第四章随机变量的数字特征 数字特征：由随机变量的分布所确定的，能够刻画随机 变量某一方面的特征的常数。 如：随机变量取值的平均值； 随机变量取值与其平均值的偏离程度等， 常用的数字特征：数学期望、方差、相关系数、矩：
第四章 随机变量的数字特征 数字特征：由随机变量的分布所确定的，能够刻画随机 变量某一方面的特征的常数. 如： 随机变量取值的平均值； 随机变量取值与其平均值的偏离程度等. 常用的数字特征： 数学期望、方差、相关系数、矩
第一节数学期望(Expectation) 一、随机变量的数学期望 二、常见分布的数学期望 三、随机变量函数的数学期望 四、数学期望的性质
第一节 数学期望(Expectation) 一、随机变量的数学期望 二、常见分布的数学期望 三、随机变量函数的数学期望 四、数学期望的性质
一、随机变量的数学期望
一、随机变量的数学期望
(一)离散型随机变量的数学期望 1.问题的提出 1654年，一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒 约定赌若干局，且谁先赢c局便算赢家，若在一 赌徒胜a局(a<c),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止 赌博，问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡，帕 斯卡与费马通信讨论这一问题，于1654年共同 建立了概率论的第一个基本概念一数学期望
1. 问题的提出 1654年, 一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒 约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一 赌徒胜a局 (a<c), 另一赌徒胜b局(b<c)时便终止 赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕 斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同 建立了概率论的第一个基本概念 — 数学期望 (一)离散型随机变量的数学期望
引例1 分赌本问题（产生背景） A,B两人赌技相同，各出赌金100元，并约定 先胜三局者为胜，取得全部200元.由于出现意外 情况，在A胜2局、B胜1局时，不得不终止赌博， 如果要分赌金，该如何分配才算公平？
A、B两人赌技相同, 各出赌金100元, 并约定 先胜三局者为胜, 取得全部200元. 由于出现意外 情况, 在 A 胜 2 局、B 胜1局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平? 引例1 分赌本问题(产生背景)
分析假设继续赌两局，则结果有以下四种情况： AA AB BA BB A胜B负 A胜B负 B胜A负 B胜A负 A胜B负 B胜A负 A胜B负 B胜A负 把已赌过的三局(A胜2局、B胜1局)与上述结果 相结合，即A、B赌完五局： 前三局 A胜2局B胜1局 后二局： AA AB BA BB A胜 B胜
前三局: A胜2局B胜1局 后二局: 把已赌过的三局(A 胜2局、B 胜1局)与上述结果 相结合, 即A、B赌完五局: A A A B B A B B A胜 B胜 分析 假设继续赌两局, 则结果有以下四种情况: A A A B B A B B A胜B负 A胜B负 A胜B负 B胜A负 B胜A负 A胜B负 B胜A负 B胜A负
故有，在赌技相同的情况下，A、B最终获胜的 可能性大小之比为3：1. 即A应获得赌金的，而B只能获得赌金的 因此，A能“期望”得到的数目应为 20子+0x150元 4 而B能“期望”得到的数目，则为 20×}+0=5元
因此, A 能“期望”得到的数目应为 4 1 0 4 3 200 + = 150(元), 而B 能“期望”得到的数目, 则为 4 3 0 4 1 200 + = 50(元). 故有, 在赌技相同的情况下, A、B最终获胜的 可能性大小之比为 3:1. 即A 应获得赌金的 , 而 B 只能获得赌金的 4 3 . 4 1
若设随机变量X为在A胜2局B胜1局的前提 下，继续赌下去A最终所得的赌金。 则X所取可能值为： 200 0 3 1 其概率分别为： 4 4 因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值， 等于 20<+0×元 即为的可能值与其概率之积的累加
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 等于 X的可能值与其概率之积的累加. 150( ). 4 1 0 4 3 200 + = 元 即为 若设随机变量 X 为在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金. 则X 所取可能值为: 200 0 其概率分别为: 4 3 4 1
引例2射击问题 设某射击手在同样的条 件下，瞄准靶子相继射击90次， (命中的环数是一个随机变量). 射中次数记录如下 命中环数k 0 123 4 5 命中次数 2 13151020 30 频率 2 131510 2030 L 90 9090 90 90 90 试问：该射手每次射击平均命中靶多少环？
设某射击手在同样的条 件下,瞄准靶子相继射击90次, (命中的环数是一个随机变量). 射中次数记录如下 引例2 射击问题 试问:该射手每次射击平均命中靶多少环? 0 1 2 3 4 5 2 13 15 10 20 30 90 15 90 13 90 2 90 20 90 10 90 30 命中环数 k 命中次数 频率 nk n nk
解 平均射中环数 。 射中靶的总环数 射击次数 =0×2+1x13+2×15+3×10+4×20+5×30 90 2,13.、15.210,20 =0× -+1× +2× +3× +4× 9090 90 9090 30 +5× 90 -∑k.-3.37 n 设射手命中的环数为随机变量Y
解 平均射中环数 射击次数 射中靶的总环数 = 90 0 2 + 113 + 215 + 310 + 4 20 + 5 30 = 90 30 5 90 20 4 90 10 3 90 15 2 90 13 1 90 2 0 + = + + + + = 3.37. = = 5 k 0 k n n k 设射手命中的环数为随机变量Y