数学建模与数学实验 拟合
数学建模与数学实验 拟 合
实验目的 1.直观了解拟合基本内容. 2.掌握用数学软件求解拟合问题. 实验内容 1.拟合问题引例及基本原理. 2.用数学软件求解拟合问题. 3.应用实例. 4.实验作业
实验目的 实验内容 2. 掌握用数学软件求解拟合问题． 1. 直观了解拟合基本内容． 1. 拟合问题引例及基本原理． 4. 实验作业. 2. 用数学软件求解拟合问题． 3. 应用实例
拟合 1.拟合问题引例 2.拟合的基本原理
拟 合 2. 拟合的基本原理 1. 拟合问题引例
拟合问题3引例1 己知热敏电阻数据：温度(C) 20.532.751.073.095.7 电阻R(2)7658268739421032 求60°C时的电阻R. 1100 1000 设R=t+b 900 ,b为待定系数 800 700 20 40 60 80 100
拟 合 问 题 引 例 1 温度t( ºC) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 电阻R() 765 826 873 942 1032 已知热敏电阻数据： 求60ºC时的电阻R． 20 40 60 80 100 700 800 900 1000 1100 设 R=at+b a,b为待定系数
拟合问题引例2 已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(=0注射300mg) t(h) 0.250.511.523468 c(μgml019.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01 求血药浓度随时间的变化规律c(). 作半对数坐标系(semilogy)下的图形 MATLAB(aa1) 103 c(t)=coe-k 10 c,k为待定系数 100 0 2 6 8
拟 合 问 题 引 例 2 t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8 c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01 已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg) 求血药浓度随时间的变化规律c(t). 作半对数坐标系(semilogy)下的图形 0 ( ) e , kt c t c c k − = 为待定系数 0 2 4 6 8 100 101 102 MATLAB(aa1)
曲线拟合问题的提法 已知一组（二维)数据，即平面上n个点（xy=1,n, 寻求一个函数（曲线)y=fx),使fx)在某种准则下与所有 数据点最为接近，即曲线拟合得最好. y iy) f树) δ；为点（xy)与曲线y=fx)的距离
曲 线 拟 合 问 题 的 提 法 已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi ,yi ) i=1,.,n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所有 数据点最为接近，即曲线拟合得最好． + + + + + + + + + x y y=f(x) (xi ,yi ) i i 为点（xi ,yi ) 与曲线 y=f(x) 的距离
拟合与插值的关系 问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面 解决方案： •若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题： •若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象 整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟 合. 函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作 为近似，由于近似的要求不同，二者在数学方法上是完全不同 的 实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和f之间的关系？ 247 9 1213 15 17 3.96.611.715.618.819.6 20.621.1 MATLAB(cn)
拟合与插值的关系 函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作 为近似，由于近似的要求不同，二者在数学方法上是完全不同 的． 实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和f之间的关系？ x 1 2 4 7 9 12 13 15 17 f 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1 MATLAB(cn) 问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面 解决方案： •若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象 整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟 合． •若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题；
最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果： 10 12 14 16 18
最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果： 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 5 10 15 20 25 已已已已已 spline 已已已已已已已 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 5 10 15 20 25 已已已已已 linest 已已已已已已已 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 20 25 已已已已已 nearest 已已已已已已已
曲线拟合问题最常用的解法—线性最小二乘法的基本思路 第一步先选定一组函数r(c),2(x,m(x),<n,令 fx)-u11(d)+2r2(c)+.+am'm() (1) 其中a1,2,.,m为待定系数. 第二步：确定1,42，m的准则（最小二乘准则）： 使n个点（xy)与曲线y=fx)的距离6的平方和最小. 记a,a4)-2o-2/)-y月 =∑∑a(x)-y]} (2) i=1k=1 问题归结为，求41,2，.，m使J(a1,2,m)最小
曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路 第一步:先选定一组函数 r1 (x), r2 (x), .,rm(x), m<n, 令 f(x)=a1 r1 (x)+a2 r2 (x)+ .+amrm(x) （1） 其中 a1 ,a2 , .,am 为待定系数． 第二步: 确定a1 ,a2 , .,am 的准则（最小二乘准则）： 使n个点（xi ,yi ) 与曲线 y=f(x) 的距离i的平方和最小 ． 记 [ ( ) ] (2) ( , , ) [ ( ) ] 2 1 1 2 1 1 2 1 2 k i i n i m k k i n i n i m i i a r x y J a a a f x y = − = = − = = = = 问题归结为，求 a1 ,a2 , .,am 使 J (a1 ,a2 , .,am) 最小．
线性最小二乘法的求解：预备知识 超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组 i41+i2a2+.+1mam=y (n>m) 即R=y rna+rn2a+.+rmam=yn Fim 其中R= 超定方程组一般不存在解的矛盾方程组， 如果有向量a使得 ∑a+a,++rnam-y)达到0最小， 则称为上述超定方程组的最小二乘解
线性最小二乘法的求解：预备知识 超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组 11 1 12 2 1 1 1 1 2 2 ( ) m m n n nm m n r a r a r a y n m r a r a r a y + + + = + + + = 即 Ra=y 11 12 1 1 1 1 2 , , m n n nm m n r r r a y R a y r r r a y = = = 其中 超定方程组一般不存在解的矛盾方程组． 如果有向量a使得 达到最小， 则称a为上述超定方程组的最小二乘解． 2 1 1 1 2 2 ( ) m i n i i i i m r a + r a + + r a − y =
