA 乃= k=1 的分布函数F(x) √no 对于任意x满足 lim F.(()=Φ(x). Yn近似-N0,1)
二、基本定理 定理1（独立同分布的中心极限定理） 近似~N(0,1) 1 1 1 1 ( ) ( ) n n n k k k k k k n n k k X E X X n Y n D X = = = = − − = = 1 2 2 , , , , ( ) , ( ) 0 ( 1,2, ), n k k X X X E X D X k = = = 设随机变量 相互独立，服从同一分布，且 具有数学期望和方差： lim ( ) n n F x → = ( ). x ( ) F x n x 的分布函数 对于任意 满足 1 即随机变量之和 的标准化变量 n k k X = 独立同分布 期望、方差已知 则{ }服从中心极限定理. Xn Yn
定理1表明： 若E(X)=4,D(X)=o2>0(k=1,2,当n充分大时， (①y= x-馆x)3x- 近似 N(0,1). Dx 近似 2)∑X.tNu,no') 3)记x=2x,则xN4,g N k=1 了-上远 N(0,1), ol√n
定理1表明: 当n充分大时， 2 X N ~ ( , ) n 近似 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) n n n k k k k k k n n k k X E X X n Y n D X = = = = − − = = （ ） ~ (0,1), / X N n − 近似 2 ~ N n n ( ) , . 近似 1 2 n k k X = （ ） 1 1 3 n k k X X n = （ ）记 = ，则 ~ N(0 1). , 近似 2 ( ) , ( ) 0 ( 1,2, ), 若 E X D X k k k = = =
独立不同分布的 定理2（李雅普诺夫定理yapunov) 中心极限定理 设随机变量X,X2,Xn,.相互独立，它们具有数学期望和 方差：E(X,)=A,D(X)=00k=12.记B-2i 若存在正数6，使得】 B公2x,-4)=0 则{X,服从中心极限定理.即随机变量之和∑X的标准化变量 含-2x2含4 的分布函数F,(x)对于任意x 2x B。 满足1imFn(x)=Φ(x). Z,近似~N(0,1)
定理2 (李雅普诺夫定理 Lyapunov) 2 2 2 1 1 2 , , , , , ( ) , ( ) 0 ( 1,2, ), , n k k k n k n k k X X X E X D X k B = = = = = 设随机变量 相互独立 它们具有数学期望和 方差: 记 若存在正数 ， 使得 2 2 1 1 lim | | 0. n k k n n k E X B + → + = − = 1 即随机变量之和 的标准化变量 n k k X = 1 1 1 n n k k k k n n k k X E X Z D X = = = − = 1 1 n n k k k k n X B = = − = ( ) 的分布函数 F x x n 对于任意 lim ( ) n n F x → 满足 = ( ). x 独立不同分布的 中心极限定理 近似~N(0,1) 则{ }服从中心极限定理. Xn Zn
定理2表明： 无论各个随机变量X1,X2,.,Xm,.服从什么分布， 只要满足定理的条件，那么它们的和∑X当n很大时， 近似地服从正态分布。 2空4含时 如实例中射击偏差 即由大量的、独立的、随机的因素综合影响形成的随机变量， 其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都很微小，这样的 随机变量近似服从正态分布
定理2 表明: 1 1 2 , , , , . , n k k X n X n X X = 无论各个随机变量 服从什么分布 只要满足定理的 当 很大时， 近似地 条件，那么它 服从正 的和 态分布 们 如实例中射击偏差 即由大量的、独立的、随机的因素综合影响形成的随机变量， 其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都很微小，这样的 随机变量近似服从正态分布 2 1 1 1 ~ ( , ) n n k k k k n k k X N = = = 近似地
二项分布的中 定理3棣莫弗-拉普拉斯De Moivre-Laplace) 心极限定理 设随机变量7n~b(n,p),n=1,2,.则对于任意x, 证明：设=心，若在第k饮试验中A怀发生 1,若在第k次试验中A发生，k=1,2,. 其中，X,X2,X。独立同(0-1)分布，则nn=∑X, k=1 E(nn)=p,D(7m)=np(1-p)(k=1,2,.,n), 根据定理1得 lim P pI-p) nn-np 小p √Vp1-p) 近似~N(0,1)
lim ~ ( , ) 1,2 ( ). (1 , . ) n n n np P x x n b n p p p n x → − = − = 设随机变量 ， 则对于任意 ， 恒有 定理3 棣莫弗-拉普拉斯(De Moivre－Laplace) 证明: ( ) , E np n = ( ) (1 ) ( 1,2, , ), D np p k n n = − = 根据定理1得 lim (1 ) n n np P x np p → − = − 1 lim (1 ) n k k n X np P x np p = → − − 2 2 1 d ( ). 2π t x e t x − − = = 1 2 n 其中，X X X , ,., 0-1 独立同（ ）分布， 1 , n n k k X = 则 = 0, , 1, , 1,2, . k k A X k A k = = 若在第 次试验中 不发生 设 若在第 次试验中 发生 二项分布的中 心极限定理 近似~N(0,1) (1 ) n np np p − −
定理3表明： 正态分布是二项分布的极限分布，当充分大时，可 以利用该定理来计算二项分布的概率 应用：设随机变量7n~b(n,p),n=1,2, 则当n充分大时有 Pa<s时=p“g<-四s-g p4√ppg」 -o
定理3表明: 正态分布是二项分布的极限分布，当n充分大时，可 以利用该定理来计算二项分布的概率. 应用： ~ ( , ) 1,2, . n 设随机变量 b n p n ， = 则当n充分大时有 ( ) ( ) n n a np b np np P a b P npq npq npq b np a np npq npq − − − = − − −
例1.一加法器同时收到20个噪声电压V(k=1,2,·20), 设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0,10)上 服从的白分市记V-2。求P>1051时延奴位 解QE)=5,D=k-,2L,20, 由定理1z:-4) v-20×5 近似~N(0,1) V②w .P{V>105}=P{ V-20×5、105-20×5 =PZ>0.387} =1-P{Z≤0.387}≈1-Φ(0387)=0.348
解 ( ) 5, Q E Vk = 100 ( ) ( 1,2, ,20). 12 D V k k = = L 由定理 1 20 1 1 1 ( ) ( ) n k k k i n k i V E V Z D V = = = − = 20 5 100 20 12 V − = 201 20 ( 1,2, 20), (0,10) , { 105} . 1. k k k V k V V P V = = = 一加法器 同 时收到 个噪声 电压 设它们是相 互独立的 随机变量，且都在 区 间 上 服从均 匀 分布 记 ，求 的近似值 例 = P V{ 105} 20 5 105 20 5 { } 100 100 20 20 12 12 V P − − = P Z{ 0.387} = − 1 { 0.387} P Z − 1 (0.387) = 0.348. 近似 ~N(0,1)